摘 要：一味追求確定性容易使教育掉入“絕對(duì)確定性”的陷阱，造成教學(xué)預(yù)設(shè)和生成的對(duì)立。教學(xué)的不確定性作為教師預(yù)設(shè)之外的矛盾的觸發(fā)點(diǎn)，是推動(dòng)師生開(kāi)展有效對(duì)話(huà)，突破既定視域、框架的重要條件，它將教學(xué)引向創(chuàng)造性的生成。教育不應(yīng)做“算命先生”，而應(yīng)將不確定性看作人類(lèi)面對(duì)所有事物的“常態(tài)”。數(shù)學(xué)教學(xué)除了確定性的樣態(tài)外，還存在教學(xué)目標(biāo)關(guān)注思想本位和全面育人、組織形式靈活機(jī)動(dòng)和因地制宜、問(wèn)題設(shè)計(jì)立足挑戰(zhàn)和促進(jìn)主動(dòng)的兼容大量不確定性因素的樣態(tài)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；不確定性；生成

*

本文系浙江省麗水市教育科學(xué)規(guī)劃2022年課題“基于數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)研究”（編號(hào)：2022SXSM020）的階段性研究成果。

連續(xù)觀摩了三屆省級(jí)高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比。三屆上課的主題各不相同，按時(shí)間先后順序分別為“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)”“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”和“成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析”。雖然課堂看起來(lái)精彩紛呈，教師的表現(xiàn)也可圈可點(diǎn)，但是總有一種“似曾相識(shí)、千篇一律”的感覺(jué)：所有的課幾乎都是按照“創(chuàng)設(shè)情境—問(wèn)題引導(dǎo)—例題分析—應(yīng)用提升”的邏輯展開(kāi)的，似乎這就是數(shù)學(xué)教學(xué)的“萬(wàn)能公式”，什么課都可以往里套。令人印象最深的是“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)”那次，數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題分別是來(lái)自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課標(biāo)”）的“停車(chē)距離問(wèn)題”“包裝彩繩”“體重與脈搏”與來(lái)自人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)的“茶水最佳飲用時(shí)間問(wèn)題”，在短短的一節(jié)課40分鐘里就完成問(wèn)題提出、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析與檢驗(yàn)、模型應(yīng)用這一整套建模流程。什么時(shí)候數(shù)學(xué)建模變得這么容易？不管什么類(lèi)型的課，也不管什么教學(xué)內(nèi)容，都能順利“完成”教學(xué)目標(biāo)，因?yàn)樯险n的所有流程都是教師預(yù)先設(shè)計(jì)好的，學(xué)生該回答什么問(wèn)題、選擇哪種解題方法、做什么事都是教師確定好的。于是，我們不禁要思考：對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，這種確定的樣態(tài)真的很好嗎？是否存在其他的樣態(tài)？

一、 一味追求確定性造成預(yù)設(shè)與生成的對(duì)立

“人生活在危險(xiǎn)的世界里，便不得不尋求安全?！保?］于是，追求穩(wěn)定、確定就成了人類(lèi)的夙愿。作為人類(lèi)知識(shí)、文化傳承主要途徑的教育更是有一系列確定性措施作為保障。比如，建立學(xué)校這一特殊社會(huì)組織，由師生共建學(xué)習(xí)共同體，以課程的形式統(tǒng)一進(jìn)行；學(xué)生成才、成人所需的基本價(jià)值觀，如道德意識(shí)、責(zé)任感、同理心等也都是預(yù)先設(shè)定好的。不可否認(rèn)，教育的確定性追求在文化傳承上有其積極的一面，但是，一味追求確定性容易使教育掉入“絕對(duì)確定性”的陷阱，造成教學(xué)預(yù)設(shè)和生成的對(duì)立。

