董紅超

[摘 要] 數(shù)學(xué)建模思想是新課程理念中發(fā)展學(xué)生應(yīng)用能力的重要體現(xiàn)，綜合現(xiàn)階段的研究成果我們可以從數(shù)學(xué)建模的定位、定義、過(guò)程、功能和現(xiàn)狀五個(gè)方面來(lái)考察高中階段的數(shù)學(xué)建模；透過(guò)對(duì)各個(gè)教材的掃描可以發(fā)現(xiàn)高中課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)建模的具體內(nèi)容要求；根據(jù)高中階段數(shù)學(xué)建模的難易程度可以將建模教學(xué)分為三個(gè)階段來(lái)進(jìn)行.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模；基本認(rèn)知；內(nèi)容要求；教學(xué)融入

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出要提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想. 隨著課程理念的深入，數(shù)學(xué)建模在高中教學(xué)中的重要性逐步被人們關(guān)注. 一個(gè)典型的標(biāo)志在各省的高考和調(diào)研卷中，數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題總是作為倒數(shù)第三道問(wèn)題出現(xiàn)，并且越來(lái)越現(xiàn)實(shí)化，有逐步擺脫應(yīng)用題的趨勢(shì). 本文嘗試從現(xiàn)階段對(duì)高中數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知、內(nèi)容要求和教學(xué)融入三個(gè)層面來(lái)管窺高中階段數(shù)學(xué)建模思想.

[?] 高中階段對(duì)數(shù)學(xué)建模的基本認(rèn)知

基于對(duì)現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)建模專(zhuān)題研究的成果，本文嘗試從定位、定義、過(guò)程、功能、現(xiàn)狀等五個(gè)方面來(lái)闡釋我國(guó)高中階段對(duì)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模思想的基本認(rèn)知.

首先，從定位角度看我國(guó)對(duì)高中階段的數(shù)學(xué)建模普遍持一種應(yīng)用性取向. 目前國(guó)際上對(duì)高中階段數(shù)學(xué)建模思想的定位有本身取向——數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身的內(nèi)容；應(yīng)用性取向——數(shù)學(xué)建模是提高實(shí)際問(wèn)題解決能力的重要工具；動(dòng)力性取向——數(shù)學(xué)建模能夠提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力. 這幾種取向各有支持，但從我國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)的描寫(xiě)來(lái)看，我國(guó)對(duì)高中數(shù)學(xué)建模定位應(yīng)當(dāng)是應(yīng)用性取向，因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的課程理念欄目下第五條明確指出要發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)提出高中數(shù)學(xué)課程要開(kāi)展數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中教材要能為基本的知識(shí)提供相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)背景，同時(shí)建模學(xué)習(xí)要能夠反映現(xiàn)實(shí)價(jià)值.

其次，從定義角度看持不同定位的專(zhuān)家對(duì)數(shù)學(xué)建模的定義并不相同. 但我國(guó)所持的應(yīng)用取向的建模定位決定了我國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)建模的定義必定帶有應(yīng)用的味道. 我們認(rèn)為“數(shù)學(xué)建模思想就是用數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)處理實(shí)際問(wèn)題的一種方法，它通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的觀察與分析，抽象出實(shí)際問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，并把這些內(nèi)在聯(lián)系轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系，利用數(shù)學(xué)關(guān)系建構(gòu)與實(shí)際問(wèn)題相符的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)，從而使原有問(wèn)題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)方法與思想.”

第三，從過(guò)程的角度來(lái)看數(shù)學(xué)建模大致需要經(jīng)歷問(wèn)題情境—現(xiàn)實(shí)模型—數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)結(jié)果—問(wèn)題情境這樣一個(gè)循環(huán)過(guò)程. 也就是說(shuō)數(shù)學(xué)建模是從實(shí)際出發(fā)將其理想化成現(xiàn)實(shí)的模型，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)化的改造形成數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)數(shù)學(xué)的思考過(guò)程得出一定的數(shù)學(xué)結(jié)果，并將結(jié)果帶回實(shí)際中進(jìn)行驗(yàn)證和闡釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程.

第四，從功能的角度來(lái)考察數(shù)學(xué)建模，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建構(gòu)對(duì)于修正傳統(tǒng)教學(xué)、拓展學(xué)生的思維力和發(fā)展學(xué)生實(shí)踐能力有著重要的價(jià)值. 首先傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注的是學(xué)生的數(shù)理邏輯和演算能力，這種教學(xué)往往脫離實(shí)際，而數(shù)學(xué)建模用抽象思維來(lái)針對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，能夠發(fā)展學(xué)生的形式邏輯對(duì)單一的傳統(tǒng)教學(xué)起到修正作用；其次，一般數(shù)學(xué)教學(xué)往往側(cè)重于聚合思維，而對(duì)發(fā)散思維則關(guān)注不夠，數(shù)學(xué)建模因其情境模糊性并沒(méi)有現(xiàn)成的解決方向，因而更能關(guān)注到學(xué)生的發(fā)散思維能力；第三，現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的問(wèn)題往往是高度數(shù)學(xué)化的問(wèn)題，這樣的問(wèn)題具有高度的數(shù)理性，它就像懸在空中的樓閣一樣不接地氣，對(duì)學(xué)生的實(shí)踐能力發(fā)展沒(méi)有太大裨益，而數(shù)學(xué)建模則起源于現(xiàn)實(shí)又歸復(fù)于現(xiàn)實(shí)，需要學(xué)生從實(shí)踐中來(lái)到實(shí)踐中去有助于發(fā)展學(xué)生實(shí)踐能力.

