黃志橋

[摘 要]以《導(dǎo)數(shù)的概念》一課為例，著重從問題導(dǎo)學(xué)五環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)教學(xué)，強(qiáng)化設(shè)計(jì)理念以及檢驗(yàn)課堂教學(xué)是否達(dá)到設(shè)計(jì)理念.

[關(guān)鍵詞]導(dǎo)數(shù)的概念；教學(xué)設(shè)計(jì)；問題導(dǎo)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）32-0027-02

【教學(xué)內(nèi)容】數(shù)學(xué)選修2-2第一章第1.1節(jié)第1.1.2小節(jié)《導(dǎo)數(shù)的概念》.

【教學(xué)流程】（新課引入）數(shù)學(xué)史→導(dǎo)數(shù)的概念（課題）→高臺(tái)跳水視頻→（概念形成）瞬時(shí)速度→用平均速度表示瞬時(shí)速度（數(shù)形結(jié)合）→求出 t = 2s時(shí)的瞬時(shí)速度→推廣求出t0的瞬時(shí)速度→瞬時(shí)變化率→導(dǎo)數(shù)的概念→（概念深化）導(dǎo)數(shù)的概念→（應(yīng)用探索）例1、例2→（回應(yīng)引入）求出t=3s時(shí)的瞬時(shí)變化率→（總結(jié)歸納 ） 結(jié)束課堂.

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

南寧三中黃河清校長(zhǎng)曾說過：“實(shí)施‘問題導(dǎo)學(xué)的一個(gè)很重要的原則是‘設(shè)立標(biāo)準(zhǔn)，執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn).” 即在課堂教學(xué)的幾個(gè)主要環(huán)節(jié)中，每個(gè)環(huán)節(jié)重點(diǎn)解決什么問題，教師要有標(biāo)準(zhǔn)，如“新課引入”抓關(guān)聯(lián)性；“概念形成”抓合理性；“概念深化”抓內(nèi)涵和外延；“應(yīng)用探索”抓層次性；“總結(jié)歸納”抓知識(shí)建構(gòu).

圍繞此標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置問題，教師就有明確的教學(xué)思路和創(chuàng)造的空間，同時(shí)也能使學(xué)生的思考更有針對(duì)性.為此，本節(jié)課著重從問題導(dǎo)學(xué)的五個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

1. “新課引入”抓關(guān)聯(lián)性

新課引入：“20世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家馮諾依曼曾說：‘微積分是近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就，對(duì)它的重要性無論做怎樣的評(píng)價(jià)都不過分.這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)微積分最基礎(chǔ)的知識(shí)——導(dǎo)數(shù).” 從而引出本節(jié)課的課題——導(dǎo)數(shù)的概念.

通過數(shù)學(xué)史的知識(shí)滲透，讓學(xué)生了解“導(dǎo)數(shù)”的數(shù)學(xué)史.接下來，播放“2017年國際泳聯(lián)世錦賽高臺(tái)跳水” 視頻，讓學(xué)生通過觀看視頻了解高臺(tái)跳水項(xiàng)目的兩大特性：“挑戰(zhàn)性”和“冒險(xiǎn)性” .

挑戰(zhàn)性：（1）高：跳臺(tái)27米；（2）快：整個(gè)過程速度越來越快，入水瞬間速度最快；（3）巧：手尖先入水，豎直入水.

冒險(xiǎn)性：入水速度非常快，相當(dāng)于時(shí)速70～100公里，所以運(yùn)動(dòng)員入水前的速度與安全有非常緊密的聯(lián)系.

為了保證高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的安全性，知道運(yùn)動(dòng)員在任意時(shí)刻的速度是很有必要的.因?yàn)樯弦还?jié)課已經(jīng)知道了用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是有一定的局限性的.因此，教師可根據(jù)高臺(tái)跳水的背景，自然引入瞬時(shí)速度.

課堂上，此環(huán)節(jié)基本上能體現(xiàn)教學(xué)的設(shè)計(jì)意圖，在播放高臺(tái)跳水視頻的過程中，能把學(xué)生都吸引到課堂上來，同時(shí)也激起了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.“概念形成”抓合理性

“平均速度→瞬時(shí)速度”：引導(dǎo)學(xué)生以已知探究未知，讓學(xué)生初步感受“無限”“ 逼近”的思想.

通過數(shù)形結(jié)合，在圖像上不斷縮小[t]與[t0]的距離，學(xué)生能從中感受到平均速度與瞬時(shí)速度的關(guān)系，但是此時(shí)還是沒有數(shù)的出現(xiàn)，學(xué)生雖感到[t=2s]時(shí)的瞬時(shí)速度就要求出來了，可是還是沒法求出.對(duì)此，學(xué)生產(chǎn)生焦慮情緒，也激起了探索的欲望.此時(shí)，教師可引出著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生的經(jīng)典詩句：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔家分離萬事休.”以啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.同時(shí)給予學(xué)生充分的思考時(shí)間.

