單薇潔

摘 要：數(shù)學基本思想是一種科學的思想，是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學學科的精髓。教學中，教師應不失時機地滲透數(shù)學基本思想，注重知識形成過程的教學，注重解決問題策略的指導，注重解答方法的歸納總結(jié)，從而提升思維水平的深度和寬度。

關鍵詞：解決問題的策略； 建模思想； 假設思想

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2013）09-050-001

在新的《小學數(shù)學課程標準（修訂稿）》中，對小學數(shù)學教學提出了“四基”的要求，即在原來雙基的基礎上，增加了“數(shù)學基本思想”和“數(shù)學基本活動經(jīng)驗”，可見數(shù)學基本思想在小學的教學中已提高到了較為重要的地位。確實，“數(shù)學思想方法反映著數(shù)學概念、原理及規(guī)律的聯(lián)系和本質(zhì)，是學生形成良好認知結(jié)構(gòu)的紐帶，是培養(yǎng)學生能力的橋梁?！逼鋵?，在蘇教版的教材中，有很多地方都滲透著數(shù)學基本思想，特別是“解決問題的策略”單元中，顯得尤為突出。因此，筆者想以第十一冊“假設和替換”中的一些教學片段為例，談談數(shù)學基本思想在其中的應用。

一、建模思想在教學中的應用

本單元教學中的替換策略，其教學的重點是讓學生充分理解替換策略的意義，即把兩種量替換成一種量，從而順利的解決問題。數(shù)學建模思想在這里體現(xiàn)的是，從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)、提出、理解問題，最后歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題中去。

教學例題時，可以三個層面的操作來串聯(lián)學生對問題的思考“（1）畫一畫，把你替換的過程畫出來。（2）算一算，根據(jù)自己所畫的圖列式計算。（3）說一說，把找到的答案和方法與同桌進行交流?！痹诋嫷膶用?，學生既可以把1個大杯換成3個小杯；也可以把6個小杯換成2個大杯。學生通過尋找數(shù)量關系以及觀察主題圖，得出解決這個問題需要把兩種杯子換成一種杯子——即替換，嘗試了把生活中的原型上升為數(shù)學模型，初步感知了數(shù)學中的建模思想。而在算的層面，學生通過假設的數(shù)學模型，能夠清楚地抓住事物的本質(zhì)關系，特別是6+3和6÷3+1，用算式表達自己的替換過程，使替換的思考呈現(xiàn)數(shù)學化、符號化、模型化。學生由最初形象的物體圖形，抽象到現(xiàn)在的數(shù)學表達式，恰恰體驗了數(shù)學模型的形成。最后在說的層面，讓學生比較這兩種替換方式，體會無論哪種情況，它們都是把兩種量與總量之間的復雜數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為一種量與總量之間的簡單數(shù)量關系，培養(yǎng)了學生的建模意識。

接著，將例題進行更改，把條件改為“大杯的容量比小杯多20毫升”。在這里為了使學生充分體會這種相差關系的替換，是一種不等量的替換，其替換結(jié)果勢必造成果汁總量發(fā)生改變，因此可以啟發(fā)學生“同樣一道題，為什么剛才替換結(jié)果的總量是在減少，現(xiàn)在總量卻又增加呢？”結(jié)合圖意，引發(fā)學生深層次的思考。

在新授環(huán)節(jié)的最后，把倍數(shù)關系和相差關系的兩種替換進行對比和提煉“（1）比一比這兩題的條件有什么不同？（2）比一比它們的替換過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？”通過比較，學生都能清楚地認識到替換的依據(jù)不同，一個揭示了兩者之間的倍數(shù)關系，一個揭示了兩者之間的相差關系。倍數(shù)關系替換下來的總量不變，相差關系替換下來的總量發(fā)生了變化。那“為什么會有這樣的變和不變呢？”倍數(shù)關系是等量替換，總量不需要改變；而相差關系中把1個大杯換成1個小杯，它們兩的容量是不相等的，所以總量要隨著改變。這樣，學生不僅能充分理解替換策略的意義，還能明確的判斷出該用什么方法來解決，實現(xiàn)了數(shù)學建模的意義和價值。