預(yù)設(shè)與生成是教學(xué)的二重基本屬性。一方面，教學(xué)具有確定性和預(yù)設(shè)性，它遵循一定的規(guī)律，是可控的；另一方面，教學(xué)沒(méi)有固定的模式，也沒(méi)有一成不變的過(guò)程，它具有不確定性和生成性。教學(xué)活動(dòng)的預(yù)設(shè)性與生成性如同硬幣的兩面，無(wú)法分開(kāi)。二者和諧共生，才能構(gòu)建合理有效的教學(xué)過(guò)程。但是，在確定性?xún)?yōu)先的價(jià)值導(dǎo)向下，教師通常會(huì)無(wú)視生成的一般規(guī)律，而把教學(xué)的重心錨定在預(yù)設(shè)上，成為教學(xué)過(guò)程的操控者，嚴(yán)格控制學(xué)生的行為，防止非預(yù)期事件的發(fā)生，即使是提問(wèn)后鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)言，也小心翼翼地將學(xué)生的回答限制在預(yù)設(shè)的范圍內(nèi)，從而使教學(xué)成為“教案劇”的演出。

例如，《導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義》一課，為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“導(dǎo)數(shù)的值就是切線(xiàn)的斜率”，有教師設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：

平均變化率ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx

的幾何意義是什么？

學(xué)生都知道平均變化率表示的是割線(xiàn)P0P的斜率。教師讓學(xué)生在平板電腦上操作：拖動(dòng)點(diǎn)P（x0+Δx，f（x0+Δx））沿著曲線(xiàn)f（x）趨近于點(diǎn)P0（x0，f（x0））。

問(wèn)題2：

割線(xiàn)P0P與切線(xiàn)是否存在某種內(nèi)在聯(lián)系？

學(xué)生回答后，教師給出切線(xiàn)的一般定義（極限定義）。

問(wèn)題3：

初中時(shí)，我們?cè)鯓佣x圓的切線(xiàn)？

追問(wèn)：

圓的切線(xiàn)定義適合于任意曲線(xiàn)嗎？現(xiàn)在的切線(xiàn)定義符合初中圓的切線(xiàn)定義嗎？

教師讓學(xué)生畫(huà)圖舉出反例，說(shuō)明圓的切線(xiàn)定義不適用于任意曲線(xiàn)；再借助平板電腦操作，驗(yàn)證切線(xiàn)的一般定義對(duì)任意曲線(xiàn)都適用。

不難發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是切線(xiàn)定義的形成還是切線(xiàn)定義的驗(yàn)證，學(xué)生都是在教師的指令下完成的。例如，要求學(xué)生“把點(diǎn)P拖動(dòng)到點(diǎn)P0”，要求學(xué)生類(lèi)比圓的切線(xiàn)以及直接告訴學(xué)生切線(xiàn)的一般定義。至于為什么要這樣做，這樣做有什么目的，學(xué)生根本不知道，教師也沒(méi)有給學(xué)生思考的機(jī)會(huì)。教學(xué)演變?yōu)閹熒鷩@確定性知識(shí)而開(kāi)展的機(jī)械化活動(dòng)，限制了學(xué)生對(duì)未知世界與可能世界的探索，使學(xué)生被“套索”在既有知識(shí)、思維的框架中，喪失創(chuàng)造性。［2］

遺憾的是，教師往往不會(huì)覺(jué)察到預(yù)設(shè)和生成的對(duì)立處境。由于在預(yù)設(shè)中已經(jīng)剔除了不確定性（風(fēng)險(xiǎn)），教學(xué)被簡(jiǎn)化為由教師單方面推進(jìn)的線(xiàn)性過(guò)程；同時(shí)，由于簡(jiǎn)化了學(xué)生、教師與文本之間的復(fù)雜交互，教學(xué)也變得異常順利，表面上看已經(jīng)完美地實(shí)現(xiàn)了生成。

