鄭日鋒

[摘 要] 從一道教材習(xí)題出發(fā)，站在研究問題的高度，通過問題變式與拓展，引導(dǎo)學(xué)生探究，讓學(xué)生體驗問題研究的過程，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 復(fù)習(xí)課教學(xué)；教材習(xí)題；數(shù)學(xué)本質(zhì)

復(fù)習(xí)課教學(xué)的根本任務(wù)是促進(jìn)知識條理化、系統(tǒng)化，進(jìn)而提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 而傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課中，教師往往進(jìn)行“就題論題”教學(xué)，題目之間缺乏聯(lián)系，對某種方法重復(fù)操練，很多時候“見木不見林”，對學(xué)生能力提升不夠；長期的教師出題學(xué)生做題，扼殺了學(xué)生的提出問題能力；雖然課堂上精講精練，學(xué)生碰到相關(guān)問題還是束手無策，感悟不到問題的本質(zhì). 如何改進(jìn)傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課教學(xué)，是每一位數(shù)學(xué)教師的重要課題.不久前，筆者公開教學(xué)“圓錐曲線復(fù)習(xí)課”，這節(jié)課從一道教材習(xí)題出發(fā)，通過問題的變式及拓展，引導(dǎo)學(xué)生探究，完成了對“三基”的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生體驗了研究數(shù)學(xué)問題的過程，學(xué)生的思維能力得到了有效的提升.

[?] 教學(xué)簡錄

1. 學(xué)生講解上節(jié)課問題的解題思路

解決直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用坐標(biāo)法思想、方程思想，以上是比較簡便的方法，第（1）小題證法1設(shè)點(diǎn)，證法2設(shè)斜率，證法1簡便些，有些同學(xué)將OA⊥OB轉(zhuǎn)化為kOA·kOB=-1，再轉(zhuǎn)化為y1y2=-4，與向量轉(zhuǎn)化殊途同歸. 還有很多同學(xué)是通過消y的方法解決，顯得比較煩瑣，如果換成開口向上或向下的拋物線，選擇消去y的方法比較簡便.

2. 探尋條件不變下的其他結(jié)論

教師：科代表既介紹了同學(xué)們的各種解法，也對各種解法的特點(diǎn)作了點(diǎn)評，非常全面而到位.此問題說明OA⊥OB與直線l恒過定點(diǎn)M（2，0）是等價的.現(xiàn)在我給大家提出下列問題.

的最小值；②求S△OAB的最小值；③求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；④過O作OH⊥AB于H，求H的軌跡方程.

教師：愛因斯坦說：“提出問題比解決問題更重要.”同學(xué)們不但會做題而且會編題，下面從同學(xué)們編擬的題目中挑選第②，③題，想一想大致思路.

學(xué)生1：第②小題我的做法是：（建立目標(biāo)函數(shù)法）由OA⊥OB得直線l恒過定點(diǎn)M（2，0），且y1y2=-4. 所以S△OAB=·2·

教師：學(xué)生1和學(xué)生2都能靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，而且能根據(jù)問題的特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題.

3. 探尋得到結(jié)論的其他條件

問題2：能否將OA⊥OB換成其他條件，也得到直線l恒過定點(diǎn)M（2，0）？

教師：學(xué)生10具有敏銳的洞察能力和較強(qiáng)的概括能力，說明拋物線的結(jié)論在特殊情況下對橢圓并不成立，需要附加條件. 請思考：上述（1）（2）的結(jié)論有怎樣的聯(lián)系？

學(xué)生11：（2）的結(jié)論可以看作是定點(diǎn)在y軸上的無窮遠(yuǎn)處.

教師：學(xué)生11利用極限思想找到看似不同的結(jié)論的聯(lián)系. 太棒了！

教師：這節(jié)課我們從課本的一道習(xí)題出發(fā)，經(jīng)過聯(lián)想，縱向提出問題；經(jīng)過類比，橫向提出問題，所有這些問題不外乎定點(diǎn)問題與定值問題，解決這兩類問題的總體策略都是坐標(biāo)法思想與方程思想，具體地說有兩種方法，一是設(shè)點(diǎn)參數(shù)，體現(xiàn)了設(shè)而不求思想；二是設(shè)線參數(shù)（斜率或斜率的倒數(shù)）. 真所謂萬變不離其宗！

請同學(xué)們完成本節(jié)課未解決的問題，并思考：你能否將問題2得到的結(jié)論推廣到一般情況？類比到橢圓、雙曲線又能得到怎樣的結(jié)論？

[?] 教學(xué)啟示

教材是眾多專家集體智慧的結(jié)晶，經(jīng)過長期的使用、修改而不斷完善，日臻成熟. 本節(jié)課把一道教材習(xí)題的改編作為原問題，喚起學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本方法的回憶，然后循著原問題，引導(dǎo)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題，始終以學(xué)生為本，貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，時而學(xué)生提出問題，時而教師提出問題，最大限度地調(diào)動了學(xué)生探究學(xué)習(xí)的熱情.

驅(qū)動學(xué)生積極思考，經(jīng)歷觀察、試驗、類比、概括、推理等一系列的過程，從感性到理性，從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象，從錯誤到正確，生生之間、師生之間的思維不斷地碰撞. 學(xué)生敢于聯(lián)想、敢于質(zhì)疑，并能提出自己的問題，這是學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究的關(guān)鍵和根本. 蘇霍姆林斯基曾說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者. 而在兒童的精神世界中，這種需要則特別強(qiáng)烈.”

在這些不斷變化的問題中，會讓學(xué)生站得更高，看得更遠(yuǎn)，讓學(xué)生頓悟貫穿其中的數(shù)學(xué)思想方法，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì). 一個數(shù)學(xué)問題是如何演變的，一個數(shù)學(xué)結(jié)論是如何得到的，如何提出猜想，又如何否定猜想、修正猜想、證明猜想，問題與問題之間是有機(jī)聯(lián)系的，問題是變化的而解決問題的方法、策略卻是不變的，隨著問題的變化，方法、策略又需要調(diào)整. 這節(jié)課學(xué)生體驗了研究數(shù)學(xué)問題的過程，也鍛煉了意志品質(zhì)，提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，收獲了知識，更收獲了方法、思想，還為今后更高層次的創(chuàng)新奠定了基礎(chǔ).endprint