二、假設思想在教學中的應用

本單元教學中的假設策略，是讓學生在對自己解決實際問題的不斷反思中，感受假設的策略對于解決特定問題的價值，進一步發(fā)展學生分析、綜合和簡單推理的能力。而“假設”本身，它既是一種策略，也是一種數(shù)學基本思想。假設思想是一種有意義的想象思維，可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。

在教學例題時，首先組織學生觀察，審理問題信息，選擇解決方法。在畫圖中，學生用5個圓圈表示每只大船坐5人，結(jié)果發(fā)現(xiàn)10只大船坐了50人，比原來的42人多了8人，那么“為什么會多出8人呢？怎樣才能正好坐42人呢？”帶著矛盾，學生自然地從原來的船上2人2人地減少，直到剛好滿足條件為止。雖然這只是一個簡單操作活動，但在畫圖的過程中，學生通過直觀的圖示，較好地理解了其中變和漸變的過程，較好地理解了我們是如何假設，如何制造矛盾，又如何解決矛盾的過程。

在列表中，學生的數(shù)學思維又得到了提升。1、逐一列舉。有的學生從有10只大船開始一個一個試，直至尋找到所求的答案。有的可能認為這種方法太過繁瑣，但這一過程很有必要，學生通過列表發(fā)現(xiàn)，每增加1只小船、減少1只大船便會減少2人，從而為跳躍嘗試做好鋪墊。2、跳躍列舉。也是從有10只大船開始試，但發(fā)現(xiàn)這樣有50人，太多了，可以多增加幾只小船，如果發(fā)現(xiàn)比42少，那么就可以確定大船或小船的范圍，再在這里面尋找。3、取中列舉，這也是書中呈現(xiàn)的方法。由于一共10只船，所以各取5只，接著在舉例中根據(jù)實際的數(shù)據(jù)情況確定舉例的方向，這樣可以大大縮小舉例的范圍。應該說在列表三個層次的提升中，學生經(jīng)歷著、思考著、探索著、嘗試著，對思維的訓練、假設思想的滲透、解決問題能力的提高有著極大的幫助。

其實畫出的圖或列出的表是為學生應用假設的策略提供幫助。假設是思想層面的體會，畫圖和列表是方法層面的選擇，最后讓學生進行方法對比，體會共同點。當學生由圖、表改成算式的提煉后，問題“為什么4只求的是小船？”可以引發(fā)學生對假設過程的思考。因為假設10只大船就多了8人，又因為每條大船比小船多2人，8里面有4個2，說明需要把4條大船調(diào)整，換成小船。這樣，學生自然得出“假設，比較，調(diào)整”的完整思維過程，從而進行解答。

當然，學生對例題的理解絕不只會停留在這個層面，方程在此時也會顯出順向思維的優(yōu)勢。通過對“大船上的人數(shù)+小船上的人數(shù)=總?cè)藬?shù)”這個等量關系的理解，學生可以列方程解答。還有的學生對數(shù)據(jù)進行觀察，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點進行猜測驗證。在此題中，有的學生牢牢抓住“一共有42人”這個數(shù)據(jù)進行觀察和思考，認為大船乘5人，因此坐在大船上的總?cè)藬?shù)一定是5的倍數(shù)，那么個位只能是5或0，要想個位是2，小船只能是4只。真是“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”，其實這也是一種假設，利用數(shù)的整除特征進行假設、推理。

其實，替換與假設的策略有很多相通之處，甚至有的認為“替換本質(zhì)上就是一種假設”。因此不管是哪一種策略，我們在運用時都要有條理地厘清數(shù)量關系，恰當?shù)貪B透數(shù)學基本思想，這樣就可以使原有的復雜問題轉(zhuǎn)化成一個較為簡單的實際問題了。