齊志華

摘 要：解三角形是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容之一。解題主要依據(jù)是正弦及余弦定理，但解題方法靈活多樣，僅以一道例題四種解法進(jìn)行簡要分析。

關(guān)鍵詞：解三角形；正余弦定理；多種分析方法

一、正弦定理和余弦定理是解三角形的關(guān)鍵

1.正弦定理■=■=■=2R（R為△ABC外接圓半徑），推廣：

（1）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC（邊化角）

（2）sinA=■ sinB=■ sinC=■（角化邊）

2.余弦定理c2=a2+b2-2abcosC（求邊，另兩個略），推廣：cosC=■（求角）

以上是兩定理的內(nèi)容和推廣，它揭示了任意三角形邊角之間的規(guī)律。利用兩定理可求三角函數(shù)的值，可求三角形的內(nèi)角和邊，判定三角形的形狀，綜合考查三角變換以及深化三角形和平面向量等多種知識的運(yùn)用能力，當(dāng)然這也是高中數(shù)學(xué)的主要精髓之一。

二、舉例分析

說明：由于篇幅有限，例子中圖形已省略，個別步驟作了簡化。

例子：在△ABC中，AB=4，cosB=■，AC邊上的中線BD=■，求sinA的值.

解法一：設(shè)M為BC的中點(diǎn)，則DM∥AB，且DM=2。在△BDM中，cos∠BMD=cos（180°-∠ABC）=-■，由余弦定理，得：（■）2=BM2+22-2×2×（-■）.BM解得BM=3，BM=-5（舍去）。

則BC=6，由AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=28

得AC=2■，又由正弦定理■=■，得：sinA=■

解法二：作AE⊥BC，垂足為E，延長BD到M，使DM=BD，再作MF⊥BC，垂足為F，則BE=AB·cosB=2，并且AE=2■·BF=■=8，而CF=BE=2，所以BC=BF-CF=6又EC=4，所以AC=■=2■

在△ABC中，由正弦定理，得：sinA=■

解法三：延長BD至M，使DM=BD，連接AM，CM，則ABCM為平行四邊形。

于是∠BAM=180°-∠ABC，在△ABM中，由余弦定理，得： （2■）2=42+BC2-2×4·BC·（-■）

解得BC=6。再根據(jù)解法一求出AC，最后得：sinA=■

解法四：以B為原點(diǎn)，向量■為x軸建立直角坐標(biāo)系，由sinB=■，得：向量■=（4·cosB，4·sinB）=（2，2■）.設(shè)■=（x，0），則向量■=（■，■），從而向量■的模=■=■解得x=6，于是向量■=（-4，2■），所以根據(jù)兩向量夾角公式，有：■·■=■·■·cosA，得cosA=■，故sinA=■=■（負(fù)值舍去，需討論）

三、簡評

1.所有三角形的邊角變換，其實(shí)就是有條件限制的三角關(guān)系式的計算與證明，在三角形的三角變換中，正余弦定理、勾股定理和直角三角形中的邊角關(guān)系都是解題的關(guān)鍵，通過本例可以看出。

2.解三角形的有關(guān)問題，常常需作一些輔助線。如解法一中的中位線，解法二和解法三中的延長線都是解三角形中常作的輔助線，應(yīng)引起學(xué)生學(xué)習(xí)的足夠重視。如果不作輔助線，解題方法就受局限，甚至造成解不出的可能。

3.通過建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，利用向量或點(diǎn)坐標(biāo)的工具解答有關(guān)邊角的問題，這也是解三角形中常用的方法。本例解法四就是用解析幾何知識解決純平面幾何問題的典例，希望對學(xué)生有所啟迪。

4.當(dāng)然，解三角形有時還要用到兩角和公式、倍角公式、半角公式、和差化積、積化和差公式、推導(dǎo)公式、兩點(diǎn)間距離公式等諸多公式，希望學(xué)生靈活運(yùn)用，以不變應(yīng)萬變。

5.解三角形其主要作用是解決在實(shí)際生活中的一些應(yīng)用。常見有距離、高度、角度及平面圖形的面積等計算與測量問題，希望學(xué)生學(xué)習(xí)時要有應(yīng)用意識與動手能力，做到學(xué)有所用。

另外，本題還可繼續(xù)探討，例如，作△ABC的外接圓或利用點(diǎn)坐標(biāo)法是否可解。感興趣的學(xué)生可以試試?？傊?，解一般三角形萬變不離其宗，其要領(lǐng)都是平面幾何與正余弦定理兩方面知識的結(jié)合。

（作者單位 遼寧省本溪市機(jī)電工程學(xué)校）

編輯 馬燕萍