姜紀(jì)華+毛作洪

摘要：本文以開發(fā)《探索勾股定理》的拓展性課程為例，展示了以學(xué)校教研組為團(tuán)隊(duì)如何依托數(shù)學(xué)課本開發(fā)拓展性課程。以期拋磚引玉。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；《探索勾股定理》；拓展性課程

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）02-0087

眾所周知，勾股定理的內(nèi)容非常豐富，但現(xiàn)行的教材（以浙教版為例）只安排兩個(gè)課時(shí)，教學(xué)受課時(shí)的限制，不能充分利用勾股定理發(fā)展學(xué)生的問題解決、人文積淀、理性思維等核心素養(yǎng)。本文以開發(fā)《探索勾股定理》的拓展性課程為例，展示以學(xué)校教研組為團(tuán)隊(duì)如何依托數(shù)學(xué)課本開發(fā)拓展性課程，以期拋磚引玉。中國(guó)學(xué)生發(fā)展六大核心素養(yǎng)中有十八個(gè)基本要點(diǎn)，其中三個(gè)是問題解決、人文積淀、理性思維，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的前言中也有類似的表述。對(duì)應(yīng)三個(gè)基本要點(diǎn)確定三個(gè)課時(shí)的拓展性課程，在上完基礎(chǔ)性課程的兩個(gè)課時(shí)后進(jìn)行。因篇幅所限，只展示每個(gè)課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求、課外作業(yè)。

第一課時(shí)：勾股定理在生活中的應(yīng)用

設(shè)置緣由：數(shù)學(xué)課最缺的是實(shí)踐課，學(xué)生非常喜歡實(shí)踐課，開發(fā)團(tuán)隊(duì)成員一致同意每學(xué)期開發(fā)一節(jié)實(shí)踐課。

教學(xué)目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生觀察生活，體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)，體驗(yàn)用數(shù)學(xué)模型刻畫現(xiàn)實(shí)世界。

活動(dòng)內(nèi)容及要求：（1）帶學(xué)生參觀有人字梁結(jié)構(gòu)的農(nóng)村老宅，請(qǐng)當(dāng)?shù)厥炙嚤容^好的手藝人，一個(gè)木匠，一個(gè)泥水匠當(dāng)講解員。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子時(shí)要先奠基，在一百多平方米的地上要設(shè)置很多個(gè)直角，選好位置打下木樁，固定好線，沿線做墻腳。怎樣使墻角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下兩個(gè)木樁，兩個(gè)木樁之間的距離為三尺，調(diào)整第三個(gè)木樁的位置，使它與前兩個(gè)木樁的距離分別為四尺與五尺。拉上線，再微調(diào)。泥水匠師傅說，這種方地基的方法是師傅們口耳相傳的好方法，若是正式造房子開工方地基的日子，儀式很隆重。（3）木匠師傅主要舉了兩個(gè)例子。一個(gè)例子是如何預(yù)算建造斜屋頂結(jié)構(gòu)的房子用到的木料，特別是人字梁結(jié)構(gòu)中斜線部分的木料長(zhǎng)度的計(jì)算方法。第二個(gè)例子是如何在大塊的板材中確定直角。（4）教師作為主持人、主持師傅與學(xué)生的互動(dòng)，讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)模型解釋實(shí)際應(yīng)用問題。

課外作業(yè)：找一個(gè)生活中實(shí)際用到勾股定理的例子，寫心得體會(huì)交流。

第二課時(shí)：勾股定理的歷史文化

收集方法：這部分內(nèi)容多而雜。動(dòng)員團(tuán)隊(duì)所有成員參與，從網(wǎng)上和書本中搜集并整理。

教學(xué)目標(biāo)：在對(duì)勾股定理歷史了解的過程中，感受數(shù)學(xué)文化，感受歷代世界人民的智慧和探索精神，感受數(shù)學(xué)知識(shí)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)和數(shù)學(xué)價(jià)值的偉大。

學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求：

（1）勾股定理的發(fā)現(xiàn)：公元前1100多年的《周髀算經(jīng)》中，就有勾股定理的記載，相傳是商代商高發(fā)現(xiàn)的。三國(guó)時(shí)的趙爽給出了證明，2002年北京國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的徽標(biāo)就是趙爽證明勾股定理用的弦圖。勾股定理被西方人稱為畢達(dá)哥拉斯定理，是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年發(fā)現(xiàn)的。相傳畢達(dá)哥拉斯花了很多的精力才證明了這個(gè)定理，他很高興，于是宰了百頭牛慶賀一番，不過畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。這個(gè)定理有流傳很廣，印度、希臘、巴比倫、中國(guó)、埃及等文明古國(guó)對(duì)此定理都有所研究。要求學(xué)生課前和課后整理出趙爽和畢達(dá)哥拉斯的相關(guān)成果，了解《周髀算經(jīng)》等中國(guó)古代經(jīng)典數(shù)學(xué)著作。