第五，從現(xiàn)狀的角度看我國(guó)高中階段數(shù)學(xué)建?？捎眉戎档眯老灿至钊藫?dān)憂來(lái)形容. 欣喜的是自新課程改革以來(lái)，由于新的教學(xué)理念在教師中不斷扎根，數(shù)學(xué)建模的思想在高中階段受到越來(lái)越多的關(guān)注，逐步走進(jìn)了我們?nèi)粘＝虒W(xué)中. 但關(guān)于建模教學(xué)的現(xiàn)狀又是令人擔(dān)憂的. 這其中存在兩類(lèi)突出的問(wèn)題：其一，不少教師將數(shù)學(xué)建模的教學(xué)等同于傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)，嚴(yán)重地窄化了數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵；其二，數(shù)學(xué)建模因其生成的特性使得耗時(shí)較長(zhǎng)，而當(dāng)今的高中教學(xué)又處在一個(gè)十分注重教學(xué)進(jìn)度的時(shí)代，這就造成雖然認(rèn)知到其重要性但又不愿在建模上花時(shí)間的教學(xué)現(xiàn)狀.

[?] 高中階段中數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容要求

掃描幾個(gè)不同版本的高中數(shù)學(xué)教材，可以發(fā)現(xiàn)與大學(xué)階段數(shù)學(xué)建模獨(dú)立成體系不同，高中階段的數(shù)學(xué)建模思想更多的是滲透在各個(gè)知識(shí)的運(yùn)用之中，這一點(diǎn)也恰恰與我國(guó)課標(biāo)對(duì)高中數(shù)學(xué)建模思想的定位相契合. 具體說(shuō)來(lái)，高中階段滲透在各章節(jié)中的數(shù)學(xué)模型大致可歸納為函數(shù)模型、三角模型、概率模型、數(shù)列模型和不等式模型等幾個(gè)重要內(nèi)容. 按照教學(xué)的順序我們可以把這些建模教學(xué)分為三個(gè)階段：高一年級(jí)簡(jiǎn)易建模；高二年級(jí)中等建模；高三年級(jí)綜合建模.

首先，在高一年級(jí)學(xué)生由于受知識(shí)范圍的限制，只能進(jìn)行簡(jiǎn)易的建模教學(xué).在這一階段仍以較高程度數(shù)學(xué)化的應(yīng)用題為中介，往往是純數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)后呈現(xiàn)問(wèn)題使學(xué)得的知識(shí)在問(wèn)題中得以應(yīng)用；同時(shí)這一階段仍是以教師對(duì)模型建構(gòu)的示范，學(xué)生跟隨教師學(xué)習(xí)的方式為主. 此階段中主要涉及的建模內(nèi)容有函數(shù)模型，概率模型.

例：某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)計(jì)算機(jī)的固定成本為200萬(wàn)元，生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為3000元，每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為5000元. 分別寫(xiě)出總成本C（萬(wàn)元）、單位成本P（萬(wàn)元）、銷(xiāo)售收入R（萬(wàn)元）以及利潤(rùn)L（萬(wàn)元）關(guān)于總產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式.

其次，在高二年級(jí)由于學(xué)生經(jīng)歷了一年的高中學(xué)習(xí)，無(wú)論知識(shí)面還是處理問(wèn)題的能力都得到了一定發(fā)展，有了進(jìn)行中等難度建模學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 在這一階段建模學(xué)習(xí)的中介是經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)處理后的應(yīng)用題，主體由教師逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生，以學(xué)生模仿為主，而教師的作用更主要的表現(xiàn)為引導(dǎo)和助推. 此階段中所涉及的建模內(nèi)容包含三角模型、數(shù)列模型和不等式模型.

例：一個(gè)摩天輪半徑為10 m，輪子的底部在地面上2 m處，如果此摩天輪按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，每30 s轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過(guò)點(diǎn)P處（點(diǎn)P與摩天輪中心高度相同）時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí).（1）求此人相對(duì)于地面的高度關(guān)于時(shí)間的關(guān)系式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，約有多長(zhǎng)時(shí)間此人相對(duì)于地面的高度不小于17 m..endprint

第三，在高三階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)完高中階段的所有內(nèi)容，知識(shí)和能力達(dá)到階段性飽和，有了進(jìn)行綜合性建模的前提.這一階段建模的情境已經(jīng)變成徹底實(shí)際化的“原坯”問(wèn)題，這一階段中學(xué)生能夠脫離教師進(jìn)行獨(dú)立的數(shù)學(xué)模型建構(gòu). 此階段中所涉及的建模內(nèi)容不再拘泥于哪一種數(shù)學(xué)模型而更傾向于各種模型的綜合應(yīng)用.

