劉亞平

最近筆者在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中與學(xué)生一起處理了一道經(jīng)典老題，在教學(xué)中多次出現(xiàn)教學(xué)意外，筆者及時調(diào)整教學(xué)策略，重構(gòu)課堂動態(tài)生成.期間師生多次經(jīng)歷了“行到水窮處”的窘境，“坐看云起時”的愉悅，演繹了一幕幕令大家流連忘返的精彩瞬間.

1題目及標(biāo)準(zhǔn)答案

題目設(shè)a≥1，若對于x∈[1，2]，不等式x|x-a|+32≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解把不等式變形為|x-a|≥a-32x，對不等式右邊進行如下分類討論：

⑴當(dāng)a-32≤0時，不等式恒成立，結(jié)合a≥1，故1≤a≤32；

⑵當(dāng)a>32時，原問題等價于x-a≥a-32x或x-a≤-a-32x對x∈[1，2]恒成立，分離變量后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即a≤x2+32x+1對x∈[1，2]恒成立或a≥x2-32x-1（當(dāng)x=1時，a∈R）對x∈（1，2]恒成立，解得1≤a≤54或a≥52，結(jié)合a>32，故a≥52.

綜合可知1≤a≤32或a≥52.

2學(xué)生的意外

2.1學(xué)生1的意外困惑

標(biāo)準(zhǔn)答案雖然清晰明了，但我覺得有點畫蛇添足，因為|x|>ax>a或x<-a與|x|ax>a或x<-a與|x|

2.2學(xué)生2的意外錯誤

我采用“正難則反”的策略.原命題的否定是x∈[1，2]，不等式x|x-a|+32

2.3學(xué)生3的意外想法

雖然標(biāo)準(zhǔn)答案及學(xué)生1、學(xué)生2的解法都是容易想到的通性通法，但過程繁冗，根據(jù)解題經(jīng)驗我猜想此題還可以用數(shù)形結(jié)合法，但沒有找到合適的切入點.

3教師的困惑

3.1發(fā)現(xiàn)學(xué)生1的隱情

師生一起仔細核對了學(xué)生1的運算，發(fā)現(xiàn)運算無誤.教師在迷茫之際，學(xué)生1的提示“把a=32代入不等式驗證知道此方法是錯誤的”令筆者茅塞頓開：能不能采用“特殊探路，巧解一般”的策略發(fā)現(xiàn)“隱情”？把a=32代入a≤x2+32x+1，解得32≤x≤2，把a=32代入a≥x2-32x-1，解得1

才正好兩者的解集的并集為（1，2].于是揭示了學(xué)生1的錯誤解法的“隱情”——把|x-a|≥a-32x對x∈[1，2]恒成立單獨分割成兩個不等式恒成立是錯誤的，還應(yīng)包括兩個不等式a≤x2+32x+1與a≥x2-32x-1解集的并集為（1，2]的情況.

3.2挖掘?qū)W生2的蹊蹺

通過與學(xué)生討論、交流、研討后，教師的思維逐漸明朗，只所以出現(xiàn)錯誤的答案，是因為不等式組x2+32x+1

3.3探索學(xué)生3的猜想

在備課時，教師僅僅囿于成見標(biāo)準(zhǔn)答案，沒有多想能否運用其他方法，當(dāng)學(xué)生3提出此猜想時，筆者心里有些內(nèi)疚與不安！俗話說“解鈴還須系鈴人.”教師只好把問題順勢交給學(xué)生，和學(xué)生一起多方嘗試，共同探索.在聆聽學(xué)生的想法與意見后，教師思路峰回路轉(zhuǎn)：只要把不等式x|x-a|+32≥a變形為x|x-a|≥a-32，再結(jié)合f（x）=x|x-a|，x∈[1，2]的圖像，求出f（x）的最小值即可.

4教師的解惑

4.1解惑學(xué)生1的困惑

教師：不等式|x-a|≥a-32x對x∈[1，2]恒成立是否只等價于x-a≥a-32x對x∈[1，2]恒成立或x-a≤-a-32x對x∈[1，2]恒成立？若不是，能否舉個反例？

學(xué)生1：當(dāng)a=32時，x-a≥a-32x的解集為[32，2]，x-a≤-a-32x的解集為[1，32]，兩者的并集恰好為[1，2].所以我的解法漏掉了兩個不等式解集的并集為[1，2]的情況.