（2）勾股定理巨大輻射能力：①勾股定理是數(shù)與形結(jié)合的典范，啟發(fā)后人對(duì)函數(shù)的研究；②畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯利用勾股定理導(dǎo)發(fā)現(xiàn)了根號(hào)2，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)展到實(shí)數(shù)；③勾股定理使數(shù)學(xué)在追求邏輯體系和數(shù)學(xué)美的過程中發(fā)展了現(xiàn)代數(shù)學(xué)；④勾股定理中的公式是一個(gè)最早的不定方程，引發(fā)了包括著名的費(fèi)馬大定理。⑤勾股樹的拓展，勾股樹中的正方形可以變換為正三角形、半圓、月亮形等許多圖形。要求學(xué)生例舉數(shù)形結(jié)合的例子；能描述三次數(shù)學(xué)危機(jī)；能舉例一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)；了解費(fèi)馬大定理的內(nèi)容及費(fèi)馬的成就。

（3）勾股定理的證明方法多樣化。由于勾股定理的證明起點(diǎn)很低，所以千百年來下至業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者、普通的老百姓，上至著名的數(shù)學(xué)家、國(guó)家總統(tǒng)都參與了勾股定理的證明。勾股定理有四百多種證明方法，目前還找不到一個(gè)定理的證明方法之多能超過勾股定理。

“總統(tǒng)”證法的故事：1876年一天的傍晚，美國(guó)的議員伽菲爾德由于受到了兩個(gè)小孩的追問，開始對(duì)勾股定理證明進(jìn)行思考……后來他在繼承的基礎(chǔ)上反復(fù)思考終于找到了獨(dú)特的證法。1876年，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他的證法。由于在1881年伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)，人們就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。要求學(xué)生課前和課后搜集有趣的勾股定理證明故事并交流。

第三課時(shí)：勾股定理的證明方法

證明方法選擇的標(biāo)準(zhǔn)：證法有四百多種，但不能窮盡，要選擇重要的、典型的、適合初中學(xué)生的證法。

教學(xué)目標(biāo)：在勾股定理的探索過程中培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和創(chuàng)新能力，體會(huì)深層次的數(shù)形結(jié)合；發(fā)展形象思維，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)探索精神。

學(xué)習(xí)內(nèi)容及要求：

（1）趙爽證法。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽。如圖1，就是趙爽創(chuàng)造的弦圖。以a、b（b>a）為直角邊，c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形拼成所示形狀，∵4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，∴a2+b2=c2這是課本上的證法，不必細(xì)講。應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到本題的證法并非嚴(yán)密的演繹推理，如圖形中的內(nèi)外兩個(gè)正方形就沒有證明。

（2）鄒元治證法。如圖2，也是用面積法，證明方法略。

（3）總統(tǒng)證法。如圖 3， 這個(gè)證明方法是趙爽證明方法的變形，也是用面積法，證明方法略。

（4）歐幾里德證法。如圖4，以a、b、c分別為直角邊斜邊Rt△ABC，再分別以a、b、c為邊，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，連結(jié)BF、CD，過C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.∵AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，∴△FAB≌△CAD.∵S△FAB=（1/2）a2，而S△CAD等=（1/2）S矩形ADLM，∴S矩形ADLM=a2。同理可證，S矩形MLEB=b2.∵S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，∴c2=a2+b2，即a2+b2=c2。應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到本題的證法是典型演繹推理，是歐氏幾何，后面兩種證法也是如此。

（5）相似三角形性質(zhì)證法。如圖5，Rt△ABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，過點(diǎn)C作CD ⊥AB，垂足為D.可證得△CAD∽△BAC， ∴AD/AC=AC/AB，∴AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，∴AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。

（6）切割線定理證法。如圖6，Rt△ABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，以B為圓心、a為半徑作圓，交AB及AB的延長(zhǎng)線分別于D、E，則BD=BE=BC=a，因?yàn)椤螧CA=90°，點(diǎn)C在⊙B上，所以AC是⊙B的切線。由切割線定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。

（7）證法評(píng)析。中國(guó)證法的獨(dú)到之處是善用面積法，巧妙地避開了角的性質(zhì)及平行線性質(zhì)的繁瑣理論，簡(jiǎn)潔明了，吳文俊、張景中等發(fā)展的數(shù)學(xué)機(jī)械化方法深受中國(guó)古代數(shù)學(xué)思想的影響。后三個(gè)證法追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，對(duì)提升人們的理性精神，注重演繹推理的科學(xué)精神具有不可替代的地位。

課外作業(yè)：找一種勾股定理的證明方法與學(xué)生交流。

總之，要設(shè)計(jì)好《探索勾股定理》的拓展性課程，開發(fā)團(tuán)隊(duì)要有廣闊的數(shù)學(xué)視野、深厚的數(shù)學(xué)史功底以及良好的數(shù)學(xué)理解能力。