例：A，B是兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站，B在A的正東方向16 km處，AB的南面為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個(gè)垃圾發(fā)電廠P. P的選址擬滿足以下兩個(gè)要求：①發(fā)電廠到兩中轉(zhuǎn)站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成等系數(shù)反比，②發(fā)電廠要遠(yuǎn)離居民區(qū). 現(xiàn)估測(cè)A、B兩中轉(zhuǎn)站每天處理的垃圾量約為30和50噸，問(wèn)發(fā)電廠應(yīng)如何選址.

[?] 高中階段里數(shù)學(xué)建模的教學(xué)融入

根據(jù)數(shù)學(xué)建模在高中內(nèi)容要求中的不同難度，個(gè)人認(rèn)為應(yīng)當(dāng)對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行整體規(guī)劃，具體的講：建模的教學(xué)融入也分初級(jí)、中級(jí)和高級(jí)三個(gè)階段來(lái)進(jìn)行. 在分段進(jìn)行教學(xué)融入的同時(shí)也要關(guān)注形式與方法的選擇.

高一是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的初級(jí)階段. 這一階段主要任務(wù)是簡(jiǎn)單介紹數(shù)學(xué)建模的相關(guān)內(nèi)容，以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的興趣為主. 這主要是因?yàn)楦咧幸郧暗臄?shù)學(xué)教學(xué)的絕對(duì)核心是數(shù)理知識(shí)的掌握，對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)缺乏焦點(diǎn)的關(guān)注，同時(shí)學(xué)生知識(shí)范圍也相對(duì)窄小，所以學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型基本上是毫無(wú)意識(shí)的. 因而，這一階段的建模教學(xué)應(yīng)當(dāng)以教師的示范為主，在拓展學(xué)生知識(shí)范圍的同時(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，從而逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型，介入數(shù)學(xué)建模. 這一階段的教學(xué)形式主要以插入式為主，即在傳授知識(shí)的過(guò)程中遇到與數(shù)學(xué)模型相關(guān)的情境時(shí)，可以進(jìn)行問(wèn)題分析、模型分析和模型建立的講解插入.

高二數(shù)學(xué)建模教學(xué)的中級(jí)階段. 這一階段主要任務(wù)是讓學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)建模與解模的過(guò)程，以數(shù)學(xué)建模思想的扎根為主. 這主要是因?yàn)榻?jīng)過(guò)一年時(shí)間教師不斷地穿插引導(dǎo)，在潛移默化中學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)建模，同時(shí)一年學(xué)習(xí)使學(xué)生的知識(shí)面得到了一定范圍的拓展，從而有了一定建模能力. 但此時(shí)學(xué)生的意識(shí)仍然停留在用一定的數(shù)學(xué)知識(shí)解決應(yīng)用題的階段，并未能認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型對(duì)于解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的作用. 為了使數(shù)學(xué)建模思想扎根學(xué)生意識(shí)中，教學(xué)中可以數(shù)學(xué)建模專(zhuān)題的形式，對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行討論，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模與解模的全部過(guò)程. 同時(shí)根據(jù)建模難度的差異選擇學(xué)生獨(dú)立或小組合作的形式進(jìn)行.

高三是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的高級(jí)階段. 這一階段的主要任務(wù)是發(fā)展學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以綜合性數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)為主. 這主要是因?yàn)楦呷呀?jīng)進(jìn)入復(fù)習(xí)階段，學(xué)生的知識(shí)與能力達(dá)到了階段性的飽和狀態(tài)，同時(shí)經(jīng)過(guò)二階段的鍛煉建模意識(shí)已扎根學(xué)生心中，有了綜合性建模的基礎(chǔ). 這一階段學(xué)生已經(jīng)能獨(dú)立進(jìn)行分析問(wèn)題—?dú)w納模型—數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)結(jié)果—驗(yàn)證問(wèn)題這一完整的建模過(guò)程，而教師已經(jīng)基本成了一名觀察員. 因此這一階段的建模教學(xué)更應(yīng)傾向于課外的輔導(dǎo)與活動(dòng).

透過(guò)上面的分析，個(gè)人認(rèn)為高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)融入可用教師與學(xué)生角色發(fā)展來(lái)刻畫(huà). 教師由初級(jí)階段的主導(dǎo)者發(fā)展到中級(jí)階段的引導(dǎo)者再到高級(jí)階段的觀察者；學(xué)生由初級(jí)階段的學(xué)習(xí)者發(fā)展到中級(jí)階段的參與者再到高級(jí)階段的主體.endprint