二、 教學(xué)不確定性的內(nèi)涵及意義

海森堡在研究量子理論時(shí)，提出了“不確定性原理”。其核心觀點(diǎn)是：“在實(shí)際測(cè)量以前，粒子的位置是不精確的（粒子是不確定的），在測(cè)量時(shí)只能預(yù)測(cè)可能的位置，而不是確切的位置?！焙Ｉげ淮_定性原理迫使我們接受這樣一個(gè)事實(shí)：事情的發(fā)生基于概率，優(yōu)雅而瘋狂的量子女神一時(shí)興起的念頭決定了一切。［3］杜威援引了海森堡的不確定性原理，認(rèn)為：教學(xué)的確定性是相對(duì)的，而教學(xué)的不確定性是絕對(duì)的。所謂“不確定性”，是指行動(dòng)者事先難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)事件發(fā)生的過(guò)程或某一決策所帶來(lái)的結(jié)果；教學(xué)的不確定性，意指教學(xué)所呈現(xiàn)的并非簡(jiǎn)單的“‘輸入’與‘輸出’的完美匹配狀態(tài)”［4］。這種不確定性始終伴隨著教學(xué)，永遠(yuǎn)是教學(xué)生活中無(wú)法消除的一個(gè)客觀事實(shí)，只不過(guò)，對(duì)教學(xué)不確定性的具體認(rèn)知會(huì)隨著時(shí)代的不同而有所差異。［5］在結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定、發(fā)展比較緩慢的傳統(tǒng)社會(huì)，教學(xué)的確定性程度較高；現(xiàn)代社會(huì)流變加劇，叢生的全球化問(wèn)題不斷震蕩和洗滌著世界各個(gè)層面，不確定性加劇，而且，不斷變化著的教學(xué)認(rèn)識(shí)引發(fā)了教學(xué)實(shí)踐的變化，不斷變化著的教學(xué)實(shí)踐又導(dǎo)致了教學(xué)認(rèn)識(shí)的變化，從而使教學(xué)的不確定性增加［6］?！叭魏卧噲D確定的努力，都會(huì)導(dǎo)致更多的不確定性；所有進(jìn)行編碼、過(guò)度編碼以固定的試圖，都肯定會(huì)同時(shí)增加隨機(jī)性和不確定性的總數(shù)?！保?］用某種確定的教學(xué)概念去描述變動(dòng)不居的教學(xué)世界，必然會(huì)把教學(xué)世界看成一個(gè)僵死的“概念的木乃伊”，這等于又否定了客觀存在的教學(xué)不確定性。

教學(xué)的不確定性所指向的是教學(xué)過(guò)程的開(kāi)放性與生成性，是師生面對(duì)特定的內(nèi)容、特定的情境進(jìn)行互動(dòng)的關(guān)鍵要素。根據(jù)唯物辯證法，教學(xué)的不確定性作為教師預(yù)設(shè)之外的矛盾的觸發(fā)點(diǎn)，是推動(dòng)師生開(kāi)展有效對(duì)話(huà)，突破既定視域、框架的重要條件，它將教學(xué)引向創(chuàng)造性的生成。人類(lèi)知識(shí)的創(chuàng)新是由不確定性知識(shí)到確定性知識(shí)再到不確定性知識(shí)的不斷更新過(guò)程。正如波拉克指出的：“不確定性遠(yuǎn)非前進(jìn)的障礙，它實(shí)際上是創(chuàng)造性的強(qiáng)烈刺激因素和重要組成部分?！保?］教師直面教學(xué)的不確定性，不僅能激發(fā)學(xué)生的求知欲與好奇心，也能推動(dòng)自身專(zhuān)業(yè)能力的不斷發(fā)展。通過(guò)直面教學(xué)的不確定性，師生的心靈向模糊、無(wú)序、未定的世界敞開(kāi)，摒棄對(duì)確定性成果的片面接收，介入動(dòng)態(tài)發(fā)展的世界中，朝向未來(lái)更崇高、更積極的自主創(chuàng)造。

教育最大的不確定性是我們不能精準(zhǔn)預(yù)測(cè)未來(lái)世界會(huì)發(fā)生哪些變化，許多的“偶然生成”（小概率事件）會(huì)變成大趨勢(shì)。同時(shí)，每一個(gè)學(xué)生適應(yīng)未來(lái)世界的生存方式也是千差萬(wàn)別的。教育不應(yīng)做“算命先生”，而應(yīng)將不確定性看作人類(lèi)面對(duì)所有事物的“常態(tài)”。知識(shí)以及個(gè)體發(fā)展、人類(lèi)活動(dòng)的過(guò)程與結(jié)果的不確定性，也要融入教學(xué)實(shí)踐的元認(rèn)知中。不確定的世界給教師的教學(xué)帶來(lái)了挑戰(zhàn)和困惑，也賦予教師教學(xué)選擇的自由和創(chuàng)造的空間。在“不確定性”中尋找“確定性”，在“不確定性”中練就“反脆弱性”，這或許是未來(lái)課堂教學(xué)的新模式。［9］