教師：那如何進行補救呢？

學(xué)生1：（學(xué)生1在師生的“友情提示”下給出如下的補救措施）原問題等價于若x∈[1，2]且x≥a時，不等式x2-ax+32-a≥0恒成立或若x∈[1，2]且x≤a時，不等式x2-ax+a-32≤0恒成立.

4.2解惑學(xué)生2的蹊蹺

教師：學(xué)生2的思路完全正確，只是在運用（x2+32x+1）min

學(xué)生4：不能在區(qū)間[1，2]求它們的最值.

教師：為什么呢？

學(xué)生4：因為不等式組必須在x2+32x+1

4.3解惑學(xué)生3的猜想

由33環(huán)節(jié)知，

葉瀾教授說：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.”在教學(xué)中教師在關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程、結(jié)果、理解問題的深刻程度、情感態(tài)度的變化等時要學(xué)會打破教學(xué)預(yù)設(shè)，不要一味地被教學(xué)進度或課前預(yù)設(shè)牽著走.對于回答正確的學(xué)生及時給予恰如其分的鼓勵和表揚，通過比較不同方法的優(yōu)劣，展示成果，讓學(xué)生產(chǎn)生成功的愉悅；對于回答錯誤或不完整的學(xué)生，不要批評，更不要責(zé)難，要俯下身子耐心地傾聽學(xué)生的想法，細心體會他們的思維過程與方向，并給學(xué)生以恰到好處的提示與引導(dǎo)，幫助他們回到正確的思維軌道；對于學(xué)生的“意外”提問、“意外”困惑，教師不要心慌意亂，因為精彩的課堂往往發(fā)生在預(yù)設(shè)之外，教師要機敏地撲捉到這種課程資源，通過巧妙追問，或是討論交流，或是合作探究等，把真正的“生態(tài)課堂”的理念帶入常態(tài)課，收獲“平淡的”常態(tài)課無法收獲的精彩.

有些教學(xué)意外由學(xué)生自主學(xué)習(xí)很難完成，這就需要教師運用靈活的教學(xué)機智創(chuàng)設(shè)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生去嘗試，在思考嘗試中化教學(xué)“意外”為教學(xué)的“情理之中”，達成教學(xué)目標(biāo).為了順利幫助學(xué)生解決“教學(xué)意外”，教師就必須精心設(shè)計一些蘊涵著有思考力度又能獨立嘗試的數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建適宜的教學(xué)活動，制造“沖突點”，激活思維.教師要大膽地把問題的“嘗試權(quán)”“操作權(quán)”交給學(xué)生，讓學(xué)生自己去感知、去探索、去生成.或許教學(xué)過程曲折，花費較多的教學(xué)時間，影響預(yù)定的教學(xué)進度，但會使學(xué)生的思維更靈動、印象更深刻、課堂更精彩.

5.2消除困惑，打磨思維

本節(jié)課，學(xué)生有這么多的“意外”是筆者始料未及的，特別聽到學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的困惑與不解“難道這種方法不對？”“難道這種方法不能運用？……”更令筆者使命感與責(zé)任感陡增：若不幫助學(xué)生消除困惑中的“隱情”，通法就會變成“險法”，遇到類似的問題學(xué)生的思維就會畏首畏腳.教育家弗萊登塔爾指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)習(xí)的知識發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來.”當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題后，教師要給予學(xué)生充分的思考時間與空間，通過變換問題的視角、轉(zhuǎn)換問題的類型、變更問題的背景等有效引導(dǎo)學(xué)生思考，審視“意外”，消除“困惑”，旨在提高學(xué)生的創(chuàng)造力，“打磨”靈活多變的思維.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）指出：“數(shù)學(xué)課程要講究邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探究活動，體會蘊涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法.”羅增儒教授提出：“通過有限的典型例題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無限道題的數(shù)學(xué)機智.”這里的領(lǐng)悟解題的數(shù)學(xué)機智從某種意義上說就是對問題本質(zhì)的理解，對數(shù)學(xué)思想方法的提煉.在解題教學(xué)中，如果教師僅僅停留在淺層次的分析上，沒有觸及問題的本質(zhì)，那么容易造成學(xué)生探究問題的膚淺性，解題能力就不會得到相應(yīng)的提高與發(fā)展，更談不上創(chuàng)造性地進行求解.對數(shù)學(xué)思想理解的深度往往決定了學(xué)生思維方向及解法的優(yōu)劣.只有學(xué)生把握了問題的本質(zhì)，才能提高數(shù)學(xué)概念、公式、定理等使用的效度、靈活度；才能有效提高學(xué)生自身發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力；才能促使學(xué)生產(chǎn)生解決問題的創(chuàng)造性的思路與方法，形成簡捷、高效的解決方法.

