【摘 要】 解題教學的核心價值是促進學生數(shù)學認知能力的發(fā)展，培養(yǎng)學生提出問題、分析問題和解決問題的能力.但在教學過程中，教師卻難以把理念轉(zhuǎn)化成適當?shù)慕虒W行為.解題教學應該教什么？怎樣教？缺乏深層次的思考是造成解題教學缺失的主要原因.

【關(guān)鍵詞】 解題教學；教學行為；教學缺失

2015年11月16日，舟山市普陀區(qū)教研室舉行課堂教學藝術(shù)周活動，數(shù)學學科活動主題是“一題一課”同課異構(gòu)的課堂教學觀摩與評比，賽課對象為青年教師，授課對象是八年級學生，并邀請市、區(qū)學科帶頭人參加觀摩與評比.參賽教師在課前2小時抽題，然后以此題為藍本設計一節(jié)課，并進行課堂展示.通過現(xiàn)場展示與觀摩，筆者發(fā)現(xiàn)部分青年教師對“一題一課”的開發(fā)缺乏經(jīng)驗，對“解題教學應該教什么、怎樣教”缺乏深層次的思考.本文結(jié)合某個教師的教學案例，談談自己的思考.

賽題呈現(xiàn) 如圖1，等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，猜想線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由.

1 教學案例——教師在教什么？

1.1 教學片斷

設置臺階，讓學生突破思維障礙.

問題1，如圖2，等邊三角形ABC中，點E是AB的中點，點D在CB的延長線上，且ED=EC，猜想線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由.

教師：根據(jù)已知條件，你能猜想線段AE=DB嗎？

學生1：AE=DB.

教師：你能證明AE=DB嗎？

學生1：如圖2，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求出∠D=∠BCE=30°，可得∠DEB=30°，從而求得BD=BE即可.

教師肯定了學生1的解法后，又提示還可以用△DBE的外角∠ABC來思考問題.接著，進一步提出問題2（即賽題，以下同）.

學生能馬上判斷結(jié)論“仍然成立”，但沒有立刻給出證明思路，于是教師讓學生先做，大約3分鐘后，有學生回答：

學生2：如圖2，過點E作BC的平行線EF，先證△AEF是等邊三角形，得AE=EF，再證△DEB≌△ECF，得BD=EF即可.

學生3：如圖2，其實也可以過點E作EG∥AC交BC于G，證明方法與學生2相同.

教師：還有別的證法嗎？（于是學生紛紛嘗試，片刻后有學生回答）

學生4：過點D作DA′∥AC，交AB的延長線于點A′，得∠A=∠A′=∠DBA′=60°，可證△EA′D≌△CAE，所以DB=AD′=AE.

教師小結(jié)：有了問題1的探究活動體驗和思維活動鋪墊，問題2中存在的思維障礙獲得突破，問題自然迎刃而解.

然后，教師借用學生2用作平行線的方法對問題2解答，并作出適當變式. 圖3

變式1 如圖3，等邊三角形ABC中，點E在直線AB延長線上，點D在直線BC上，且ED=EC，

（1）求證：AE=BD.

（2）若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長.

變式2 如圖4，等邊三角形ABC中，點E在直線CA延長線上運動，在線段BC上取一點D，使DC=AE，求證：BE=DE.

師生一起在探索與練習中結(jié)束了本節(jié)課.

1.2 教學評析

由于賽題中△DEB與△AEC不全等，按學生現(xiàn)有的認知結(jié)構(gòu)和思維水平，很難找到解決問題的突破口，參賽教師在教學之前設計問題1，為學生設置臺階，讓學生突破思維障礙.但從問題1解決中，發(fā)現(xiàn)學生自然想到根據(jù)等腰（或等邊）三角形的性質(zhì)來證明，并沒有利用添輔助線的方法去解決，這樣的臺階設置不僅對培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)沒有幫助，而且降低了思維要求.

由于點E是動點，猜想：你能猜想線段AE與DB相等嗎？從特殊出發(fā)想一般，如果點E是AB的中點？這樣引入是否會更好？再對特殊情況，讓學生開展廣泛討論，可以有哪些不同的方法？先猜想，再從特殊點出發(fā)，有利于培養(yǎng)學生的思維品質(zhì).

從本課例看，教師能引導學生先做，從不同角度思考問題，得出不同的解法，讓學生在獨立思考的基礎上進行解題過程的交流，這有利于學生體會從不同的角度思考問題，值得好評.但從課堂互動分析，學生的主要收獲是認識各種解題思路，而非怎樣獲得解題思路！也就是說，教師教的是解題思路，而不是怎樣獲得解題思路.筆者認為，這是造成解題教學缺失的主要原因.

