徐海燕

[摘 要]在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何對(duì)圖形變化規(guī)律展開(kāi)深度挖掘，幫助學(xué)生順利轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)思維，已經(jīng)成為教師需要重點(diǎn)考量的問(wèn)題。深究圖形、甄辨本質(zhì)、激活思維，這是教學(xué)“圓的面積公式推導(dǎo)”的基本操作思路。

[關(guān)鍵詞]圖形變化；思維構(gòu)建；小學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）35-0030-02

“空間與圖形”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一項(xiàng)重要的內(nèi)容。它要求教師在教學(xué)時(shí)拓展學(xué)生思維的寬度，引導(dǎo)學(xué)生研究和挖掘圖形的本質(zhì)，感知空間與圖形的文化價(jià)值，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力。以“圓的面積公式推導(dǎo)”學(xué)習(xí)活動(dòng)中圖形的變換為例，談?wù)勅绾位钣脠D形變式，啟發(fā)和誘導(dǎo)學(xué)生科學(xué)掌握與圓相關(guān)聯(lián)的知識(shí)，凸顯圓的不同形式對(duì)學(xué)生認(rèn)知建構(gòu)的促進(jìn)作用，讓數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)情趣與智慧交相輝映的盛景。

一、深究圖形，引發(fā)思考

傳統(tǒng)的“圓的面積公式推導(dǎo)”的教學(xué)模式，主要是指導(dǎo)學(xué)生先把一個(gè)圓形紙片平均分成16等份或32等份，剪開(kāi)后再拼一拼、比一比、理一理（厘清面積的變化關(guān)系、圖形的變化、邊的變化等）、算一算、議一議，最后通過(guò)評(píng)析、歸納，形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，得到圓的面積計(jì)算公式。整個(gè)過(guò)程學(xué)生看似學(xué)習(xí)熱情很高，都在積極地實(shí)踐著、思考著、探討著，但始終讓人有一種不夠充實(shí)的感覺(jué)。靜心沉思，方覺(jué)在做、看、比、說(shuō)等環(huán)節(jié)中，圖形解析深度不夠，聯(lián)系把握不透，導(dǎo)致人云亦云的現(xiàn)象發(fā)生，也導(dǎo)致后續(xù)變式訓(xùn)練中學(xué)生對(duì)知識(shí)理解不透以及把握不準(zhǔn)。對(duì)此，我將該內(nèi)容的教學(xué)進(jìn)行了新的實(shí)踐操作。

首先，指導(dǎo)學(xué)生平均分。通過(guò)問(wèn)題“怎樣才能把整個(gè)圓平均分成相等的幾份？”的引領(lǐng)，讓學(xué)生帶著目的去嘗試，學(xué)生會(huì)自然地聯(lián)想到折紙的方式，輕松地把圓對(duì)折，平均分成2份；進(jìn)而擴(kuò)展到“再對(duì)折”的場(chǎng)景，讓學(xué)生明白每一次的對(duì)折，都是把圓再一次的平均分；最后展示折紙的痕跡，讓學(xué)生明白怎樣做才能實(shí)現(xiàn)平均分的道理。其次，指導(dǎo)學(xué)生組拼圖形。讓學(xué)生自己去組拼，目的是開(kāi)闊學(xué)生的視野，讓學(xué)生有更多的體驗(yàn)與感知的機(jī)會(huì)，也讓學(xué)生意識(shí)到學(xué)習(xí)不只是單一的路徑，只要善于思考、敢于思考，就一定會(huì)有所突破。再次，引領(lǐng)學(xué)生比較。“你認(rèn)為哪種圖形更容易研究？”“主要的優(yōu)勢(shì)是什么？”等問(wèn)題，能引發(fā)學(xué)生積極的思考。最后，引導(dǎo)解讀。畫(huà)圖是策略，是技能，而蘊(yùn)含其中的最重要的卻是引領(lǐng)學(xué)生讀懂圖，從而明晰關(guān)系，把握本質(zhì)。為此，教師只有多方引領(lǐng)，科學(xué)指導(dǎo)，才能使學(xué)生明白圖形的內(nèi)涵，為新知學(xué)習(xí)奠基，為新知建構(gòu)積累。

