陳延付

摘 要：基于“知識觀”下的三種知識：事實性知識、方法性知識、價值性知識及其三種不同學(xué)習(xí)方式：“記中學(xué)”“做中學(xué)”“悟中學(xué)”。三個教學(xué)設(shè)計案例根據(jù)不同的“知識觀”，為實現(xiàn)學(xué)生更有效地學(xué)搭建好“腳手架”，是教師做好教學(xué)設(shè)計的永恒追求。

關(guān)鍵詞：知識觀；教學(xué)設(shè)計；公式推導(dǎo)

華東師大吳剛平教授在《教學(xué)方式變革與課程資源開發(fā)》專題報告中指出，基于學(xué)習(xí)方式變革的“知識觀”下，可將知識形態(tài)分為：事實性知識、方法性知識、價值性知識三類，其相應(yīng)的教與學(xué)策略也不同。

以下本文以人教A版“等比數(shù)列的前n項和”第1課時為例，基于三種不同教學(xué)目標(biāo)下的教學(xué)設(shè)計，根據(jù)“知識觀”去分析與反思，提高教學(xué)設(shè)計的效度。

方案1：基于結(jié)論及應(yīng)用為主的教學(xué)設(shè)計

知識與技能：理解等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路；會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡單問題。

過程與方法：通過實例類比推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路。

情感態(tài)度與價值觀：通過故事讓學(xué)生理解對公式的探索，激發(fā)求知欲，鼓勵學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)。

教學(xué)重點：靈活應(yīng)用公式解決有關(guān)問題。

教學(xué)難點：等比數(shù)列的前n項和公式推導(dǎo)。

例3.一條信息，若一人得知后用一小時將信息傳給兩個人，這兩個人又用一小時各傳給未知此信息的另外兩人，如此繼續(xù)下去，一天時間可傳遍多少人？最快幾小時全球（67.6億）人都知道這個消息？

課本練習(xí)訓(xùn)練：

跟進(jìn)性練習(xí)：求和：Sn=a+a2+a3+…+an（腳手架4：技術(shù)性方法）

課堂教學(xué)小結(jié)：（略）

該設(shè)計值得贊賞：以故事的方式，生活化的情景，精心設(shè)計“腳手架”層層鋪墊，體現(xiàn)類比遷移，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用“錯位相減法”。探究活動過程順利完成，實現(xiàn)了突破教學(xué)難點這一目的。公式推導(dǎo)是方法性知識，教師緊緊地把學(xué)生引領(lǐng)在自己設(shè)計的軌道上，三個故事（腳手架）步步深入，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生看出什么，指向明顯步步緊逼。從“知識觀”的角度看，“等比數(shù)列前n項和公式”是事實性知識，學(xué)生理解、記住會用，例題、練習(xí)緊緊圍繞這一重點展開。公式的推導(dǎo)、應(yīng)用讓學(xué)生經(jīng)歷分析、綜合、歸納、總結(jié)、提煉、概括、解釋、推理、運(yùn)用、拓展等屬于方法性知識。跟進(jìn)性練習(xí)的設(shè)計主要讓學(xué)生辨別、反思、取舍、比較公式應(yīng)用，分類討論的思想，屬于價值性知識。故事蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題是本節(jié)課的一個重要價值性知識問題，值得分析，讓學(xué)生體驗。

方案2：基于公式推導(dǎo)形成過程為主的教學(xué)設(shè)計

知識與技能：理解用錯位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列前項和公式的過程，掌握公式的特點。

過程與方法：通過對公式的研究過程，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想。

情感態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生自主對公式的探索，激發(fā)求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試。

教學(xué)重點：等比數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)及公式的簡單應(yīng)用。

教學(xué)難點：錯位相減法的生成和等比數(shù)列前項和公式的運(yùn)用。

以“國際象棋”為情景問題引出等比數(shù)列求和：如何求數(shù)列1，2，4，…，262，263的各項和。即：S64=1+2+4+8+…262+263，怎么求和？

回顧等差數(shù)列的前n項和，核心思路是什么？思路是消項（減少項的個數(shù)），技巧是通過“倒序相加”化和為積，結(jié)果使用含基本量a1、d和項數(shù)n的式子表示……這對探究等比數(shù)列的前n項和有什么啟發(fā)呢？

據(jù)測量，一般麥子的千粒重約為40g，則這些麥子的總質(zhì)量約為7.36×1017g，約合7360多億噸。我國2000年小麥的全國產(chǎn)量才約為1.14億噸，國王怎么能兌現(xiàn)他對大臣的獎賞承諾呢！

請您類比上述方法推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式。（腳手架3：原理性方法）

學(xué)生類比研究，充分交流，展示成果，可能出現(xiàn)多種解法，如：

公式推導(dǎo)過程中學(xué)生的觀察、分析、嘗試、類比、概括、交流、討論蘊(yùn)含著學(xué)生的創(chuàng)新、創(chuàng)造的思維。這些過程就是做中學(xué)、悟中學(xué)。對于技巧性較高的“錯位相減”，如果學(xué)生實在想不出來，在學(xué)生已充分活動后，在學(xué)生處于“心欲求而未得”的憤懣狀態(tài)下，教師講解又何妨呢？