“瞬時(shí)速度→瞬時(shí)變化率”：引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)研究方法，利用類比思想得出函數(shù)[y=f（x）]在[x=x0]處的瞬時(shí)變化率.

通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道平均速度就是函數(shù)[h（t）]的平均變化率.瞬時(shí)速度就是函數(shù)[h（t）]的瞬時(shí)變化率.平均速度在[Δt→0]時(shí)的極限就是瞬時(shí)速度.追問學(xué)生：“能否說說，一般情況下，函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)變化率是怎樣的關(guān)系？”學(xué)生自然而然地得出瞬時(shí)變化率.至此，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)得以突破，剩下的就是如何把瞬時(shí)變化率和導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來.

這里的“瞬時(shí)變化率”其實(shí)就是我們所要研究的“導(dǎo)數(shù)”.

一般的，函數(shù)[y=f（x）]在[x=x0]處的瞬時(shí)變化率是[limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx]，我們稱它為函數(shù)[y=f（x）]在[x=x0]處的導(dǎo)數(shù)，記作[f ′（x0）]或[y′|x=x0]，即[f ′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx] .

3. “概念深化”抓內(nèi)涵和外延

“概念深化抓內(nèi)涵和外延”是本節(jié)課的靈魂，直接影響學(xué)生能否以更高階的思維去看問題、想問題.本環(huán)節(jié)內(nèi)容“導(dǎo)數(shù)”的式子的關(guān)鍵理解可運(yùn)用文字語言、符號(hào)語言和圖形語言來進(jìn)行描述.

教師可以問題“函數(shù)[y=f（x）]在[x=x0]處的導(dǎo)數(shù)[f ′（x）]由哪些量來構(gòu)成？”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)[f ′（x）]式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行思考.

首先我們來看它的結(jié)構(gòu)：這個(gè)式子的左邊為[limΔx→0]，右邊為分式[ΔyΔx]（平均變化率），我們一個(gè)個(gè)來分析每個(gè)量所表達(dá)的意思.

（1）“l(fā)im”是極限（limit）的縮寫，“[limΔx→0]”是極限符號(hào).

（2）“[x0+Δx]”是[x0]附近的任意一個(gè)值.

（3）“[ΔyΔx]”是函數(shù)[y=f（x）]在[x=x0]附近的平均變化率.

（4）“[Δx=（x0+Δx）-x0]”是自變量的增量，是任意的，可正可負(fù)，但不能是0；“[Δy=f（x0+Δx）-f（x0）]”為對(duì)應(yīng)函數(shù)值的增量.

（5）[x=x0]時(shí)，[f（x0）]是一個(gè)確定的數(shù).

（6）用[f（x0）]表示函數(shù)[y=f（x）]在[x=x0]處的導(dǎo)數(shù)，反映了函數(shù)在[x=x0]處變化的快慢.

通過以上分析，學(xué)生基本弄清導(dǎo)數(shù)是什么.在這個(gè)基礎(chǔ)上可進(jìn)一步強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的求解步驟.

第一步，確定[x0]附近的任意一個(gè)值，一般用“[x0+Δx]”表示.

第二步，求函數(shù)的增量[Δy=f（x0+Δx）-f（x0）].

第三步，化簡(jiǎn)函數(shù)值的增量[Δy]與自變量的增量[Δx]的比值.如：

[ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx] .

第四步，在第二步的化簡(jiǎn)結(jié)果中在[Δx→0]取極限，計(jì)算結(jié)果.

4.“應(yīng)用探索”抓層次性

教學(xué)例1、例2，其中例1強(qiáng)化學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的求解，例2回應(yīng)本節(jié)課的引入，使學(xué)生能夠熟悉導(dǎo)數(shù)的定義，進(jìn)一步鞏固導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法.

5.“總結(jié)歸納”抓知識(shí)建構(gòu)

本節(jié)課由于前面四個(gè)環(huán)節(jié)用時(shí)比較多，故“總結(jié)歸納”環(huán)節(jié)這部分的學(xué)習(xí)時(shí)間有限，基本上是蜻蜓點(diǎn)水式地小結(jié)，沒能為后續(xù)的學(xué)習(xí)（導(dǎo)數(shù)的幾何意義）做鋪墊.很是遺憾.在“總結(jié)歸納”環(huán)節(jié)理應(yīng)主抓學(xué)生的知識(shí)建構(gòu).

本節(jié)課的教學(xué)還有很多需要改進(jìn)的地方，后續(xù)還要進(jìn)一步地研究.

（特約編輯 安 平）