摘 要：軸對稱是現實生活中廣泛存在的一種現象，是密切聯系數學與現實生活的重要內容.本文基于軸對稱的概念，從構造軸對稱圖形開始，引出研究對象——軸對稱的性質，通過觀察、操作、猜想、證明等一系列的數學活動，探索、發(fā)現和概括軸對稱的性質，并利用其解決相關問題，為接下來研究線段、角、等腰三角形等軸對稱圖形的性質打下基礎.

關鍵詞：開放；引導；軸對稱性質

軸對稱作為現實生活現象的一種數學抽象，其性質反映了成軸對稱的兩個圖形之間的關系和特征，是研究線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓等重要軸對稱圖形性質的基礎，也是設計軸對稱圖案、用坐標表示軸對稱等的知識基礎.本節(jié)課對“軸對稱的性質”進行探索，通過對軸對稱圖形的分析，培養(yǎng)學生實驗、猜想、說理的能力，幫助學生掌握觀察、思考、歸納的數學學習方法，進一步發(fā)展學生的幾何空間觀念.

1 教學過程.

1.1 復習回顧，引入新知

問題1 什么叫兩個圖形成軸對稱？你想到了哪些與之相關的概念？

追問1 “兩個圖形成軸對稱”與“軸對稱圖形”有什么區(qū)別與聯系？

追問2 “兩個圖形成軸對稱”與“兩個圖形全等”有什么關系？

師生活動：教師提問，學生回答，注意學生語言的準確性.

【設計意圖】通過復習前一節(jié)課內容，從數學內部自然引入新知，有助于學生建立知識之間的聯系，了解研究幾何圖形的基本思路主要關注“形狀、大小和位置”.在這里，要關注學生是否認識到成軸對稱指的是兩個圖形既有形狀和大小關系，還有著特殊的位置關系，而全等圖形不要求其具有位置關系.

問題2 已知線段AB和直線l，請在圖1中畫出線段AB關于直線l的對稱線段.

師生活動：想要解決這個問題，在定義的基礎上，還需要知道成軸對稱的兩個圖形有什么數學特征.根據以往研究平行線、全等三角形的經驗，引出本節(jié)課的研究對象——軸對稱的性質.

【設計意圖】這個問題比較開放，對學生來說有一定的挑戰(zhàn).需要學生回憶研究幾何圖形的基本思路，即定義、性質、判定和應用.從這個問題可以引出研究性質的必要性，也有助于形成研究方法的前后一致、邏輯連貫，引發(fā)學生的探究欲.

1.2 動手操作，探究性質

問題3 兩個圖形成軸對稱，有哪些性質呢？

師生活動：兩個圖形成軸對稱，它們能夠完全重合，因此全等.

【設計意圖】所有的定義都具有性質和判定雙重功能，在這里希望學生能形成“定義首先是性質”的意識.

追問1 還會有哪些性質呢？應該如何思考？

師生活動：教師帶著學生回顧之前研究圖形的經驗，遷移到今天的問題中.在第一章研究全等三角形的性質時，研究了三角形的構成元素，即邊和角的性質；在研究平行線時，引出了第三條截線，從而由位置關系得到了數量關系.

追問2 我們應該關注誰的性質？兩個圖形成軸對稱，有哪些要素？

師生活動：教師引導學生將問題聚焦到兩個圖形和一條直線，再將問題簡單化，先考慮最簡單的圖形——兩個點.

追問3 怎么保證我們畫的兩個點正好是關于直線對稱的呢？

師生活動：教師提出疑惑后，由學生提出如何構造，如果沒有學生想到，可以由教師給出.先將這張紙對折，則折痕就是對稱軸，對稱點怎么來呢？可以用針扎一個孔，再把紙展開，就得到兩個對稱點.

追問4 如圖2所示，觀察點A、 A′和直線l，它們有什么關系？

師生活動：教師提出問題后，學生大膽猜想.由之前學的點與直線的位置關系，有學生可能會想到兩個點到直線l的距離是相等的.如何描述它們正好均勻地分布在直線l兩側呢？受平行線的啟發(fā)，我們可以連接AA′，與直線l相交于點O，線段AA′與直線l有什么關系呢？學生提出猜想，從數量關系上看，AO=A′O；從位置關系上看，AA′⊥l.

追問5 你能說明你的猜想是正確的嗎？

師生活動：學生把紙重新折疊，就可以發(fā)現點A與點A′重合，AO與A′O重合，于是AO=A′O.取直線上一點M，發(fā)現∠AOM=∠A′OM，且∠AOA′=180°.于是∠AOM=∠A′OM=90°，進而AA′⊥l.教師順利提出線段垂直平分線的概念，指出“垂直”指的是位置關系，“平分”指的是數量關系，并要求學生分別用圖形語言和符號語言進行表示.

【設計意圖】在這個環(huán)節(jié)中，教師通過層層遞進的設問，不斷引導學生逐漸聚焦問題，既滲透了從簡單到復雜的研究思路，又將新問題與已有的研究經驗聯系起來，形成知識的內在聯系和網絡.學生從生活中感知、在操作中研究、在合作中感悟，利用“扎一扎、量一量、看一看、猜一猜、證一證”等實踐操作，逐步體驗軸對稱圖形、兩個圖形成軸對稱的基本特征.

追問6 這個結論對所有的對稱點都成立嗎？我們不妨利用扎針的方法，再尋找一對對稱點B與點B′，連接BB′、AB、A′B′（如圖3），你又有什么發(fā)現？

師生活動：教師提出想法后，學生操作，發(fā)現BB′與AA′有相同的結論，先用符號語言表示，再總結為文字語言，即線段BB′被直線l垂直平分，并且還發(fā)現了AB=A′B′，AA′∥BB′.

