高遠(yuǎn)

[摘 要] 圖式及其理論是描寫學(xué)習(xí)心理的重要理論，許多教學(xué)理論都與圖式理論相關(guān).高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用圖式理論來解釋教學(xué)，可以讓教師更清晰地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，并對教學(xué)過程的優(yōu)化產(chǎn)生新的理解.在實(shí)踐的基礎(chǔ)上研究圖式理論，并尋求圖式理論對學(xué)習(xí)過程的有效解釋，都可以促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對圖式建立或激活、學(xué)習(xí)方式選擇（同化或順應(yīng)）、新圖式形成等方面獲得長足的發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；圖式理論；圖式教學(xué)；理論深思

當(dāng)將高中數(shù)學(xué)教學(xué)置于某一個理論之下時，你會發(fā)現(xiàn)理論與實(shí)踐之間可以形成一個良好的關(guān)系.在解釋學(xué)習(xí)的多種理論中，擁有圖式理論很重要，尤其是對高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，圖式理論在數(shù)學(xué)概念構(gòu)建、規(guī)律理解、問題解決等各個方面都有著重要的實(shí)踐解釋與理論引領(lǐng)作用，可以讓教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)及過程的理解更為透徹，可以讓教師自身的專業(yè)成長尋找到更好的參照. 長期以來，利用圖式理論解釋高中數(shù)學(xué)教學(xué)的嘗試一直被數(shù)學(xué)教師所重視，即使在課程改革最高潮的時候，圖式理論也從未淡化過其色彩. 而當(dāng)今天教育理論界準(zhǔn)備用核心素養(yǎng)以及學(xué)科核心素養(yǎng)引領(lǐng)課程改革進(jìn)一步深化的時候，筆者發(fā)現(xiàn)圖式理論仍然有著非常強(qiáng)的生命力.

[?] 對圖式及圖式理論的理解內(nèi)化

圖式是一個具有一定歷史發(fā)展歷程的概念，關(guān)于圖式的理解有很多種，有人認(rèn)為“圖式就是人腦中已有的知識結(jié)構(gòu)”，也有人認(rèn)為“圖式是人腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（與知識結(jié)構(gòu)是完全不同的概念，不能混淆）”，還有人認(rèn)為“圖式就是人對已有的經(jīng)驗(yàn)的有效組合”……透過這些理解可以發(fā)現(xiàn)，盡管對圖式的描述不盡相同，但其中有一個共性，那就是圖式是人腦中已有的知識或經(jīng)驗(yàn)及其有機(jī)的組合.

對圖式的研究，要以著名的瑞士心理學(xué)家皮亞杰最為深入，因此皮亞杰的理論常常被稱之為“圖式理論”，在皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識論中，圖式是一個基礎(chǔ)性的概念，是學(xué)習(xí)發(fā)生的基礎(chǔ)，其與同化、順應(yīng)、平衡一起，共同組成學(xué)習(xí)的過程.在這四者當(dāng)中，圖式是基礎(chǔ)，同化及順應(yīng)是學(xué)生發(fā)生學(xué)習(xí)的兩種不同方式——同化是用原有的知識演繹出新的知識，而順應(yīng)則是通過對原有圖式的調(diào)整甚至是建立新的圖式以完成新知識的建構(gòu)，而學(xué)習(xí)的結(jié)果是達(dá)到新的平衡.

課程改革以來，對理論支柱的討論非常熱烈，盡管通常并不認(rèn)為建構(gòu)主義是課程改革的基礎(chǔ)，但在實(shí)際教學(xué)尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)中，還是可以看到明顯的建構(gòu)主義理論的影子，而建構(gòu)主義就是十分重視學(xué)生的原有知識或經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)的——先前經(jīng)驗(yàn)，這又是與圖式理論極為一致的，因此很多人認(rèn)為建構(gòu)主義實(shí)際上是對圖式理論及其他相關(guān)理論的一種綜合，是一種有效的描述知識（尤其是理科知識）學(xué)習(xí)的重要方式.