【教學(xué)片段1】

師：長(zhǎng)方形是我們最早學(xué)習(xí)的圖形，所以我們就先解析長(zhǎng)方形的構(gòu)造吧！從圖1中你能找到什么有價(jià)值的信息？

圖1

生1：長(zhǎng)方形的面積等于圓的面積。

生2：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半，寬是圓的半徑。

生3：圓的周長(zhǎng)是2πr，它的一半就是πr，所以拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是πr，寬是r，面積=πr×r=πr2。

師：再仔細(xì)琢磨一下，弄清生3算法的理由。

（學(xué)生再次利用手中的圖形去思考和研究圓的面積公式推導(dǎo)過(guò)程）

師：剛才我們選用了最熟悉的長(zhǎng)方形來(lái)研究，如果是平行四邊形呢？你會(huì)研究它嗎？

生4：實(shí)質(zhì)是一樣的。平行四邊形的底也是圓周長(zhǎng)的一半，就是πr，作出它的高，發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的是圓的半徑r，用“底×高”，就是πr×r=πr2。

師：你們認(rèn)為生4的分析有道理嗎？結(jié)合圖形相互說(shuō)一說(shuō)。

師：有同學(xué)剪拼后得到三角形，那它的面積又是怎樣的呢？

生5：拼的過(guò)程中，既沒(méi)有多一份，也沒(méi)有少一份，所以三角形的面積一定就是圓的面積。

師：圖2的近似圖形是什么？底是什么？高是什么？

（學(xué)生結(jié)合圖1解讀圖2，從而明白三角形的面積與圓的面積之間的聯(lián)系，把握其對(duì)應(yīng)的關(guān)系）

生6：把圓平均分成16等份，拼成了三角形（如圖2），它的底是4份小圓弧，也就是圓周長(zhǎng)的四分之一，即2πr÷4，高是4個(gè)半徑，就是4r，三角形的面積=底×高÷2=（2πr÷4）×（4r）÷2=πr2。

讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，讓學(xué)生解讀每一個(gè)圖形，學(xué)生不僅看到圖形的變換關(guān)系，也把握了邊的變化，學(xué)習(xí)變得自然流暢，學(xué)習(xí)的效率得到提高。

二、變換圖形，甄別本質(zhì)

面對(duì)學(xué)生對(duì)圖形的解讀和思考，我所想的是：“學(xué)生的理解深刻嗎？”“能否科學(xué)運(yùn)用呢？”為此，我曾設(shè)計(jì)了一道習(xí)題檢測(cè)學(xué)生的掌握情況，結(jié)果令人大跌眼鏡。學(xué)生聽(tīng)得懂，說(shuō)得出，但真正用的時(shí)候卻不知所措。

習(xí)題：圖3中的圓的面積和平行四邊形的面積相等，平行四邊形的底是12.56厘米。圓的面積是多少平方厘米？

出示題目后，讓學(xué)生自主研究和思考后再解答。結(jié)果全班42個(gè)學(xué)生，除了18人能夠動(dòng)筆解題，其余的則不知從何入手。就在這18個(gè)動(dòng)筆解題的學(xué)生中，能夠有條理地分析并解答的僅有10人。我詢(xún)問(wèn)了那些不知從何入手的學(xué)生，他們一致認(rèn)為：缺少條件，根本就不好做。在能夠動(dòng)筆但解題不完整的8個(gè)學(xué)生中，有的把12.56厘米理解成圓的周長(zhǎng)，有的把12.56÷2看成是平行四邊形的底……為此，我組織了新一輪的圖形解讀訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會(huì)反向思考，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換思維，使學(xué)習(xí)充滿(mǎn)挑戰(zhàn)、充滿(mǎn)情趣。

