李百勉

摘 要：宏觀元素，是指幾何圖形中的背景圖形或概念中的主體；微觀元素是指構(gòu)成宏觀圖形的各個(gè)子圖形——隱含在其中的基本圖形或概念中的修飾語.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)概念辨析不準(zhǔn)、幾何證明分析不出的情況，我們可以把原因歸結(jié)為學(xué)生沒有很好地把握數(shù)學(xué)概念和幾何圖形中的“宏觀元素”和“微觀元素”。將從代數(shù)概念教學(xué)的“宏觀微觀分析法”、挖掘幾何圖形中的宏觀元素與微觀元素、圖形運(yùn)動(dòng)中的“宏觀化”和“微觀化”以及幾何概念中的宏觀元素與微觀元素等方面例談在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的探索與嘗試。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；宏觀元素；微觀元素；幾何圖形

依照相對性原則，現(xiàn)實(shí)世界的客觀事物都可以根據(jù)事物整體與局部的相對性，就其結(jié)構(gòu)作出宏觀與微觀兩個(gè)層次的劃分.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)概念辨析不準(zhǔn)、幾何證明分析不出的情況，這也一直是令每位教師困擾的問題.很多教師會說這是因?yàn)閷W(xué)生概念理解不透徹、思考問題不全面、綜合分析能力差等原因，我把它歸結(jié)為學(xué)生沒有很好地把握數(shù)學(xué)概念和幾何圖形中的“宏觀元素”和“微觀元素”.

宏觀元素，是指從幾何圖形中的背景圖形或概念中的主體；微觀元素是指構(gòu)成宏觀圖形的各個(gè)子圖形——隱含在其中的基本圖形或概念中的修飾語.如果學(xué)生解題時(shí)善于從這兩方面進(jìn)行分析，解題的效率一定會有所提高.

一、代數(shù)概念教學(xué)的“宏觀微觀分析法”

數(shù)學(xué)概念（mathematical concepts）：是指人腦對現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式.正確地理解和形成一個(gè)數(shù)學(xué)概念，必須明確這個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵——對象的“質(zhì)”的特征（宏觀元素）及其外延——對象的“量”的范圍（微觀元素）.“宏觀與微觀”分析法在數(shù)學(xué)代數(shù)概念的教學(xué)中應(yīng)用比較多.

【舉例】下列方程中，一元高次方程是（ ）

解析：B、C選項(xiàng)應(yīng)該首先排除掉，因?yàn)檫@兩個(gè)方程根本不具備宏觀元素——整式方程，而A、D選項(xiàng)已經(jīng)具備宏觀元素，但還要由微觀元素——含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)大于2來衡量，因此，應(yīng)該選D.

二、幾何圖形中的宏觀元素與微觀元素

初中數(shù)學(xué)中，幾何證明是難點(diǎn)，很多學(xué)生不知從何入手，找不到解題的策略與方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的過程中，迫切想要知道的就是幾何問題思考方法、分析方法的規(guī)律性，最迫切地想要知道的就是幾何問題中添加的每一條輔助線是怎樣想出來的.教師該如何幫助學(xué)生分析問題，找到解題策略顯得尤為重要.實(shí)際上，解題時(shí)善于找出幾何圖形中的宏觀元素和微觀元素，會給解題帶來事半功倍的效果.

【教學(xué)片段】（外出教研活動(dòng)的素材）

題目：如圖，正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG、CG.

（1）如圖2-1（1），求證：EG=CG且EG⊥CG

（2）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2-1（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想.

（3）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖2-1（3），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明.

生：自主思考問題，尋求解題思路.（能夠填出輔助線的學(xué)生為數(shù)不多）

師：（師生共同分析）本題是以正方形為背景的幾何證明題，我們應(yīng)該知道正方形的性質(zhì)，如，四條邊都相等、對邊平行、四個(gè)角都為直角、對角線相等且互相垂直平分、每一條對角線平分一組對角.從而得出∠EBF=∠EFB=45°.要證明“EG=CG且EG⊥CG”，則在本題的背景下應(yīng)該考慮到證“全等”.由于本題中沒有這兩條邊所在的全等三角形，所以，要“構(gòu)造全等三角形”——過點(diǎn)G作GM⊥AB于點(diǎn)M，并延長MG交DC于點(diǎn)N（為了構(gòu)造△GME與△CNG全等），同時(shí)，也出現(xiàn)了“一線三等角”的基本圖形，如圖2-1（4）結(jié)合點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，容易證出AM=ME=DN=GN，從而得證.

