歐憲勝

【摘要】開放性數(shù)學問題能調動學生學習的積極性，激發(fā)學生的學習興趣，拓寬學生的數(shù)學思維空間，有利于學生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力以及解決實際問題能力的培養(yǎng)。本文討論數(shù)學課堂教學中開放性數(shù)學問題的設計，從生活實際中取材、教材習題中改編以及讓學生主動參與設計三方面進行論述。

【關鍵詞】數(shù)學問題 開放性數(shù)學問題 問題設計 數(shù)學教學

中圖分類號：G633.6

開放性數(shù)學問題是相對于傳統(tǒng)的“條件完備、結論確定”的封閉性練習題而言的。它只是“問題”，而不是有現(xiàn)成的解決模式可套的“習題”。開放性數(shù)學問題中，可能所提供的條件不完備，需要在求解過程中不斷充實和增添假設；也可能是答案不唯一確定，結論或結果一般是豐富多彩的；解決問題的思想和途徑可能因人而異，靈活多樣；開放性問題可以是純數(shù)學的，也可以是從實際生活中提出來的。正因為這樣，開放性數(shù)學問題給學生留下的探索空間很大，有助于開發(fā)學生的發(fā)散性數(shù)學思維。

一、關于開放性數(shù)學問題的重要性

開放性問題由于其自身的開放特征，一改封閉性問題的條件、答案唯一的特點，吸引學生不依賴于教師、不依賴于書本，獨立地去探索和發(fā)現(xiàn)問題的各種各樣的答案，使學生能在不同水平的答案交流中共同的討論，互相學習，不斷進步。

隨著新課程改革的落實，各種新題型紛紛出現(xiàn)，特別隨著近年來中考和高考開放題的相繼出現(xiàn)，開放性數(shù)學問題在中國已受到了廣大數(shù)學教師的普遍關注，學生對開放型問題非常歡迎。開放題有利于培養(yǎng)學生運用數(shù)學的意識和探索的精神，開放題有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質，能保障學生的主體地位，有助于學生主體意識的形成，有利于全體學生的主動參與，有利于實現(xiàn)教學的民主性和合作性，有利于學生樹立信心、產生學習數(shù)學的興趣以及提高學生解決實際問題的能力等，因此在中學數(shù)學課堂教學中應該適當?shù)匾M開放性數(shù)學問題。

二、開放性數(shù)學問題的設計原則

開放性數(shù)學問題可以培養(yǎng)學生在解題過程中的創(chuàng)新思維，可以使學生在解題中形成積極探索和創(chuàng)造的心理態(tài)勢，從而使他們對數(shù)學的本質產生一種新的領悟，進而主動地參與到“做數(shù)學”的過程中來。

設計開放性數(shù)學問題應遵循以下原則：

（1）參與對象的層次性原則

開放性數(shù)學問題的設計應考慮到學生的知識水平，讓不同層次的學生能多層次、多角度地進行探索分析，從而作出不同層次的解答。

例如：學生學完公倍數(shù)以后，教師可以出這樣一道開放題：小紅有一堆積木，若2塊分一組，剩下1塊，3塊分一組，也剩下1塊，4塊分一組，還是剩下1塊。問小紅一共有多少塊積木？

這道題最一般的解法是試誤法，這是最低層次；學生能運用2、3、4的公倍數(shù)進行解答，這一方法是第二層次；最高層次的解法是學生能運用3、4的公倍數(shù)，這是因為他能看出2、3、4的公倍數(shù)其實就是3、4的公倍數(shù)，所以這是最高層次。一個好的開放題要能分出這樣的層次，讓不同程度的學生都可以進行探索和嘗試，從而使所有的學生都能參與到教學中來。

（2）問題內容的寬廣性原則

問題內容的寬廣性是指問題涉及的事件不僅為學生所熟悉，而且知識面也應當寬廣。它不僅僅涉及數(shù)學內容，還要涉及日常生活與其他學科內容，將學生在日常生活與社會活動中接觸過的與數(shù)學知識有關的內容加以提煉，設計成開放性問題。

例如：小明要給自己的房間的地板安上瓷磚，已知房間長6米，寬3.5米，又知道邊長為50厘米的瓷磚3.8元/塊，邊長為10厘米的瓷磚0.8元/塊，請問選擇哪種瓷磚可以使小明花錢更少？

（3）設計角度的動態(tài)性原則

設計角度的動態(tài)性原則是指同一知識點，采用不同的角度、不同的方式設計成不同的問題。

例如：學校的教學樓、圖書館、學生公寓樓在同一條校道上，教學樓與圖書館相距200米，圖書館與學生公寓樓相距1000米：①若教學樓和學生公寓樓分別在圖書館的兩側，請問教學樓與學生公寓樓相距多少米？②教學樓與學生公寓樓相距多少米？

問題①是封閉性數(shù)學問題，而問題②由于沒有規(guī)定教學樓與學生公寓樓的位置的限定就變?yōu)殚_放性問題了。

由于問題設計的角度新穎，方式豐富多彩，使學生對問題感興趣，產生好奇心，從而激發(fā)學生創(chuàng)造力。

（4）解答途徑的探索性原則

目前的數(shù)學練習中程式化、技能化的問題較多，學生只要記憶加苦練再加細心就能解決問題，數(shù)學開放題的解答途徑卻是開放的，具有探索性，它能調動學生追求成功的潛在動機，培養(yǎng)學生勇于探索的精神。

