劉辰　陳永明

【摘 要】 基于張景中院士提出的“中巧說”，在中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究中，通過顯性化、算法化的途徑，幫助學(xué)生們進(jìn)行習(xí)題分類，認(rèn)知建構(gòu)，從而落實解題的基本訓(xùn)練，提高習(xí)題教學(xué)的有效性.

【關(guān)鍵詞】 “中巧”說；習(xí)題教學(xué)；解題模塊；命題聯(lián)想系統(tǒng)

習(xí)題是學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的重要載體，故數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)自然成為數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要組成部分.我國擁有一個富有創(chuàng)造力的教師團(tuán)隊，在具體落實雙基的同時，一直以來積極致力于研究習(xí)題教法，也積累了許多習(xí)題教學(xué)的經(jīng)驗.隨著波利亞的《怎樣解題》傳入中國后，具有中國特色的五大數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)流派逐一顯現(xiàn)，亦是各有所長，各領(lǐng)風(fēng)騷.

1 當(dāng)代中國特色數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的五個流派 [1]

當(dāng)代中國特色數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的這五個流派分別是：

中巧說. 張景中院士對解題有著精辟形象的看法，他說：“練武功的上乘境界是‘無招勝有招，但武功仍要從一招一式入門.解數(shù)學(xué)題也是如此……我想所謂‘無招勝有招的境界，就是‘大巧吧！但是，小巧固不足取，大巧也確實太難.對于大多數(shù)學(xué)子，還要重視有章可循的招式……大巧法無定法，小巧一題一法.中巧呢，則希望用一個方法解出一類題目.也就是說，把數(shù)學(xué)問題分門別類，一類一類地尋求可以機(jī)械執(zhí)行的方法，即算法.”他認(rèn)為“這是我國古代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和優(yōu)秀傳統(tǒng)[2].”我們把張景中院士的這個觀點(diǎn)稱之為“中巧說”.“中巧說”的核心是有章可循，主張運(yùn)用我國數(shù)學(xué)研究的傳統(tǒng)——算法思想來總結(jié)規(guī)律、指導(dǎo)解題.

反應(yīng)塊思想. 華南師范大學(xué)傅學(xué)順教授的“反應(yīng)塊”思想強(qiáng)調(diào)積累，識記.在解題調(diào)用時，產(chǎn)生“一看到……就想到……”的反應(yīng).

變式訓(xùn)練. 顧泠沅教授主持的上海青浦實驗關(guān)注“變式訓(xùn)練”，在于通過一個個變式創(chuàng)造，為學(xué)生的思維發(fā)展提供一個個階梯，使之構(gòu)建完整、合理的新知識.

數(shù)學(xué)素質(zhì)論. 徐利治教授提出的“數(shù)學(xué)素質(zhì)論”，倡導(dǎo)在教學(xué)中關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的提煉滲透，逐漸培養(yǎng)形成學(xué)生的辯證思想.

孫維剛風(fēng)格. “孫維剛風(fēng)格”的核心是主張發(fā)散思維和收斂思維相結(jié)合，進(jìn)行一題多解、多解歸一、多題歸一.

我們認(rèn)為，“中巧說”適合大多數(shù)學(xué)子；“反應(yīng)塊思想”對全體學(xué)生也都有效，但對中等以上的學(xué)生可能更有施展的余地；“變式訓(xùn)練”、“數(shù)學(xué)素質(zhì)論”早已為廣大教師所接受，并已經(jīng)廣泛使用；“孫維剛風(fēng)格”是一線教師學(xué)習(xí)的榜樣，但由于他寬闊的知識面和獨(dú)特的個人魅力，以及他留下的經(jīng)驗的操作性不強(qiáng)，廣大教師學(xué)習(xí)起來有一定的困難.根據(jù)當(dāng)前我國教育的現(xiàn)狀，學(xué)習(xí)和研究適合大多數(shù)學(xué)子的，可操作的“中巧說”，可能更為重要.

2 “中巧說”對中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的現(xiàn)實意義

作為“教育數(shù)學(xué)”的創(chuàng)始人，張景中院士通過改造數(shù)學(xué)而推進(jìn)教育，致力于“把數(shù)學(xué)變得容易一點(diǎn)”.張景中院士提出教育數(shù)學(xué)要研究有效而易學(xué)的解題方法，要提供中巧.“中巧說”對中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的現(xiàn)實意義包括：體現(xiàn)了教學(xué)模式觀和算法思想；順應(yīng)了學(xué)生心理遷移的認(rèn)知規(guī)律；符合基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教育目標(biāo)；是克服題海戰(zhàn)術(shù)的良方.

基于“中巧說”的現(xiàn)實意義，我們一直在尋找數(shù)學(xué)工作者思維的特點(diǎn)，即具有內(nèi)部規(guī)律的數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu).正如“中巧說”所希望的，我們在習(xí)題教學(xué)中所摸索出來的，將解題經(jīng)驗顯性化、算法化，能幫助學(xué)生建立優(yōu)良的有數(shù)學(xué)特色的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高習(xí)題教學(xué)的有效性.

3 “中巧說”與中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的認(rèn)知建構(gòu)

就數(shù)學(xué)解題而言（不是整個數(shù)學(xué)），目前我們認(rèn)為有兩個（不敢說沒有其他的）顯性化、算法化的途徑，一個是解題模塊，另一個是命題聯(lián)想系統(tǒng).

3.1 解題模塊

解題模塊是指針對解決某類數(shù)學(xué)問題而形成的方法結(jié)構(gòu).這種顯性化的概括歸納，使得一類題的解決有章可循，易于遷移、應(yīng)用.解題模塊有三個特點(diǎn)：針對性、可操作性、簡潔性.解題模塊從無序的習(xí)題中被提煉、概括出來，有助于幫助學(xué)生整理知識，“舉三反一”，總結(jié)可操作的規(guī)律，訓(xùn)練收斂思維指導(dǎo)下的發(fā)散思維.下面舉例說明.

