彭小珍

【摘 要】本文以“直線與方程”為例，探究提高高中生復(fù)習(xí)效率的策略，并結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)提出完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、變式題目、引入開(kāi)放性探究問(wèn)題、換位思考等四種具體方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)效率 直線與方程

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）07B-0155-02

進(jìn)入高中階段，數(shù)學(xué)課程的難度逐漸加大，不少學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中感到非常吃力，新課學(xué)不進(jìn)，復(fù)習(xí)課的效率也不高，最終導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績(jī)提升緩慢。想要學(xué)好新課程，復(fù)習(xí)課的效率必須提高，如果復(fù)習(xí)不到位，相當(dāng)于一座大廈的基石沒(méi)有打牢，那么接下來(lái)的新課學(xué)習(xí)就像是在建立一座搖搖欲墜的大廈，崩塌只需要一瞬間，所以高中數(shù)學(xué)教師一定要注重提高學(xué)生的復(fù)習(xí)效率。

在人教版高中數(shù)學(xué)必修 2 中，《直線與方程》這一單元是高中數(shù)學(xué)解析幾何中非常重要的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生扎實(shí)掌握這部分知識(shí)有助于學(xué)生對(duì)接下來(lái)學(xué)習(xí)解析幾何打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。下面筆者針對(duì)《直線與方程》這一單元的復(fù)習(xí)，淺談如何提高高中生的復(fù)習(xí)效率。

一、完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)知識(shí)總是相互聯(lián)系的，因此教師應(yīng)當(dāng)積極引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)聯(lián)，利用他們之間的邏輯關(guān)系，巧妙地將新舊知識(shí)銜接起來(lái)，這樣既能達(dá)到溫故知新的作用，也能幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)體系。尤其是《直線與方程》這一章，知識(shí)點(diǎn)繁多瑣碎，引導(dǎo)學(xué)生完善該部分的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并與其他章節(jié)的知識(shí)相互聯(lián)系，不僅能夠提高學(xué)生的解題效率，還能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。為了引導(dǎo)學(xué)生將以往所學(xué)的相關(guān)知識(shí)與《直線與方程》這一章節(jié)的內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)，靈活地解決問(wèn)題，筆者設(shè)計(jì)了如下例題：

例 1：已知點(diǎn) A（5，-1），B（1，1），請(qǐng)你找一個(gè)點(diǎn) C，使得 A、B、C 三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形（AB 為底邊）。

這道題目學(xué)生只要利用《直線與方程》這一章學(xué)到的知識(shí)即可解答：作 AB 的垂直平分線，除 AB 中點(diǎn)外垂直平分線上任意一點(diǎn)與 A，B 連接即可構(gòu)成等腰三角形。但是為了讓學(xué)生能夠把以前學(xué)過(guò)的知識(shí)與《直線與方程》這一章的知識(shí)相互聯(lián)系，筆者把問(wèn)題進(jìn)行了修改：A，B 點(diǎn)的位置不變，C 點(diǎn)在哪里才能構(gòu)成等腰直角三角形？

從等腰三角形到等腰直角三角形的跨越，大部分學(xué)生都比較遲疑，單純應(yīng)用《直線與方程》這一章學(xué)到的知識(shí)似乎還不足以解出這道題，筆者讓學(xué)生先思考，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的思考，學(xué)生得出了不同的解題方法。有的學(xué)生首先以 AB 為直徑作圓交 AB 垂直平分線于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)即為所求的 C 點(diǎn)，然后利用直線的位置關(guān)系分別求出直線 AB 與其垂直平分線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線 AB 的垂直平分線方程。又因?yàn)?A、B 兩點(diǎn)到直線 AB 垂直平分線的距離相等，所以利用點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，即可求得 C 的坐標(biāo)。這種解法不僅涉及圓和直線的位置關(guān)系，還運(yùn)用了函數(shù)的思想，可見(jiàn)該學(xué)生對(duì)這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)已融會(huì)貫通。