國際象棋故事蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的看問題是本節(jié)課的一個重要價值性知識問題，值得分析思考，讓學(xué)生體驗。公式的推導(dǎo)“錯位相減”這一“關(guān)鍵技術(shù)”學(xué)生很難想到，有預(yù)習(xí)的同學(xué)會有假探究的感覺。等比數(shù)列前n項和公式這一事實性知識，只是結(jié)論性的知識，關(guān)鍵在于熟練應(yīng)用、準(zhǔn)確應(yīng)用，這一方面需在第2課時中加強(qiáng)。本設(shè)計針對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力比較強(qiáng)的學(xué)生，師生探究意識強(qiáng)的班級教學(xué)。

方案3：基于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的公式推導(dǎo)方法及應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計

知識與技能：掌握等比數(shù)列的前n項和公式，能用等比數(shù)列的前n項和公式解決相關(guān)問題。

過程與方法：通過等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)過程，學(xué)生體會錯位相減法以及分類討論的思想方法。

情感態(tài)度與價值觀：通過對等比數(shù)列的學(xué)習(xí)，學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值，發(fā)展數(shù)學(xué)的理性思維。

教學(xué)重點：掌握等比數(shù)列的前n項和公式，能用等比數(shù)列的前n項和公式解決相關(guān)問題。

教學(xué)難點：錯位相減法以及分類討論的思想方法的掌握，進(jìn)一步運(yùn)用錯位相減法解題。

以“國際象棋”為情景問題引出等比數(shù)列求和：如何求數(shù)列1，2，4，…262，263的各項和。即：S64=1+2+4+8…+262+263，怎么求和？

回顧等差數(shù)列的前n項和，核心思路是什么？思路是消項（減少項的個數(shù)），技巧是通過“倒序相加”化和為積，結(jié)果用含基本量a1、d和項數(shù)n的式子表示……這對探究等比數(shù)列的前n項和有什么啟發(fā)呢？（腳手架1：原理性方法）

學(xué)生閱讀教材，自主學(xué)習(xí)，提出困難問題，與同學(xué)交流討論解決或求助教師解決。

問題思考：根據(jù)等比數(shù)列的定義，乘以公比q，作差達(dá)到消項目的，請你思考除以公比q，能否實現(xiàn)作差消項呢？（腳手架2：原理性方法）

師生總結(jié)：這種求和方法稱為“錯位相減法”“錯位相減法”，是研究數(shù)列求和的一個重要方法。

回歸問題：國王承諾獎賞的麥粒數(shù)為：

據(jù)測量，一般麥子的千粒重約為40g，則這些麥子的總質(zhì)量約為7.36×1017g，約合7360多億噸。我國2000年小麥的全國產(chǎn)量才約為1.14億噸，國王怎么能兌現(xiàn)他對大臣的獎賞承諾呢！

教學(xué)實踐證明，等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)“錯位相減”這一“關(guān)鍵技術(shù)”學(xué)生很難想到，那就通過學(xué)生閱讀、思考、嘗試、交流、討論、問對、分析、綜合、歸納、總結(jié)、提煉、概括等掌握公式這類事實性知識。在交流過程中體驗、反思、比較、借鑒、分享、反思這一核心方法，總結(jié)、提煉這一核心方法。這一方法作為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的出發(fā)點，例2的設(shè)計讓學(xué)生在剛剛獲得的知識及時拓展應(yīng)用，使“錯位相減法”加以深化、深入的應(yīng)用。跟進(jìn)性練習(xí)再一次讓“錯位相減法”得以內(nèi)化，同時對實數(shù)討論，進(jìn)一步讓學(xué)生理解公式使用的條件，讓學(xué)生辨別、反思、取舍、比較公式應(yīng)用，分類討論的思想，屬于價值性知識。課后探究問題2的設(shè)計，再次進(jìn)一步深化“錯位相減法”的靈活應(yīng)用，通過學(xué)生交流討論，促進(jìn)學(xué)生思維走向更加深刻。這樣一個個“腳手架”的設(shè)計，使課堂中的師生、生生之間的交流更加充分，思維得以進(jìn)一步發(fā)展。

綜上所述，三個教學(xué)設(shè)計案例，基于不同的教與學(xué)目標(biāo)而設(shè)計，依據(jù)“知識觀”的價值取向，沒有優(yōu)劣之分，只有針對不同學(xué)習(xí)能力的學(xué)生而選擇的教與學(xué)策略、方式、方法而已。課堂教學(xué)永遠(yuǎn)都沒有最好，只有更好、更適合學(xué)生學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)方式。課堂教學(xué)發(fā)生了，就是唯一的，因此每一堂課，都是師生共同的創(chuàng)作，從這個意義上講，設(shè)計一堂好課、上好一堂課真是不容易，這樣想，教師每一天都在設(shè)計創(chuàng)造，我們老師身上的責(zé)任更重了！

編輯 溫雪蓮