2 案例分析——教師應該怎樣教？

2.1 教師講題水平的分析

解題教學的核心價值是促進學生數(shù)學認知能力的發(fā)展，培養(yǎng)學生提出問題、分析問題和解決問題的能力.但在教學過程中，教師卻難以把理念轉(zhuǎn)化成適當?shù)慕虒W行為，講題水平也存在著較大的差異，呈現(xiàn)出以下四級水平：

第Ⅰ級水平：粗略審題后，只交待“怎樣解”或直接問學生“怎樣解”，（個別、部分）學生作答，幾乎沒有分析，解前無解題計劃.

第Ⅱ級水平：有審題過程，有一點分析，但解題思路未全出（解題計劃未完全形成）或問學生“你是怎么想的？”學生說了點想法.

第Ⅲ級水平：有審題過程，給出了整個分析，解題思路已清楚了，形成了解題計劃，

才進入解答或問學生“應該（可以）怎樣去想？你為什么要這樣去想？”.

第Ⅳ級水平：完成第Ⅲ級水平，審題——分析思路——實行解答后還能帶領(lǐng)學生反思

回顧：“從這個題目中，我們學到了什么？——知識上、方法上，此類情況下，應注意些什么？”

2.2 教師應該怎樣教？

一個合格的教師至少要達到上述第Ⅲ級水平.比如，案例中的教師應該引導學生2思考：你是怎樣想到要作平行線的呢？

如圖5，先從問題的目標出發(fā)思考，要證∠DEB=∠ACE，由于這兩個角分布在不同的三角形中，最好能證三角形全等，很明顯，△BDE與△ACE不全等，考慮構(gòu)造一個三角形，使其與△BDE全等，且∠ACE與∠DEB是對應角.

再看問題的條件，因為ED=EC，最好構(gòu)造出的三角形是以EC為一邊，并使它與ED成對應邊.這樣就要求在AC上找一點A′，使∠A′EC=∠D=∠ECB，∠BED=∠A′CE.于是就自然想到作BC的平行線EA′.由△BDE≌△A′EC還可以進一步得到BD=EA′，從而再根據(jù)等邊△AEA′證明BD=EA′=AE.

其余兩種思路（學生3、4）也可以引導學生進行類似的分析.

上述幾種解法都是通過添平行線來構(gòu)造全等三角形，實質(zhì)是構(gòu)造角相等作輔助線.即以一個三角形為基準，改造另一個三角形，通過添不同的輔助線，找到一個與基準三角形全等的三角形，從而獲得證明.

另外，教師還可以引導學生思考：證明線段相等有哪些方法？你是怎樣思考的？是否可以同時改造兩個三角形，使它們分別與另一組的兩個三角形全等？

如圖6，過點D作DA′⊥直線AB，垂足為點A′，過E作EG⊥直線AC，垂足為點G，易證△EDA′≌△CEG，得出DA′=EG，再證△AEG≌△BDA′，從而得到AE=DB.

這種證法的思路是保留原來相等的一組角，還保留已知相等的一組對邊（或保留求證相等的一組對邊），利用作垂線“封口”制造一組全等的直角三角形.

3 教學反思——解題教學缺少什么？

3.1 缺少思考——解題思路是如何想到的

在對解題思路探尋的深刻剖析中，思考教學生如何想，在問題的深入研究后，利用多解、變式、拓展，思考教學生如何深入的想.教學片斷把教學重點放在解題過程的交流上，其重要原因是沒有在解題教學中教給學生最關(guān)鍵的東西——怎樣想到解題思路.在案例分析中，啟發(fā)學生學會思考：“你怎樣想到要作平行線的呢？”，要求學生講思考過程，充分暴露學生的思維過程；還提出“證明線段（或角）相等有哪些方法？”，“怎樣構(gòu)造一對全等三角形”，“三角形全等的條件充分嗎？”等問題都在引導學生思考，而不應由教師直接給出解題思路.

3.2 缺少追問——在關(guān)聯(lián)點處深度追問

在一題多解的教學環(huán)節(jié)中，需要對問題本身適度的追問：如教學片斷中，在學生4作過點D作DA′∥AC交AB的延長線于點A′的證明后，教師在肯定學生4添加平行線方法的同時，應該繼續(xù)追問：如過點D還能作什么樣的輔助線，作∠EDA′=∠AEC，或過點D作DA′=DB交直線AB于點A′，能否構(gòu)造△EA′D≌△CAE.從不同的思維起點出發(fā)思考問題，能讓學生走向問題的深度，解題教學自然也能追求一定的教學深度.

33 缺少挖掘——對習題功能的挖掘

對習題教學來說，不僅要通過一題多變，將問題從特殊引向一般，訓練思維的深刻性、發(fā)散性，還要注意一題多解的訓練，訓練同一問題的多樣化求解.參賽教師都對原題作了一題多解或一題多變.從現(xiàn)場觀摩來看，部分教師對原題作了適度的挖掘. 圖7

例如：如圖7，由于∠A=60°，∠DBE=120°=∠A的補角，可延長CA，構(gòu)造△ED′A與△DBE全等.