今天我們嘗試用圖式理論理解高中數(shù)學(xué)教學(xué)，一個重要的思路就是遵循知識發(fā)生的過程，并尋求圖式理論的解釋，而解釋的最基本的途徑，就是在圖式的基礎(chǔ)上如何通過同化或順應(yīng)，來達(dá)到新的平衡.

[?] 用圖式理論理解數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的本義是教師教學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)，其最終是指向?qū)W生的學(xué)習(xí)的——這一點(diǎn)與圖式理論毫無二致. 因此用圖式理論理解高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程，也就是用圖式理論解釋高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，只不過在這個過程中需要留一只眼睛觀看教師的教學(xué)行為與思考罷了.

先以數(shù)學(xué)概念的教學(xué)為例. 在“圓錐曲線”這一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)中，通常都是用一個平面與一個圓錐面相截，可以得到高中數(shù)學(xué)中的多種典型的曲線，如橢圓、雙曲線、拋物線等，在實(shí)際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，盡管學(xué)生對橢圓、雙曲線和拋物線三個概念具有一定的先前經(jīng)驗(yàn)，也就是學(xué)生已經(jīng)具有了較好的圖式——這個圖式來自于生活經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（也包括其他相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)，如物理學(xué)科中對拋體運(yùn)動的研究），但是這些圖式對于此處知識的構(gòu)建難以起到真正的促進(jìn)作用，因?yàn)樵趫A錐曲線的視角下，這三個重要的曲線都是通過到兩個定點(diǎn)，或到一個定點(diǎn)與一條直線的距離的比滿足一定條件的點(diǎn)的軌跡來定義的. 這種定義方式十分抽象，其難以以形象的事物作為支撐，甚至有的時候還會在部分學(xué)生的思維里引發(fā)混亂，正如有學(xué)生所說“你告訴我一個物體拋出去就是一個拋物線我還能理解，你說到一個定點(diǎn)和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線，我反而不太容易理解”，這就是概念建構(gòu)的復(fù)雜性.

利用圖式理論來建構(gòu)有效的學(xué)習(xí)過程的設(shè)計(jì)可以是這樣的：第一步，先讓學(xué)生充分回憶橢圓、雙曲線、拋物線的相關(guān)知識，并在腦中形成清晰的表象，從圖式的角度來看，這是利用形象思維重現(xiàn)清晰的圓錐曲線的表象，以讓這個圖式更為清晰與立體；第二步，借助于現(xiàn)代教學(xué)手段，利用動畫完成平面與圓錐面相切的過程，在這個過程中，以上三個曲線的最終形成可以用不同的顏色的線條凸顯出來，以強(qiáng)化學(xué)生已有的圖式；第三步，借助于圖式理論中的順應(yīng)（無法同化），在確定了平面內(nèi)的定點(diǎn)或定直線之后，以到定點(diǎn)或定直線的距離作為研究對象（也同時進(jìn)入了順應(yīng)的過程），重新構(gòu)建對三種曲線的理解；第四步，通過兩種圓錐曲線的認(rèn)識方式的比較，深化對圓錐曲線形成的認(rèn)識，從而達(dá)到新的平衡，并建立新的圖式.

這樣的教學(xué)過程中，從舊圖式向新圖式的過渡過程，就是一個學(xué)生的數(shù)學(xué)知識延伸與數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過程，以圖式理論來解釋這樣的一個過程，會較為清晰地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)，并預(yù)知有可能出現(xiàn)的困難（就是順應(yīng)過程中的困難），從而提出有效的措施.顯然，這對于學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，也是很有價值的.

問題解決也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要內(nèi)容，從圖式理論的角度來看，問題解決就是學(xué)生運(yùn)用已有圖式去尋求問題解釋的過程. 最基本的問題解決就是數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，而如果這個習(xí)題具有一定的生活情境，則對學(xué)生的圖式就更是一個有效的考驗(yàn). 在圓錐曲線知識的學(xué)習(xí)中有這樣的一個問題：取一條拉鏈，打開它的一部分，在拉開的兩邊各選擇一點(diǎn)，分別固定，然后將筆尖放在拉鏈開合的交界處，隨著拉鏈的閉合或拉開，就可以得到一條曲線，試判斷這個曲線屬于圓錐曲線中的哪一種曲線.