5.3創(chuàng)設(shè)探究，增長能力

喬治·波利亞說：“學(xué)習(xí)東西最好的途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它，最富成效的學(xué)習(xí)是自己去探索、去發(fā)現(xiàn).”《新課標(biāo)》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.”作為數(shù)學(xué)教育工作者，教師一定要有搞好探究活動的信念與意識，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生探究活動的環(huán)境，激起學(xué)生探究問題的欲望，讓學(xué)生在探究中“放飛思想”，快樂思考，不斷成長.

如果高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，每天重復(fù)在“講、練、考、評”中，那么承載高考負重的課堂就會沉悶無活力，學(xué)生就會疲于奔命，進而抑制學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.因此，教師要給復(fù)習(xí)課創(chuàng)設(shè)適時、適當(dāng)?shù)奶骄繖C會，并把對問題的探究活動交給學(xué)生，讓學(xué)生參與到知識生成的全過程，讓學(xué)生在有限的課堂牢固掌握知識的同時，獲得理性精神的給養(yǎng)，這無疑會增添學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力.若有必要，教師還可以用變式串當(dāng)堂體驗探究得來的結(jié)論的運用，使學(xué)生各個器官和思維充分動起來，讓“生動”的課堂真正生“動”起來，引導(dǎo)學(xué)生如《新課標(biāo)》所倡導(dǎo)的“主動參與、樂于研究、合作交流”，幫助學(xué)生在結(jié)論的提煉和習(xí)題的分析中體會數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在本質(zhì).這樣，學(xué)生在潛移默化中解題經(jīng)驗得以積累，應(yīng)試能力得以提高，學(xué)習(xí)素養(yǎng)得以提升.

5.4做好主導(dǎo)，共同發(fā)展

蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》一書中說：“教師所知道的東西，就應(yīng)當(dāng)比他在課堂上要告訴的東西多十倍，以便能夠應(yīng)付自如地掌握教材，到了課堂上，能從大量的事實中選出最重要的來告訴學(xué)生.”只有這樣的告訴，才能使學(xué)生獲得“聽君一席話，勝讀十年書”的體驗.眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)中教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體.教師的主導(dǎo)作用，著眼于“導(dǎo)”，主要體現(xiàn)在“導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)研、導(dǎo)解”上；學(xué)生的主體作用，著眼于“做”，主要體現(xiàn)在“讀、說、寫、講、解”上.教師的主導(dǎo)作用決定了教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、指導(dǎo)者與幫助者.有時，并不是所有的數(shù)學(xué)問題學(xué)生都能獨立完成，這就需要教師的適時參與，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用.主導(dǎo)作用較強的教師可能會一下子看透問題的本質(zhì)，講引有度、板書得當(dāng)、詳略有別、重點突出，教學(xué)效率較高；主導(dǎo)作用較弱的教師可能懵懵懂懂，抓不住本質(zhì)，分不清主次，找不準(zhǔn)問題的突破口，帶領(lǐng)學(xué)生原地繞圈子，影響教學(xué)效率.

在教師的專業(yè)發(fā)展中，知識無疑處于核心地位，一名數(shù)學(xué)教師是否具備扎實的學(xué)科專業(yè)知識對于教學(xué)的有效性至關(guān)重要.然而并非具備了充足的數(shù)學(xué)知識就能成為一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師，因為學(xué)生不是容器，教師的知識再多，學(xué)生不一定成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的受益者，因為高效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)還需要教師幽默的教學(xué)語言、先進的教學(xué)理念、嫻熟的教學(xué)技能等協(xié)助實施；甚至還需要具有針對特定數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)知識，即懂得如何表述、呈現(xiàn)、解釋數(shù)學(xué)內(nèi)容，以促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解.

數(shù)學(xué)教師在師范院校所學(xué)習(xí)的主要是數(shù)學(xué)專業(yè)知識以及一些教育學(xué)、心理學(xué)等知識.雖然有數(shù)學(xué)教學(xué)論這門課，但也只是“數(shù)學(xué)案例”與教學(xué)論的簡單結(jié)合，這對于教師形成學(xué)科教學(xué)知識是遠遠不夠的，要成為一名優(yōu)秀的主導(dǎo)者，教師除了養(yǎng)成善于解題、樂于解題外，還需要多讀書，多聽名家講座，甚至通過進修學(xué)習(xí)和撰寫論文等途徑來提升教學(xué)素養(yǎng).