其實，也可以利用等腰三角形的軸對稱性、旋轉(zhuǎn)不變性或代數(shù)計算的方法對賽題進行挖掘.

①利用等腰三角形的軸對稱性

如圖8，將△DBE沿其對稱軸翻折，ED與EC重合，EB與EB′重合，DB與CB′重合，易證△EB′B為等邊三角形，推出BE=BB′.再根據(jù)BA=BC，可證出AE=CB′=CB. 圖8 圖9

②利用旋轉(zhuǎn)不變性

如圖9，將△AEC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BE′C，因為CE=CE′，∠ECE′=60°，所以△CEE′是等邊三角形，所以EE′=EC=ED，∠BEE′+∠E′EC=∠BEC=∠A+∠ACE，而∠E′EC=∠A=60°，所以∠BEE′=∠ACE=∠DEB，故△DBE≌△EE′B.

③代數(shù)計算 圖10

如圖10，過E點作EQ⊥CD，過A作AP⊥直線EQ于點

P，設等邊三角形邊為a，AP=b，依題意可得AE=2b，BE=a-2b，BQ= a 2 -b，而CQ= a 2 +b，ED=EC，所以DQ=CQ= a 2 +b，所以BD=DQ-BQ=2b，所以AE=BD.

在一題多變方面，由于課堂教學對象是八年級學生，所以教師對一題多變只停留在利用三角形全等加以證明的變式上（即變式1、變式2），但從活動訪談中發(fā)現(xiàn)教師對習題的挖掘深度不夠.其實，只要將等邊三角形弱化為等腰三角形，稍改變條件和結(jié)論，就能挖掘出許多命題. 圖11

變式3 如圖11，△ABC為等腰三角形，AB=AC，點E在直線AB上，點D在直線CB的延長線上，且ED=EC，問當點E在直線AB上運動時，AE與DB的比值是否變化？請說明理由.

先討論E在線段AB上，其它情況一樣考慮.如果想知道AE與DB的比值與什么有關(guān)？可以先讓點動起來，讓E點與B重合，則AE=AB，DB=BC，故AE與DB之比為AB與BC之比，故猜測結(jié)論是 AE DB = AB BC .

可由上述幾種證法進行證明.但考慮到對應邊成比例，則需要用到相似三角形知識，應作相應的修改.

證明 如圖6，過點D作DA′⊥直線AB，垂足為點A′，過E作EG⊥直線AC，垂足為點G，易證△EDA′≌△CEG，得出DA′=EG，再利用三角函數(shù)，得AE= EG sinA ，DB= DA′ sin∠ABC ，所以 AE BD = sin∠ABC sin∠A ，而 AB BC = sin∠ABC sin∠A ，所以 AE BD = AB BC .

變式4 如圖11，△ABC為等腰三角形，AB=AC，∠BAC=θ，點E在直線AB上，點D在直線CB的延長線上，且ED=EC，問當點E在直線AB上運動時，請用含θ代數(shù)式表示AE與DB的比值.

（1）如圖10，設AP=a，BQ=b，BC=2a+2b，CQ=2a+b=DQ，BD=2a，而AE= AP sin ∠BAC 2 = a sin ∠BAC 2 ，所以 DB AE =2sin ∠BAC 2 = BC AB ，得出 AE BD = 1 2sin θ 2 .

（2）如圖6，由上述證明得出DA′=EG，再利用三角函數(shù)，得AE= EG sinA ，DB= DA′ sin∠ABC ，所以 AE BD = sin∠ABC sin∠A = sin（90°- θ 2 ） sinθ .

（注：高中階段可以證明 sin（90°- θ 2 ） sinθ = 1 2sin θ 2 ）.

賽題看似簡單，深入探究后，發(fā)現(xiàn)涉及等邊（或等腰）三角形、全等三角形、相似三角形、直角三角形、三角函數(shù)、平行線的性質(zhì)及判定等一些核心知識.解答此題，學生要經(jīng)歷觀察、比較、猜想、證明等數(shù)學活動過程.在教學中利用多解、變式、拓展，自主“構(gòu)建”符合其認知水平的知識體系，進而提升其數(shù)學思維層次.

解題教學的關(guān)鍵是要教學生“怎樣想”而非只是“怎樣做”，并引導學生規(guī)劃解題思路過程和思考方法.從案例中可以發(fā)現(xiàn)，教師把解題教學重點放在解題過程的交流上，這種現(xiàn)象在平時的教學實踐中普遍存在，在今后的教學中要引起足夠的重視.

作者簡介 朱成成，男，1974年3月出生，浙江普陀人，普陀區(qū)東港中學教務處副主任，中學一級教師，主要從事初中數(shù)學課堂教學管理及數(shù)學命題與評價研究.