例如：如果將一塊形狀為三角形的木板切去一個角，那么剩下的木板還有幾個角？如果這塊木板不是三角形而是四邊形或五邊形，那么結果又如何呢？

對這樣的問題，學生不能只是根據(jù)所學知識或模仿教師傳授的某種現(xiàn)成方法就能馬上作出解答，而只有通過他們自己親身實踐、親自探索才能解決問題。

（5）解答方法的多樣性原則

它要求學生將所學知識融會貫通，善于通過多渠道來解決問題，發(fā)表自己的獨特的見解。

例如：請在8、2、5、4、9這幾個數(shù)字中間添上+、-、×、÷，使其能得到不同的結果。

這個題目并沒有規(guī)定+、-、×、÷四個符號的順序，因此學生可以根據(jù)添加的四個符號的不同的順序，從而得出不一樣的解答方法和結果。

由于開放題解題方法和結果的多樣性，不同的學生常常有不同的解題策略，這為“數(shù)學交流”提供了很大的“參與空間”。

（6）開放性與封閉性相結合的原則

開放性問題是相對于封閉性問題而言的，因此開放性數(shù)學問題與封閉性數(shù)學問題應該并存而不是相互排斥。在數(shù)學教學中應以一般練習題為基礎，在以一般習題為主體的訓練下引進開放性數(shù)學問題，以彌補封閉性練習題的不足之處。

三、課堂教學中數(shù)學開放題的設計

開放性數(shù)學問題能調動學生學習的積極性，激發(fā)學生的學習興趣，拓寬學生數(shù)學思維空間，有利于學生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力以及解決實際問題能力的培養(yǎng)，因此，我們應該改變當前的數(shù)學教育強調封閉型題的教學，加強開放型問題的研究，在數(shù)學教學中重視開放題的設計，以培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維，激勵學生主動參與到問題解決活動中去，從而提高學生解決問題的能力。

設計數(shù)學開放題時，應注意以下幾個問題。

1. 從實際生活中取材

現(xiàn)實生活是數(shù)學問題永不枯竭的源泉，特別是學生身邊的實際生活中提出數(shù)學問題，可以使學生有一種親切感和解題的欲望。

例如，一位工人師傅在加工時，需要找出一個圓形木板的圓心，請你幫他想出一個能找出圓心位置的方法。

再如，如圖，用兩根鋼索加固直立的電線桿，若要使鋼索AB與AC的長度相等，需添加什么條件？理由是什么？

通過在現(xiàn)實生活中提出問題，可以把數(shù)學問題形象化，讓學生了解數(shù)學與現(xiàn)實生活的關系是密不可分的，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，并能使學生在實際生活中注意發(fā)現(xiàn)問題，把從課本上學到的知識很好地運用到實際中來。

2. 從教材的例題和習題中改編

在數(shù)學課堂教學中，教師可以根據(jù)教學的內容，在進行某一知識點的教學后，根據(jù)知識點的特征，結合學生的實際情況，有意識、有目的地改造封閉型練習題，設計開放性數(shù)學問題。

（1）改變原命題的條件，要求從中探索新的結論

例如：已知正方形 的邊長為1米，將其分為 個相同的三角形，求出每個三角形的面積。

可以將命題設計為：已知有一塊正方形的空地，現(xiàn)要將其分為面積相等、形狀相同的八塊，以便種上八種不同的花草，請問該如何設計？你能設計出幾種不同的方案？

例如：學習了兩個三角形全等的條件后，把書本的練習改為：如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加什么條件可使△ADF≌△CBE

這樣在原命題的已有條件的基礎上，再增減條件，使解題者要選擇部分條件或運用全部條件才能得出結果，使得題目成為開放性問題。

（2）保留原命題的結論，要求尋找得到結論的新條件

對一個封閉性問題，保留其原來的結論，要求學生尋找使其結論成立的各種可能條件，從而得到開放性問題。

例如： 已知一個二次函數(shù)的圖象經過 、 、 三點，求這個二次函數(shù)的解析式。

將二次函數(shù)的圖象經過“點 ”變?yōu)椤皩ΨQ軸為 軸”，問題就變?yōu)殚_放性問題了。

根據(jù)教材的封閉型例題、習題改編的開放性問題與原題之間有一定的聯(lián)系，又由于改編后的題目解答途徑和結果的多樣性，相比之下，學生對開放性問題更有興趣，而從解決這些開放性問題的過程中，學生也能獲得更多的樂趣，這樣就大大地提高了學生學習的主動性，從而也提高了教學的質量。

3.讓學生主動參與設計

在數(shù)學課堂教學中，給出一個問題，讓學生在課堂內或在課后自己動手，設計新的問題，再由學生自己解決問題，或者讓學生相互交換問題進行解決。

例如：要求學生對問題“用一個平面去截正方體，可得到截面的情況如何？”進行思考，再根據(jù)自己思考得到的答案設計新的問題，再對問題進行解答或學生之間交換問題進行解答。

這樣，學生就可以根據(jù)可得到的截面為三角形、四邊形、五邊形、六邊形等情況進行設計新的問題，例如：能否截出正三角形、怎么截、可以截出多少個、能否截出菱形、能否截出六邊形、截出的六邊形會有什么樣的特性等各式各樣的問題。此外，學生還可以對截面的面積等問題進行探討。

通過這一有趣的練習，不但可以提高學生學習數(shù)學的主動性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造、創(chuàng)新能力，還能激起學生學習數(shù)學的積極性，從而大大地提高了教學的質量。

隨著時代的發(fā)展，社會的需求，培養(yǎng)創(chuàng)新人才在現(xiàn)代教育中越來越重要。數(shù)學開放題的設計在數(shù)學課堂教學工作中是一項創(chuàng)造性的工作，它要求我們廣大教師不斷充實和提升自己，并結合學生的實際情況，設計可以真正開發(fā)學生創(chuàng)造性思維而又提高學生學習數(shù)學的積極性的數(shù)學開放性問題。

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