但并非所有的學(xué)生都能做到這一點(diǎn)，于是筆者就這道題所涉及的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了梳理，梳理的過(guò)程，筆者采用了思維導(dǎo)圖的方式，通過(guò)依次回顧直線的斜率與傾斜角、直線的位置關(guān)系、直線方程、兩點(diǎn)距離、點(diǎn)到直線間的距離等知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生建構(gòu)了這一章以及這一章與其他章之間完整的知識(shí)體系。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，使得學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)回顧了以往學(xué)過(guò)的內(nèi)容，最后筆者再加以整理，成功地將新舊知識(shí)串聯(lián)到一起，起到了很好的效果，促進(jìn)學(xué)生形成這一單元的知識(shí)體系，經(jīng)過(guò)這樣的梳理，很多學(xué)生在面對(duì)綜合性強(qiáng)的題目時(shí)，不再止步不前，復(fù)習(xí)效率得到了提高。

二、一題多解，一題多變

復(fù)習(xí)重要的不是掌握多少種解題的方法，而是提高應(yīng)用所學(xué)的方法與知識(shí)去靈活解決各類(lèi)問(wèn)題的能力，教師若采用題海戰(zhàn)術(shù)，只會(huì)讓學(xué)生感到疲憊不堪?！吨本€與方程》這一章屬于典型的解析幾何部分，采用多元變式的教學(xué)方法能夠有效提高學(xué)生的探究性思維能力與應(yīng)變能力。因此，為了提高學(xué)生的復(fù)習(xí)效率，教師應(yīng)當(dāng)注重緊扣問(wèn)題的共性?xún)?nèi)容，通過(guò)運(yùn)用條件變形、結(jié)論變形等手段進(jìn)行一題多解，一題多變的訓(xùn)練，點(diǎn)撥學(xué)生的思路，使其對(duì)相關(guān)知識(shí)形成深刻的理解并能加以靈活運(yùn)用。

例 2：已知三角形 ABC 的頂點(diǎn) A（3，-1），AB 邊上的中線所在的直線方程為 6x+10y-59=0，AC 邊上的中線所在的直線方程為 x-4y+10=0，求 BC 邊所在的直線方程。

對(duì)于這道題，學(xué)生通過(guò)傳統(tǒng)的解題方法即可解出答案：設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（x，y），AB 中點(diǎn)即為，點(diǎn)在直線 6x+10y-59=0 上，點(diǎn) B 在直線x-4y+10=0 上，將點(diǎn) B 坐標(biāo)代入方程，建立方程組即可求得點(diǎn) B 坐標(biāo)，同理可以求得點(diǎn) C 的坐標(biāo)，已知 B、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式求直線方程的公式即可求出直線 BC 的方程。

但是筆者并不滿(mǎn)足于讓學(xué)生只會(huì)解答這一道題，接下來(lái)，筆者通過(guò)改變條件對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了多元的轉(zhuǎn)化：

變式一：已知三角形 ABC 的頂點(diǎn) A（3，-1），AB 邊上的垂直平分線所在的直線方程為 6x+10y-59=0，AC 邊上的垂直平分線所在的直線方程為 x-4y+10=0，求 BC 邊所在的直線方程。

變式二：已知三角形 ABC 的頂點(diǎn) A（3，-1），∠ABC 的角平分線所在直線方程為 x-2y=0，∠ACB 的平分線所在直線方程為 x+y-1=0，求 BC 邊所在的直線方程。

變式三：已知三角形 ABC 的頂點(diǎn) A（3，-1），∠ABC 被 y 軸平分，∠ACB 被直線 y=x 平分，求 BC 邊所在的直線方程。

以上三個(gè)變式所涉及的知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)不僅僅是《直線與方程》這一章節(jié)的內(nèi)容，學(xué)生通過(guò)剖析這三個(gè)變式與原題的共性?xún)?nèi)容，結(jié)合過(guò)去學(xué)過(guò)的知識(shí)就能成功求解出正確答案。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多元轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用同類(lèi)型問(wèn)題當(dāng)中的共性?xún)?nèi)容加以思考與分析，從而高效地求解問(wèn)題，提高了學(xué)生的解題效率。

三、開(kāi)放思路，拓展空間

開(kāi)放性問(wèn)題能夠很好地拓展學(xué)生思維的空間，學(xué)生可以根據(jù)所學(xué)知識(shí)自由發(fā)揮解決實(shí)際問(wèn)題，打開(kāi)思路，多角度尋找解決問(wèn)題的方法。因此，教師可以在復(fù)習(xí)課上適當(dāng)?shù)匾腴_(kāi)放性探究問(wèn)題，充分打開(kāi)學(xué)生的思路，發(fā)揮其主觀能動(dòng)性。