【教學(xué)片段2】

師：通過(guò)讀題、看圖，你知道了什么？

生1：圓和平行四邊形的面積相等。

生2：我感覺(jué)到這兩個(gè)圖和例題中的圖很相似。

師：是嗎？那能把平行四邊形變回圓嗎？試試看。

師：你們的結(jié)論是什么？

生3：可以把平行四邊形變回圓，這和例題的轉(zhuǎn)化過(guò)程剛好相反。

生4：這個(gè)題目很簡(jiǎn)單。平行四邊形的底是πr，高是r。底是12.56厘米，就是πr=12.56，r=4，所以面積是12.56×4=50.24（平方厘米）。（如圖4）endprint

師：為什么用12.56×4呢？

生5：圓的面積和平行四邊形的面積相等，平行四邊形的面積等于底乘高，所以就用12.56×4來(lái)計(jì)算。

生6：可以先算出半徑，再用圓的面積公式來(lái)計(jì)算的。

……

師：如果沒(méi)有這組特定的圖形，只有圓的面積等于平行四邊形的面積，還能判定平行四邊形的底是圓的周長(zhǎng)的一半嗎？高還是圓的半徑嗎？

生7：不一定。

學(xué)生聽(tīng)得懂，但卻不會(huì)做，這是很多教師的苦惱所在。究其原因，一是學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的解讀不深刻，只停留在知識(shí)的表面，沒(méi)有深入到知識(shí)的內(nèi)核；二是學(xué)生就圖說(shuō)圖，看似看得懂，實(shí)質(zhì)是不知所以然。為此，教師要多提供圖形變換的形式，讓學(xué)生在接受不同的感知沖擊時(shí)，能夠積累經(jīng)驗(yàn)，使認(rèn)知變得厚實(shí)，使儲(chǔ)備變得豐厚。

三、用活圖形，提升思維

圖形不僅是解題的助手，更是促進(jìn)思考的拐杖，用活圖形，因勢(shì)利導(dǎo)，能改善學(xué)習(xí)狀態(tài)，激發(fā)思維活力，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)變得富有情趣。為此，在具體的教學(xué)活動(dòng)中，教師要善于利用圖形，滲透不同的解題策略，促進(jìn)學(xué)生感悟相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。

【教學(xué)片段3】

師：如圖4，已知圓的面積和長(zhǎng)方形的面積相等，陰影部分的面積是15平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？

生1：長(zhǎng)方形的寬是圓的半徑，長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半。

生2：陰影部分的面積是15平方厘米。

生3：因?yàn)閳A的面積和長(zhǎng)方形的面積相等，如圖6，所以紅色部分的面積和藍(lán)色部分的面積是相等的。這樣紅色部分的面積就是圓的面積的3/4。

師：你的發(fā)現(xiàn)很了不起！能說(shuō)得具體一點(diǎn)嗎？

生4：圓和長(zhǎng)方形同時(shí)挖掉一個(gè)1/4圓，剩下的3/4圓和陰影部分的面積相等。

師：大家聽(tīng)得懂嗎？結(jié)合圖形找出最基本的關(guān)系，試著獨(dú)立完成題目。

生5：15÷3×4=20（平方厘米）。

看似同樣的圖形，但思考的著力點(diǎn)卻迥然不同。為此，引領(lǐng)學(xué)生科學(xué)解讀習(xí)題、把握問(wèn)題本質(zhì)就顯得尤為重要。合作研究能使學(xué)生擺脫定式思維，學(xué)會(huì)換個(gè)角度去解析問(wèn)題，找到圖形之間的根本性聯(lián)系。學(xué)生精彩的發(fā)言說(shuō)明了學(xué)生完全有能力理解圖形轉(zhuǎn)化的策略，只要教師在教學(xué)中有機(jī)滲透，引領(lǐng)學(xué)生精準(zhǔn)解讀圖形，充分相信學(xué)生的認(rèn)知、技能與經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，學(xué)生的思維一定會(huì)得到鍛煉和發(fā)展。

挖掘圖形中的有效資源，能夠提升教學(xué)的含金量，也能促使學(xué)生調(diào)動(dòng)所有的資源去探索、去研究，使學(xué)習(xí)演變?yōu)橐环N享受，一種快樂(lè)的體驗(yàn)。教師要做源頭活水的開(kāi)掘者，挖掘教材，活用教材，使教材成為奔涌無(wú)窮智慧的源泉。

（責(zé)編 童 夏）endprint