摘要:高等數(shù)學(xué)教育改革要圍繞素質(zhì)教育實踐,著力從數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)上來增強大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和能力。數(shù)學(xué)建模思想和建模方法是培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識的有效途徑,也是當(dāng)前高等教育人才培養(yǎng)的重要方向。本文將從數(shù)學(xué)建模競賽的益處入手,就高等數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)的必要性進行闡述,特別是從教育方法、教育理念及教育手段創(chuàng)新上,豐富高等數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用,增強大學(xué)生對高等數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)。
關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);建模思想;大學(xué)生;創(chuàng)新思維;教學(xué)應(yīng)用
中圖分類號:O1-0 文獻識別碼:A 文章編號:1001-828X(2016)019-000-02
素質(zhì)教育將創(chuàng)新思維培養(yǎng)作為高等教育的首要任務(wù),高等數(shù)學(xué)作為素質(zhì)教育改革的重要內(nèi)容,迫切需要從大學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)上,強化大學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用和實踐。數(shù)學(xué)建模思想已經(jīng)成為當(dāng)前高等數(shù)學(xué)教學(xué)的改革重點,本文將從數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)應(yīng)用著手,從具體數(shù)學(xué)建模應(yīng)用中來提升大學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。
一、數(shù)學(xué)建模思想與大學(xué)生創(chuàng)新思維的養(yǎng)成
(一)數(shù)學(xué)建模思想對數(shù)學(xué)知識實踐性教學(xué)提供基礎(chǔ)
數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)大學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的有效途徑。將建模思想與數(shù)學(xué)應(yīng)用相統(tǒng)一,從問題中來創(chuàng)設(shè)解決思路。如概率論和數(shù)理統(tǒng)計,主要從隨機現(xiàn)象的規(guī)律性上來探討數(shù)學(xué)應(yīng)用。作為理工類基礎(chǔ)課程之一,其特點是與具體工程行業(yè)發(fā)展相結(jié)合,利用數(shù)學(xué)建模思想來分析實際問題。再如線性代數(shù)和微積分,這些課程對于數(shù)學(xué)建模能力要求不高,但對于線性代數(shù)的應(yīng)用,可以從其知識點共性上來加強數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維意識的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)知識與工程技術(shù)學(xué)科、經(jīng)濟學(xué)、管理科學(xué)等都有滲透,特別是對于學(xué)科實際問題,從數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科的交叉中來建立數(shù)學(xué)模型,探究問題的解決路徑。數(shù)學(xué)建模過程是創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的有效方式,從數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)新思維研究中,傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí),多體現(xiàn)在抽象理論的運算,而往往忽視數(shù)學(xué)知識的實踐性。高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模課程的開展,為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用創(chuàng)造了條件,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)功用,提升大學(xué)生勇于探索的數(shù)學(xué)精神。
(二)數(shù)學(xué)建模思想與創(chuàng)新思維的關(guān)系