在《直線與方程》這一單元的內(nèi)容中，學(xué)生學(xué)習(xí)了各種求直線方程的方法，包括兩點(diǎn)式、點(diǎn)斜式、斜截式、截距式、點(diǎn)法式等，為了進(jìn)一步鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)并打開(kāi)其思路，筆者設(shè)計(jì)了如下例題：

例 3：已知點(diǎn) A（5，-1），請(qǐng)你試著加一個(gè)條件，確定一條過(guò) A 點(diǎn)的直線，并求出直線方程。

這道題的開(kāi)放性很強(qiáng)，學(xué)生可以通過(guò)添加各種不同的條件，得到不同的直線方程。

學(xué)生 1：加一個(gè)點(diǎn) B（3，-2），利用兩點(diǎn)式求解直線方程；

學(xué)生 2：添加條件直線斜率為 ，利用點(diǎn)斜式求解直線方程；

學(xué)生 3：添加條件直線 AB 的縱截距為 3，利用截距式求解直線方程。

幾乎每個(gè)學(xué)生的答案都不一樣，但大家都成功應(yīng)用各種求直線方程的方法求解了這一問(wèn)題，成功實(shí)現(xiàn)了學(xué)以致用。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者利用開(kāi)放性問(wèn)題充分打開(kāi)了學(xué)生的思路，使學(xué)生進(jìn)入良好的復(fù)習(xí)狀態(tài)，進(jìn)一步鞏固了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，取得了很好的復(fù)習(xí)效果。

四、換位體驗(yàn)，深化認(rèn)知

如何讓復(fù)習(xí)課變得更新穎？筆者認(rèn)為，教師可以適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生嘗試換位體驗(yàn)，讓學(xué)生走上講臺(tái)，親自講評(píng)，做一回“小老師”。當(dāng)學(xué)生想要將解題思路與方法清晰地講評(píng)出來(lái)，自己就必須對(duì)問(wèn)題有透徹的理解，從而能夠進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生深化認(rèn)知，在互動(dòng)中取得更好的復(fù)習(xí)效果。

例 4：直線 L 過(guò)點(diǎn)（1，2）和第一、二、四象限，若直線L的橫截距與縱截距之和為 6，求直線 L 的方程。

筆者讓學(xué)生到講臺(tái)上講解這道題，以教師的角度為其他學(xué)生講解該題的解法。由于是要讓所有學(xué)生都能明白這道題的解題方法，所以每一個(gè)步驟都必須清晰，且有理有據(jù)，這就要求學(xué)生除了會(huì)解，還要會(huì)講。以下為某學(xué)生的講解過(guò)程：

分析這道題，我們可以發(fā)現(xiàn)題目給出的條件大多都與直線截距有關(guān)，所以這道題可以利用截距式的方法求解直線方程。首先可以設(shè)橫截距為 a，則縱截距為 6-a，直線方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)（1，2）是直線 L 上的一點(diǎn)，所以可以將點(diǎn)代入方程，解得 a=2 或 3，接下來(lái)只需要進(jìn)行分類(lèi)討論，分別將 a=2 與 a=3 代入 ，即可求得直線 L 的方程。這道題主要是利用待定系數(shù)法求直線的截距方程，解題的過(guò)程要注意滿(mǎn)足題意的 a 值有兩個(gè)。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行換位體驗(yàn)，活躍了課堂氛圍，促進(jìn)學(xué)生在準(zhǔn)備講評(píng)的過(guò)程中深化對(duì)知識(shí)的理解，并且鍛煉了學(xué)生的膽量與表達(dá)能力，高效完成了教學(xué)目標(biāo)。

綜上所述，教師在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)《直線與方程》展開(kāi)復(fù)習(xí)時(shí)，通過(guò)采用串聯(lián)舊知、條件變形、開(kāi)放思路、換位體驗(yàn)等教學(xué)方法，能夠產(chǎn)生高效的復(fù)習(xí)效果，促進(jìn)學(xué)生將瑣碎的知識(shí)點(diǎn)形成知識(shí)體系并能夠熟練應(yīng)用，有效提升其數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng)?？傊煌颇康膹?fù)習(xí)有不同的方法，教師應(yīng)當(dāng)善于根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，制定出科學(xué)的復(fù)習(xí)目標(biāo)，使學(xué)生學(xué)有所獲。

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[3]原金潮.百花齊放話直線——直線與方程[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2012（S1）

（責(zé)編 韋 力）