比如，在條件求值類問題中提出的解題模塊如圖1所示.

又如，求點(diǎn)的坐標(biāo)的常用解題策略有“線段法”和“方程法”：

“線段法”的解題步驟如圖2所示：

“方程法”的解題步驟如圖3所示：

我們可通過下表比較“線段法”和“方程法”的優(yōu)劣：

3.2 命題聯(lián)想系統(tǒng)

通過聯(lián)想把相關(guān)命題聯(lián)系形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，經(jīng)實踐研究，有三類命題聯(lián)想系統(tǒng)對于中學(xué)習(xí)題教學(xué)十分重要.

（1）等價命題系統(tǒng)

命題A與命題B，C，D，…條件、結(jié)論的本質(zhì)均相同，命題B，C，D，…便形成了命題A豐富的等價命題系統(tǒng).

譬如，看到“直線y=kx+3過點(diǎn)A（1，2）”想到“點(diǎn)A（1，2）在直線y=kx+3上”，兩者屬于同意反復(fù)，涉及的對象沒有變化，利用命題的等價關(guān)系進(jìn)行同質(zhì)變形.若聯(lián)想到“x=1，y=2適合方程y=kx+3”，則形成了從幾何到代數(shù)的“問題系統(tǒng)”變化，利用命題的等價關(guān)系實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換.

再如，針對“點(diǎn)A（a，2a+1）不可能在哪一個象限內(nèi)”的問題，則可以把點(diǎn)A看作是直線y=2x+1上的任意一點(diǎn)，實現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化，由于該直線只經(jīng)過第一、二、三象限，所以點(diǎn)A不可能經(jīng)過第四象限.

等價命題系統(tǒng)在改變題的表征方面作用很大，以上做法就是將“幾何的點(diǎn)”與“函數(shù)解析式”巧妙勾連，把未知問題化歸到在已有知識范圍內(nèi)簡化求解.

（2）下游命題系統(tǒng)

我們已經(jīng)有了命題A，可以推得命題B，我們把這些命題B叫做命題A的“下游命題”，研究從A可以推出些什么命題（B，C，D，…），這就得到命題A的下游命題系統(tǒng). 例如，在如圖4所示的銳角△ABC中，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E.BD與CE相交于點(diǎn)O，連接DE，則圖4中有幾對相似三角形？

很多老師引導(dǎo)學(xué)生利用邊角關(guān)系，尋得了其中的8對相似三角形，并將其命名為“雙高圖”.

①前6對：△BOE∽△COD∽△CAE∽△BAD，共6對相似三角形；

②第7對：△EOD∽△BOC；

③第8對：△ADE∽△ABC.

利用“雙高圖”的下游命題系統(tǒng)，很多較為復(fù)雜的綜合題迎刃而解.

比如，在原題設(shè)下，

④增加條件：若∠A=60°，則DE∶BC= （答案： 1 2 ，利用△ADE∽△ABC或△EOD∽△BOC的聯(lián)想命題可以解決）；

⑤增加條件：若C△AED=8，C△ABC=24，則sinA= （答案： 2 3 2 ，利用△ADE∽△ABC以及相似三角形周長比等于相似比的聯(lián)想命題可以解決）.

若改變圖形：

⑥如圖5，EC⊥EB，BD⊥DC，BD和EC相交于點(diǎn)O.若S△EDO=8，S△BCO=16，則∠BOC= （答案：135°，利用△EOD∽△BOC以及相似三角形面積比等于相似比平方的聯(lián)想命題可解決）. 圖5

代數(shù)公式性質(zhì)、幾何定理或基本圖形的積累（又如“一線三等角”“子母型”等），往往會形成知識跨度較大的下游命題系統(tǒng).對于結(jié)論探索型問題，我們常常會由因?qū)Ч?，進(jìn)行推斷、歸納出結(jié)論.而下游命題系統(tǒng)在此時會起到很好的助推作用，達(dá)到“柳暗花明又一村”的效果.

（3）上游命題系統(tǒng)

為了得到命題A，尋找命題B，即由命題B可推得命題A，我們把命題B叫做命題A的“上游命題”，如果命題B，C，D，…都可以推得命題A，這就得到命 題A的上游命題系統(tǒng).

比如怎樣證明兩線段相等，我們粗略統(tǒng)計就有以下定理、性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；三角形中等角對等邊；等腰三角形的頂角平分線是底邊上的中線；等腰三角形底邊上的高是底邊上的中線；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；平行四邊形對邊相等；平行四邊形對角線互相平分……類似的，還有證明兩角相等，兩線平行，線段或角的和差倍分的證法都應(yīng)該及時復(fù)習(xí)總結(jié)，構(gòu)成相應(yīng)的上游命題系統(tǒng).

前輩數(shù)學(xué)教育家寫過《金品幾何》《許莼舫初等幾何四種》，屢屢再版，這些書都是利用怎樣證兩線相等，怎樣證兩角相等……來編排幾何證明的.

所以說，總結(jié)上游命題系統(tǒng)是前輩優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的經(jīng)驗，尤其對于條件型探索題，由假設(shè)結(jié)論出發(fā)倒溯，由果索因，逆推順證，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一篩選.事實證明，這是有效的方法.

參考文獻(xiàn)

[1] 陳永明名師工作室.數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究[M].上海：上海教育出版社，2014

[2] 張景中.幾何新方法和新體系[M].北京：科學(xué)出版社，2009