追問7 你能解釋你的新發(fā)現嗎？

師生活動：教師給出問題，學生思考、交流.由全等可得，AB=A′B′.由兩次垂直得同位角相等，于是AA′∥BB′.

追問8 如圖4所示，再構造第三對對稱點，你發(fā)現了什么？

師生活動：類似地，又有線段CC′被直線l垂直平分，還能得到兩個成軸對稱的三角形.有學生其實不理解第三對點出現的必要性，認為只是簡單的重復.其實不然，這種“點—線—面”的研究過程，可以讓學生逐步體會到圖形從簡單到復雜的過程.另外，通過多次觀察、思考，尤其是說理，可以加強學生從符號語言過渡到文字語言的表達，從而順利地概括出軸對稱的性質.

追問9 請你用文字語言歸納成軸對稱的兩個圖形有什么性質？

師生活動：學生總結的語言可能一開始不夠簡練或準確，教師要加以點撥和引導，直到說出“成軸對稱的兩個圖形中，對稱點的連線被對稱軸垂直平分”.

1.3 應用性質，完成作圖

習題 分別畫出下列各圖中成軸對稱的兩個圖形的對稱軸.

思考1：如圖5所示，△ABC和△DEF成軸對稱，僅用無刻度的直尺，畫出它們的對稱軸.

【設計意圖】在習題中，沒有要求作圖工具，所以學生想到的就是直接運用性質，先連接一對對應點，再畫出它的垂直平分線.思考1要求學生進一步思考，從而得到軸對稱的另一條引申性質，即成軸對稱的兩個圖形中，對稱點的連線或其延長線如果相交，交點必在對稱軸上.

追問 僅用無刻度的直尺，你能畫出例題中兩個圖形的對稱軸嗎？

思考2：如圖6所示，如果在直線l上取一點B，連接AB、A′B，你有什么發(fā)現？

【設計意圖】在這個問題中，學生能夠發(fā)現等腰三角形這個軸對稱圖形，為后面的學習埋下伏筆.

1.4 回顧總結，歸納提升

教師和學生一起回顧本節(jié)課的教學過程，教師提出以下問題.

（1）本節(jié)課我們研究了什么？

（2）兩個圖形成軸對稱的要素是什么？

（3）你學會了哪些研究問題的方法？

2 教學反思

2.1 精心設計 極簡主義

問題是數學的心臟，是探究的核心.教師可以在教學過程中，根據幾何圖形的特點，合理設置問題.學生在解決問題的過程中，自主探究，積累探究活動經驗.本節(jié)課中精心設計了3個主問題，3個問題都不可或缺，問題1既為了復習概念，也為了引導學生認識到“成軸對稱的兩個圖形”不僅全等，而且具有特殊的位置關系，兩者是特殊與一般的關系.數學里的很多圖形都遵循著先一般后特殊的研究順序，學生感受到前后一致的研究方法.問題2要求學生構造軸對稱圖形，能夠引發(fā)學生的研究興趣.有學生可能會利用定義解決問題，將圖形沿著直線l折疊.教師要予以肯定，但如果是在黑板上的圖，怎么辦呢？我們必須要找到成軸對稱的圖形具有什么性質才能找到對稱線段.問題3很開放，又分成多個子問題，通過層層追問，引導學生逐步自主探究，獲得軸對稱的性質，積累活動經驗.

2.2 開放有度 引導有路

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，在初中幾何學習中，要讓學生通過實驗、歸納、類比等方法研究幾何圖形中的數量和位置關系，從而發(fā)現圖形的性質，并通過合情推理和演繹推理等推理活動獲得數學結論.問題3足夠開放，并未給出兩個成軸對稱的圖形，也未給出如何研究性質.解決問題的過程分成三步走：第一步，要確定研究對象.類比以往研究幾何圖形的經驗，對平行線、三角形和全等三角形性質的探究，在這里可以進一步提煉為研究幾何圖形的性質就是研究基本元素之間的確定關系，所以需要先認識到兩個圖形成軸對稱的要素是對稱軸和圖形上的所有對稱點.構成圖形的最基本的元素是點，于是將問題簡化為研究一對對稱點與對稱軸之間的關系.第二步，如何研究一對對稱點與對稱軸的關系呢？很多教師會直接給出扎孔過程，然后連接AA′，問AA′與直線l的關系，實際上結果已經呼之欲出了，但為什么連接AA′和如何想到構造這個圖形卻被忽略了.用一張紙折疊，然后用針扎孔，從而構造出一對對稱點和對稱軸，這是一個創(chuàng)造性的思維，如果能由學生自己想到這個操作，這本身就說明了學生對概念的理解非常到位.接下來，學生經歷先猜想后說理，從感性到理性的過程.因此，即便教學一開始提出較開放的大問題，只要教師引導有度，學生就能在教師的引導下，循序漸進、步步為營，掌握分析問題和解決問題的方法.最后，在前面活動的經驗基礎上加以歸納總結，用準確的語言概括出軸對稱的性質，并嘗試用符號語言和圖形語言分別表示出來，增加學習數學的成就感和自信心.

3 結語

數學教學不僅是解決某個問題，更需要思考如何解決一類問題，甚至更大的一類問題.本節(jié)課基于研究平行線和三角形的經驗，進一步學習研究圖形性質的策略，從一個作圖問題引出，再通過子問題引導學生不斷思考、層層剝筍，不斷啟發(fā)學生自己提出問題，突出了學生的主體地位，有利于在分析問題的過程中培養(yǎng)學生提出問題的能力.長此以往，學生能獲得良好的參與體驗、情感體驗，在不斷感悟、理解抽象、推理、直觀作用的過程中，提高思維能力、發(fā)展幾何空間觀念.