創(chuàng)新思維是廣大大學(xué)生最缺乏訓(xùn)練的科學(xué)思維,在大學(xué)數(shù)學(xué)與建模思想應(yīng)用中,對于傳統(tǒng)的教學(xué),多停留在教師的講解與學(xué)生的聽與背,對于數(shù)學(xué)知識所涵蓋的科學(xué)思維則缺乏思考。數(shù)學(xué)建模將創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)問題作為前提,利用數(shù)學(xué)方法來多角度的觀察和分析實際問題,特別是從數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建中,發(fā)揮數(shù)學(xué)知識在解決實際問題中的作用。如對高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論知識,如何去理解概率的概念,倘若直接給出概率的定義和公式,對于學(xué)生在理解樣本點、樣本空間等概念時將面臨與實際相脫節(jié)的尷尬。為此,在教學(xué)中可以從隨機試驗范例描述中,針對可能發(fā)生的隨機事件來找出事件間的關(guān)系與結(jié)構(gòu),讓學(xué)生從事件的組合與運算中來理解數(shù)學(xué)建模思維過程,抓住基本事件的本質(zhì),并能夠從數(shù)學(xué)模型中來進行表達(dá),突出實際問題到抽象概念間的轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成在于對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)知識的運用,教師要能夠從數(shù)學(xué)問題中來多提問題,鼓勵學(xué)生從數(shù)學(xué)模型中來探究數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系,特別是從課題探討、動手實踐中,運用數(shù)學(xué)知識來建構(gòu)學(xué)科問題,從自由思考、廣泛交流、深入探究中提出見解,增強思維群體間的碰撞與啟發(fā),以挖掘和調(diào)動廣大學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和潛能。
二、數(shù)學(xué)建模與大學(xué)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用
數(shù)學(xué)建模在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用是廣泛的,如結(jié)合當(dāng)前購房還貸問題,我們可以從差分方程的應(yīng)用中來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。假設(shè)某同學(xué)要購買房子,依照按揭貸款要求,如何從數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建中來探究各變量間的關(guān)系。假設(shè)第n月欠銀行款為An,第n-1個月欠款結(jié)余為An-1,利息額為An-1(1+r),本月還款為x,還欠銀行款為An-1(1+r)-x。當(dāng)學(xué)生在第n月還款之后還剩欠款為An時,則An應(yīng)該滿足上次還款欠款余額An-1與上次還款利息An-1r的和,再與本月還款x作差,即可得到購房還款數(shù)學(xué)模型。記作:
從上述差分方程的建模過程來看,利用建 模思想來圍繞現(xiàn)實購房問題展開數(shù)學(xué)分析,有助于我們從中來細(xì)化各變量間的關(guān)系,從而更好的幫助我們處理現(xiàn)實問題。同樣道理,利用差分方程,還可以從數(shù)列{3,54,10,33,......}中來解決第五個數(shù)字是多少。我們從數(shù)列的各項數(shù)值關(guān)系來分析,第一項3與第二項4之間的關(guān)系可以記作:4=1×3+1;第三項可以記作:10=2×4+2;第四項可以記作:33=3×10+3;那么第五項則可以記作:136=4×33+4。對于本題在解決過程中,利用建模思想,可以得到An=(n-1)(An-1+1),n=2,3,...,N;可見,對于本模型在實踐應(yīng)用中能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察與分析能力。
同樣道理,高等數(shù)學(xué)中的定積分知識的應(yīng)用,在生活中也較為常見。如我們在對易拉罐進行最優(yōu)化設(shè)計時,通過讓同學(xué)們觀察易拉罐的整體結(jié)構(gòu),從實物的觀察中來增強學(xué)生對定積分的認(rèn)知和理解,特別是從易拉罐自身正圓柱體結(jié)構(gòu),應(yīng)該從那些變量及參數(shù)優(yōu)化上,來獲得總體積為330ml。因此,需要從易拉罐的形狀及結(jié)構(gòu)分析上,從圓柱的半徑與高之間的比值之間來優(yōu)化表面積S,以滿足體積要求。根據(jù)圓柱體表面積S的求解方法,我們可以記作S(r,h)=2πrh+πr2=2π[r2+rh],對于圓柱體的體積V可以記作:V=πr2h,而h=V/πr2。通過上述分析,利用數(shù)學(xué)建模思想來探究易拉罐的數(shù)學(xué)模型,可以從如下目標(biāo)函數(shù)的表示中來獲得:。對于式中的S表示為目標(biāo)函數(shù),而對于,則是對本模型的約束條件,也就是說,在易拉罐體積恒定且已知條件下,滿足該易拉罐體積最小所對應(yīng)的圓柱半徑r和圓柱高h(yuǎn)的值。通過對易拉罐最優(yōu)化設(shè)計,讓學(xué)生能夠從生活中來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識,運用數(shù)學(xué)思維來研究實際問題,特別是在數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活聯(lián)系上,增強學(xué)生對數(shù)學(xué)建模思想的運用,提升廣大學(xué)生對數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。