三、 不確定性視域下的教學(xué)樣態(tài)

（一） 教學(xué)目標(biāo)：思想本位，全面育人

突破確定性的藩籬要從教學(xué)目標(biāo)入手。在教學(xué)目標(biāo)制定上，一直以來(lái)的弊病是過(guò)于單一，只注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能的掌握，而忽視數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用和創(chuàng)新思維的掌握和培養(yǎng)，忽視數(shù)學(xué)背后潛在的育人功能的挖掘，其造成的后果是把學(xué)生變成知識(shí)的容器、解題的機(jī)器。進(jìn)入新時(shí)代，以習(xí)近平同志為核心的黨中央把教育提升到“國(guó)之大計(jì)、黨之大計(jì)”的戰(zhàn)略高度。在建設(shè)高質(zhì)量教育體系的目標(biāo)指引下，全面育人的路徑越來(lái)越清晰。課標(biāo)也明確指出，數(shù)學(xué)教師需要從“學(xué)科知識(shí)本位”走向“學(xué)科思想本位”，轉(zhuǎn)向“育人為本”，“建構(gòu)起一種唯有在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中才有可能經(jīng)歷、體驗(yàn)和形成的思維方式，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生生命成長(zhǎng)的雙向轉(zhuǎn)化和雙向建構(gòu)”。數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能主要由工具育人、認(rèn)識(shí)育人、文化育人組成。工具育人包括數(shù)學(xué)知識(shí)育人、數(shù)學(xué)技能育人、數(shù)學(xué)實(shí)踐育人，是指將數(shù)學(xué)作為一種工具，以知識(shí)為載體，不斷提升學(xué)生的技能，根據(jù)生產(chǎn)生活的需要運(yùn)用到實(shí)踐中；認(rèn)識(shí)育人包括數(shù)學(xué)思想育人和數(shù)學(xué)方法育人，是指將數(shù)學(xué)作為思維的載體，表現(xiàn)為對(duì)理論知識(shí)的強(qiáng)調(diào)，并注重思維方法的運(yùn)用，強(qiáng)調(diào)學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展；文化育人包括數(shù)學(xué)道德育人和數(shù)學(xué)審美育人，就是把數(shù)學(xué)當(dāng)作一種文化，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)真、善、美的追求，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的文化力量。［10］

例如，《等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式》一課的教學(xué)目標(biāo)往往是這樣描述的：（1） 在“高斯求和”的故事情境中，經(jīng)歷分類(lèi)討論、從特殊到一般的思維過(guò)程，發(fā)現(xiàn)“首尾配對(duì)法”與“倒序相加法”的聯(lián)系；（2） 會(huì)運(yùn)用“倒序相加法”推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用這個(gè)公式解決等差數(shù)列的求和問(wèn)題；（3） 知道等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，繼續(xù)體會(huì)數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)。這些目標(biāo)全部指向知識(shí)技能以及比較低位的“倒序相加法”。而在思想本位、全面育人的理念下，教學(xué)目標(biāo)可以設(shè)定為：從數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)出發(fā)，明確數(shù)列求和的實(shí)質(zhì)就是化簡(jiǎn)；從數(shù)與形兩個(gè)視角發(fā)掘數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用性質(zhì)對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和操作；從等差數(shù)列的“對(duì)稱(chēng)性”出發(fā)獲得“倒序相加法”的操作步驟，知道“倒序相加法”是等差數(shù)列求和的一種方法；感受數(shù)列求和中的數(shù)學(xué)文化，體會(huì)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美，在公式的推導(dǎo)中發(fā)展理性精神。［11］上述目標(biāo)中，工具育人、認(rèn)識(shí)育人、文化育人全部得到了體現(xiàn)。