這個問題如果直接放在圓錐曲線的學(xué)習(xí)之后解答，那學(xué)生在調(diào)用圖式的時候會簡單一些；如果在圓錐曲線學(xué)習(xí)之后一段時間再考查學(xué)生，那學(xué)生在判斷運(yùn)用哪個圖式的時候就復(fù)雜一些.但有一點(diǎn)可以肯定的是，問題中的相關(guān)條件如兩個定點(diǎn)等，已經(jīng)能夠激活學(xué)生在圓錐曲線學(xué)習(xí)中建立的相關(guān)圖式，而恰當(dāng)?shù)膱D式一旦被有效激活，那問題的解決就有了一半. 因此在本問題的解決過程中，筆者的重心就放在圖式激活上，就放在跟學(xué)生一起解讀問題的表述方式，并通過數(shù)學(xué)抽象，將之或以實(shí)際拉鏈的操作（數(shù)學(xué)活動），或以圖形加工（想象表象的建立）的方式，以幫學(xué)生形成清晰的圖式. 事實(shí)證明，這樣的工作是有效的，如果把學(xué)生對此問題的解決比作一個工程，那這樣的激活、建立圖式的過程，就是一個打基礎(chǔ)的過程. 只要這個過程是順利的，只要學(xué)生解決問題的圖式被順利建立起來，那后面的問題可以迎刃而解，而這恰恰就是問題解決所追求的效果.

因此從上面所舉的兩個例子來看，圖式理論在解釋有效學(xué)習(xí)、有效教學(xué)的時候，確實(shí)可以發(fā)揮重要的引領(lǐng)作用，從而讓教師的教學(xué)思路更清晰，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程更有效.

[?] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中圖式理論深思

用圖式理論來解釋高中數(shù)學(xué)教學(xué)不是一個創(chuàng)舉，但其帶來的思考卻是深刻的. 長期以來，高中數(shù)學(xué)教學(xué)由于應(yīng)試的需要，而自困于應(yīng)試教育的空間里，盡管在這個空間中數(shù)學(xué)教師或許有著各種各樣的成就感，但其真正從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度來看，其實(shí)可以發(fā)現(xiàn)自己并沒有真正走入數(shù)學(xué)，而這顯然是數(shù)學(xué)教師的遺憾；再從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來看，數(shù)學(xué)教學(xué)的過程應(yīng)當(dāng)是一個自身專業(yè)成長的過程，可囿于應(yīng)試，除了整天刷題，幾乎沒有其他的研究數(shù)學(xué)及其教學(xué)的機(jī)會，因此很難說有專業(yè)成長；最后從學(xué)生成長的角度來看，盡管我們承認(rèn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要取得高校的入場券，可是數(shù)學(xué)作為一門工具性、基礎(chǔ)性學(xué)科，學(xué)生在三年的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中真正獲得了什么樣的理性思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這仍然是需要評估的.

所有的這些思考，其實(shí)都指向了同一個問題，那就是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中是不是有一個有效的理論在引領(lǐng)自己前行. 圖式理論是經(jīng)典的教學(xué)理論，圖式理論在無數(shù)的課程改革、教學(xué)改革中都經(jīng)受了考驗(yàn)，其直接指向人的有效學(xué)習(xí)過程，通過簡易卻有效的過程來說明學(xué)習(xí)的過程，并從中發(fā)現(xiàn)影響學(xué)習(xí)的相關(guān)因素，這顯然可以讓教師有效地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，用來解釋高中數(shù)學(xué)教學(xué)是非常恰當(dāng)?shù)?

在筆者看來，圖式理論真的是博大精深，其對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的價值還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有被完全發(fā)掘出來，需要一線教師結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐付出更多的努力.endprint