從數(shù)學(xué)建模應(yīng)用來看,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論在教學(xué)中可以采用多種思維方式來滲透建模思想,從問題的發(fā)現(xiàn)與分析中,通過精心設(shè)計問題來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維,利用已掌握的數(shù)學(xué)知識來展開探討,拓寬數(shù)學(xué)思維,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模在想象力培養(yǎng)中的積極作用。如泊松分布、二項分布、正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布等。針對這些分布特征,學(xué)生們在實踐探究中,往往難以理解數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與概率分布類型之間的內(nèi)在關(guān)系。因此,我們從概率分布問題中來聯(lián)系實際,利用具體分布特征來探討各類隨機問題的變化情況。如對于泊松定理的學(xué)習(xí),從該定理的證明來看,泊松分布可以看作是二項分布的極限表示方式,那么如何從隨機變量的表示上來幫助學(xué)生正確分析定理成立的條件。從極限表示來看,在 nPn=中,我們可以從二項分布中來獲得隨機變量的序列,與數(shù)列都是同階無窮小,當(dāng)n足夠大時,則P值最夠小,由此可以利用λ=np來對二項分布進行概率統(tǒng)計計算。在判定概率出現(xiàn)次數(shù)較少時,我們稱之為“稀有事件”,則可以將二項分布近似看做是泊松分布。對于統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)與檢驗過程,任何猜想的驗證都需要從檢驗中來獲得。同樣,在泊松定理中,利用數(shù)學(xué)建模思想來提出假設(shè),并從檢驗中來驗證。
對于概率學(xué)中的頻率穩(wěn)定性問題,可以從概率概念及頻率概念間的差異性上,借助于隨機變量來幫助學(xué)生們正確理解。以貝努里大數(shù)定律為例,對于任意的一個,當(dāng)時, 貝努里大數(shù)定律成立。從理論上來看,我們可以利用計算機軟件模擬蒲豐投針試驗,讓學(xué)生從軟件模擬中來理解該定理的特點。當(dāng)實驗次數(shù)n足夠大時,所獲得的頻率具有穩(wěn)定性,從而獲得頻率與概率之間的關(guān)系。同樣道理,在利用蒙特卡羅方法時,當(dāng)我們將確定性問題是由隨機模擬方法近似求解的話,很多學(xué)生更樂于從中來洞悉具體方法。如在工程實踐中,對于圓周率的估算,可以從蒙特卡羅方法中來近似計算;還有對于物理學(xué)中的核反應(yīng)堆屏蔽層問題,也可以從模擬近似方法中,利用模擬現(xiàn)實的隨機變量來進行設(shè)計。可見,對于模擬理論的應(yīng)用,其依據(jù)是在貝努里大數(shù)定律的使用中,通過頻率來完成對概率的統(tǒng)計。在豐富的現(xiàn)實生活世界里,諸如此類的充滿趣味的數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用是廣泛的,利用數(shù)學(xué)建模思想來激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)樂趣,從中來鼓勵學(xué)生在資料查閱和動手實踐中來提升創(chuàng)新思維能力。
三、結(jié)語
數(shù)學(xué)模型是基于數(shù)學(xué)符號、公式及數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上,對現(xiàn)實本原型問題的描述和反映。在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型應(yīng)用中,要從數(shù)學(xué)思想與實際問題的銜接上,從數(shù)學(xué)方法的滲透和運用中來解決實際問題。如在高等數(shù)學(xué)積分過程研究中,從不同解題方法或一題多解中來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)建模中來探究數(shù)學(xué)領(lǐng)域與其他行業(yè)學(xué)科知識的關(guān)系,嘗試用數(shù)學(xué)建模來激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題,提出新的見解和方法,在數(shù)學(xué)建模實踐中增強學(xué)生對創(chuàng)新思維能力的運用。
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作者簡介:張恩賓(1981-),男,漢族,河南封丘人,理學(xué)碩士,河南財政金融學(xué)院信息工程系,講師,研究方向:信息與計算科學(xué)。
現(xiàn)代經(jīng)濟信息2016年19期