（二） 組織形式：靈活機(jī)動(dòng)，因地制宜

一方面，傳統(tǒng)教學(xué)理念對(duì)教師的影響深遠(yuǎn)；另一方面，教師對(duì)創(chuàng)新教學(xué)組織形式的了解和應(yīng)用不足。同時(shí)，教師（尤其是中學(xué)教師）面臨的教學(xué)壓力較大，為了快速完成教學(xué)任務(wù)，在教學(xué)組織形式上，優(yōu)先選擇簡(jiǎn)單（容易上手）的講授式就十分自然了。結(jié)果時(shí)間一長(zhǎng)，教師開(kāi)始墨守成規(guī)，教學(xué)組織形式開(kāi)始固化。對(duì)此，教師一定要打破講授式是“萬(wàn)能公式”的思維定式，不要固守自己的預(yù)設(shè)，而要樹(shù)立“教學(xué)有法，教無(wú)定法，貴在得法”的理念，根據(jù)學(xué)科的特性、學(xué)生的情況、教學(xué)的內(nèi)容與目標(biāo)，關(guān)注課堂隨時(shí)出現(xiàn)的不確定性因素，及時(shí)調(diào)整自己的教學(xué)預(yù)想，修改原有的教學(xué)設(shè)計(jì)，靈活地調(diào)控和開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)。

例如，《簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣》一課中的抽樣調(diào)查、全面調(diào)查、總體、個(gè)體、樣本、樣本容量、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣等重要概念，在小學(xué)、初中出現(xiàn)過(guò)多次，甚至在表述方式上也是一脈相承。因此，這節(jié)課的教學(xué)沒(méi)必要把時(shí)間花在對(duì)這些基本概念的糾纏上，而可以用“估計(jì)高一學(xué)生的平均身高”這個(gè)任務(wù)來(lái)引領(lǐng)學(xué)生回顧梳理概念，在經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)活動(dòng)來(lái)解決問(wèn)題的過(guò)程中掌握簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法。

（三） 問(wèn)題設(shè)計(jì)：立足挑戰(zhàn)，促進(jìn)主動(dòng)

“誘導(dǎo)性”是課堂提問(wèn)所要遵循的一個(gè)基本原則，其目的是迅速達(dá)成教學(xué)的確定性，但是，一味地追求“誘導(dǎo)性”會(huì)削弱思考能力的形成，影響學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，從而導(dǎo)致學(xué)生“不會(huì)學(xué)”。相反，“挑戰(zhàn)性”的問(wèn)題能夠讓大腦分泌更多的多巴胺，加速大腦中“網(wǎng)狀激活系統(tǒng)”的運(yùn)行，讓學(xué)生保持高度興奮的學(xué)習(xí)狀態(tài)，讓更多的奇思妙想從學(xué)生的頭腦中涌現(xiàn)出來(lái)，從而加快解題的進(jìn)程，提升學(xué)習(xí)的深度。一般可以從三個(gè)方面發(fā)起“挑戰(zhàn)”：一是挑戰(zhàn)學(xué)生已有的認(rèn)知，即提供與已有經(jīng)驗(yàn)相矛盾的內(nèi)容，引起認(rèn)知沖突，打破原有的認(rèn)知平衡，促使其向新平衡狀態(tài)發(fā)展；二是挑戰(zhàn)傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式，擯棄以聽(tīng)講、記憶、模仿、練習(xí)為主的學(xué)習(xí)方式，提倡在問(wèn)題解決中綜合運(yùn)用獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流、閱讀自學(xué)等多種學(xué)習(xí)方式，促使學(xué)生的學(xué)習(xí)由“被動(dòng)”變?yōu)椤爸鲃?dòng)”；三是挑戰(zhàn)思維廣度與深度，即站在學(xué)習(xí)的疑難點(diǎn)、認(rèn)知的邊緣處設(shè)計(jì)問(wèn)題，通過(guò)加強(qiáng)對(duì)新知與已有心理圖式、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整合，實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題以及發(fā)展高階思維能力的目標(biāo)。［12］