師：講解了將△GFE繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的方法，如圖2-1（5）

對于這位教師的分析，我覺得可以充分肯定兩點(diǎn)：①利用了幾何圖形的宏觀元素——正方形，構(gòu)造出圖形中的微觀元素——②解題的切入點(diǎn)是從要證的結(jié)論入手.這都是幾何證明中的常用思路和方法.但是，我個(gè)人覺得本題的微觀元素不止這些，還有點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)（即DG=GF）和EF∥AD，如果這樣的兩個(gè)隱性元素結(jié)合在一起，我們自然會想到利用中心對稱構(gòu)造三角形全等，即“X型全等”，如圖2-1（4）和2-1（5）.同時(shí)，也引發(fā)出下一個(gè)基本圖形——等腰三角形的“三線合一圖”也就挖掘出兩個(gè)基本圖形.這樣的解題學(xué)生更容易接受，也起到了多題一解的效果，學(xué)生更容易掌握圖形運(yùn)動(dòng)的“不變形”，也就充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中的通性通法.

因此，在幾何證明中，我比較提倡在“宏觀的背景下，從微觀元素尋求解題方法”.這就要求教師和學(xué)生對微觀元素的組合比較熟悉.以上兩個(gè)基本圖形，應(yīng)用比較廣泛.如，三角形中位線、梯形中位線的證明.

三、圖形運(yùn)動(dòng)中的“宏觀化”和“微觀化”

學(xué)生學(xué)習(xí)幾何，最怕圖形中有動(dòng)點(diǎn)或“背景圖形”——宏觀元素變換，經(jīng)常出現(xiàn)束手無策的情況.這就要求教師在教學(xué)中要有機(jī)地變換宏觀元素與微觀元素，抓住一個(gè)“點(diǎn)”將其放大到“面”，即把微觀元素“宏觀”化（圖形中的特殊元素更加一般化），將宏觀元素“微觀”化（減少背景圖的特殊性），由研究一個(gè)問題，變成研究一類問題.

在教學(xué)片段1中，如果將教師所構(gòu)造的微觀元素——一線三角圖進(jìn)行放大，將上圖中的微觀元素——“△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°和180°”放大到“繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)任意角度”，G為DF中點(diǎn)，如圖3-1（1），結(jié)論仍然成立.

【舉例】如圖3-3（1），已知在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點(diǎn)G，

（1）求證：GF=GC.

（2）類比探究，如圖3-3（2），將第（1）問中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

本題中，第（2）問，實(shí)際是將（1）中宏觀元素“矩形ABCD”微化到“平行四邊形ABCD”，微觀元素“Rt△GEF≌Rt△GEC（H.L）”宏化到一般三角形，由“∠B=∠AFE=∠GFE=90°”宏化到“非直角”.因此，由圖形3-3（1）變到3-3（2），通過證明三角形全等來證明等線段的方法行不通（因?yàn)椤斑呥吔恰辈灰欢ㄈ龋?但是本源性的元素“BE=EF=EC”和“∠GFE=∠GCE（等角的補(bǔ)角相等）”不變，結(jié)論“GF=FC仍然成立，諸如此類的題目有很多.

四、幾何概念中的宏觀元素與微觀元素

宏觀與微觀是相對的、辯證的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們教師都應(yīng)該不斷地探索宏觀元素“微”化，微觀元素“宏”化來研究問題.在初中數(shù)學(xué)領(lǐng)域，不止在代數(shù)概念、幾何圖形分析證明中存在“宏觀微觀說”，在幾何概念辨析的教學(xué)中也實(shí)用，如，在四邊形的教學(xué)中，在宏觀元素——四邊形的基礎(chǔ)上，添加一個(gè)微觀元素，如，“對角線互相平分”或“一組對邊平行且相等”或“兩組對邊分別平行”等，就可以得出該四邊形為平行四邊形.

又如，在宏觀元素——平行四邊形的基礎(chǔ)上，添加一個(gè)微觀元素——對角線相等，則會得出該四邊形為矩形，即對角線相等的平行四邊形是矩形.如果再將這里的宏觀元素——“平行四邊形”微化成“四邊形”，結(jié)論仍然成立，那么微觀元素——“對角線相等”則要繼續(xù)“微”化，變成“對角線互相平分且相等”.因此，在幾何概念教學(xué)中，存在宏觀“宏”，微觀“微”的說法.

如果把一堂課的總體達(dá)成度看成“宏觀”元素，那么學(xué)生的個(gè)性發(fā)言則是起主導(dǎo)作用的“微觀”元素.教師在批改作業(yè)時(shí)，要關(guān)注學(xué)生的“微觀”個(gè)體，講評作業(yè)時(shí)，則要關(guān)注的是學(xué)生的“宏觀”問題，即主要問題.圖形運(yùn)動(dòng)有規(guī)律，動(dòng)中不變很常見；透過宏觀看微觀，放大微觀成宏觀；微觀結(jié)合不一般，基本圖形在里邊.通過“宏觀”看問題，分析微觀尋策略.只有在教學(xué)中不斷探索和研究，課堂才會有效，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會更加得法.

參考文獻(xiàn)：

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[2]林東平.引導(dǎo)學(xué)生正確尋找解題思路的探索[J].中學(xué)教學(xué)參考，2012（10）.

編輯 鄭 淼