例如，對(duì)于上文提到的《導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義》一課，可以圍繞“切線(xiàn)的再認(rèn)識(shí)”這個(gè)核心任務(wù)，在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體把握的基礎(chǔ)上，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，以科學(xué)性和梯度性為原則，將孤立、分散的小問(wèn)題整合成具有邏輯關(guān)聯(lián)的挑戰(zhàn)性（綜合性、開(kāi)放性）問(wèn)題鏈，促使學(xué)生進(jìn)行深度思考和交流，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)與聯(lián)系。具體問(wèn)題設(shè)計(jì)如下：

問(wèn)題1：

當(dāng)Δx→0時(shí)，ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx

的幾何意義是什么？請(qǐng)用你的方式進(jìn)行說(shuō)明。（可以從數(shù)與形兩個(gè)角度說(shuō)明，可以借助信息技術(shù)）

問(wèn)題2：

請(qǐng)說(shuō)明割線(xiàn)與切線(xiàn)之間的聯(lián)系？

問(wèn)題3：

與函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)是切線(xiàn)嗎？反過(guò)來(lái)對(duì)不對(duì)？

問(wèn)題4：

能否給切線(xiàn)重新下個(gè)定義？

這四個(gè)問(wèn)題層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生自己明確割線(xiàn)與切線(xiàn)的關(guān)系（問(wèn)題2），進(jìn)而給出切線(xiàn)的極限定義（問(wèn)題4）。作為鋪墊的問(wèn)題1與問(wèn)題3都具有一定挑戰(zhàn)性（綜合性、開(kāi)放性），促使學(xué)生打破原有的認(rèn)知平衡，主動(dòng)探索未知領(lǐng)域。

教學(xué)從來(lái)就是一個(gè)確定性與不確定性并存且交織的世界。如果只關(guān)注確定性的追求，則既可能錯(cuò)過(guò)某些不確定性帶來(lái)的巨大機(jī)會(huì)，又可能遭到某些不確定性帶來(lái)的巨大打擊。教學(xué)要從確定性思維轉(zhuǎn)向不確定性思維，并非拋棄對(duì)確定性的追尋，而是事先做好對(duì)不可承受的不確定性（風(fēng)險(xiǎn)）的應(yīng)對(duì)準(zhǔn)備。因此，教師應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到教學(xué)確定性和不確定性的辯證關(guān)系，并在教學(xué)過(guò)程中掌握好二者的平衡關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

［1］［5］ 約翰·杜威.確定性的尋求：關(guān)于知行關(guān)系的研究［M］.傅統(tǒng)先，譯.上海：上海人民出版社，2005：18，55-57.

［2］ 李政林.教學(xué)想象：不確定性視閾下創(chuàng)造性人才的培養(yǎng)［J］.中國(guó)教育學(xué)刊，2023（3）：28-32.

［3］ 蒂姆·詹姆斯.量子和粒子物理學(xué)何以解釋一切［M］.左安浦，譯.杭州：浙江教育出版社，2021：57.

［4］ 格特·比斯塔.教育的美麗風(fēng)險(xiǎn)［M］.趙康，譯.北京：北京師范大學(xué)出版社，2018：113.

［6］ 徐繼存.不確定世界的教學(xué)及其應(yīng)對(duì)［J］.教育研究，2022（12）：57-64.

［7］ 齊格蒙特·鮑曼.現(xiàn)代性與矛盾性［M］.邵迎生，譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，2003：68.

［8］ 亨利·N.波拉克.不確定的科學(xué)與不確定的世界［M］.李萍萍，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2005：112.

［9］ 馮躍忠．“不確定”的課堂才有“反脆弱性”［N］．教師報(bào)，2021-11-28（4）.

［10］ 王斌斌.學(xué)科育人視域下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究［D］.太原：山西師范大學(xué)，2021：12-13.

［11］ 呂增鋒.從知識(shí)點(diǎn)教學(xué)到數(shù)學(xué)大概念教學(xué)的轉(zhuǎn)型——以“數(shù)列的遞推公式”為例［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2022（6）：14-17.

［12］ 劉鐵智.指向“挑戰(zhàn)性”的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)［J］.中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2023（5）：63-66.

（蔣吉林，浙江省龍泉中學(xué)。呂增鋒，浙江省象山縣教育局教科研中心，正高級(jí)教師。）