摘 要：類比探究是指通過類比的方式探討數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，提煉解題方法.類比探究類題目作為中考試題中有一定難度的思維拓展類題型和高頻考點(diǎn)，需要學(xué)生牢牢把握結(jié)構(gòu)不變，解題方法不變，以不變應(yīng)萬變的解題策略，日常解題過程中注意發(fā)現(xiàn)知識(shí)聯(lián)系，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，全面提升數(shù)學(xué)解題素養(yǎng)．

關(guān)鍵詞：類比探究；中考試題；求解方法

類比探究強(qiáng)調(diào)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從已知到未知，通過類比推理逐步深入地解決數(shù)學(xué)問題.類比探究不僅僅是尋找解題方法，更注重在探究過程中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次理解．

類比探究類題目作為中考試題中有一定難度的思維拓展類題項(xiàng)和高頻考點(diǎn)類型，往往由一類共性條件與特殊條件組合而成，并以四邊形為背景命制的幾何綜合題形式出現(xiàn).伴隨特殊情形到一般情形，或由簡(jiǎn)單情形到復(fù)雜情形的逐步深入，題目所求以階梯型、多問題的形式給出.具體問題可能表現(xiàn)出由特殊圖形到一般圖形的典型動(dòng)態(tài)變化過程，需要學(xué)生牢牢把握結(jié)構(gòu)不變，即主要條件不變，解題方法不變，以不變應(yīng)萬變的解題策略．

1 解決類比探究問題的一般思路

類比探究在幾何綜合題中的具體應(yīng)用一般通過類比字母、類比輔助線和類比思路等方式進(jìn)行.在此過程中，考生可以有效地解決復(fù)雜的幾何綜合問題.類比字母主要指在解題過程中，通過改變幾何圖形中的字母標(biāo)記，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和不變性.例如，給定一個(gè)幾何圖形，通過改變某些關(guān)鍵點(diǎn)的標(biāo)記，可以發(fā)現(xiàn)圖形的對(duì)稱性或其他幾何性質(zhì).這種方法可以幫助考生在不同條件下找到統(tǒng)一的解題思路.類比輔助線是幾何題目中常用的一種方法.通過在圖形中添加輔助線，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)隱藏的幾何關(guān)系.這些輔助線的添加通常是基于圖形的對(duì)稱性、平行線或角度關(guān)系.通過類比之前解題過程中使用的輔助線方法，學(xué)生可以更加容易地找到解題的突破口.類比思路是指通過回憶和借鑒之前解決類似問題的思路，來解決當(dāng)前的問題.這種方法的關(guān)鍵在于找到問題的本質(zhì)，將已知的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式，再通過類比之前的解題過程來找到解決方案．

在類比探究過程中，把握變化中的不變特征至關(guān)重要.數(shù)學(xué)中的許多問題，表面上看起來是多變的，但在變化中往往隱藏著一些不變的規(guī)律或特征.通過類比探究，這些不變的特征可以被提煉出來，幫助考生迅速找到問題的核心．

類比探究作為解決幾何綜合題的重要方法，通過類比字母、類比輔助線和類比思路，可以幫助考生從不同角度觀察問題，找到隱藏的幾何關(guān)系，并通過把握變化過程中的不變特征來解決問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的深刻性和靈活性．

類比探究問題中常見不變特征可以概括為下述兩種主要結(jié)構(gòu)，即旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)和中點(diǎn)結(jié)構(gòu).下面結(jié)合對(duì)具體問題的分析談?wù)勅绾伟l(fā)現(xiàn)這兩種結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行針對(duì)性的問題解決．

2 “旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)”類比探究問題

例題 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：BC=CF+CD.

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出BC，CD，CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變．

①請(qǐng)直接寫出BC，CD，CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；

②若正方形ADEF的邊長(zhǎng)為22，對(duì)角線AE，DF相交于點(diǎn)O，連接OC，求OC的長(zhǎng)．

解析：

（1）因?yàn)椤螧AC=90°，∠ABC=45°，四邊形ADEF是正方形，所以AB=AC，AD=AF，∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，所以∠BAD=∠CAF，所以△BAD≌△CAF （SAS），所以BD=CF.因?yàn)锽C=BD+CD，所以BC=CF+CD （結(jié)合圖形建等式）.

（2）類比字母找全等，易證△BAD≌△CAF （SAS），類比條件證全等，所以BD=CF.因?yàn)锽C=BD-CD，所以BC=CF-CD （結(jié)合圖形建等式）.

（3）①類比字母找全等，易證△BAD≌△CAF（SAS），類比條件證全等，所以BD=CF.因?yàn)锽C=CD-BD，所以BC=CD-CF （結(jié)合圖形建等式）.②因?yàn)椤鰾AD≌△CAF（SAS），所以∠ABD=∠ACF=135°，所以∠DCF=90°.因?yàn)檎叫蜛DEF的邊長(zhǎng)為22，所以DF=4.又O為DF的中點(diǎn)，所以O(shè)C=12DF=OF=2．

點(diǎn)評(píng)：類比字母找全等，類比條件證全等是解決類比探究問題最為常用的方法；

結(jié)合圖形建等式，用等線段轉(zhuǎn)化是類比探究得出正確結(jié)論的最基本技能．

3 “中點(diǎn)結(jié)構(gòu)”類比探究問題

例題 已知，在正方形ABCD中，△BEF是以BF為斜邊的等腰直角三角形，取DF的中點(diǎn)G，連接EG，CG．

（1）如圖4，若△BEF的斜邊BF在BC上，猜想EG，CG之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明．

（2）將圖4中的△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖5所示，則（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

（3）將圖4中的△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖6所示，則（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

解析：

（1）因?yàn)椤鰾EF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，所以∠DEF=∠DCF=90°.因?yàn)镚為DF的中點(diǎn)，所以GE=GD=GF=GC，所以∠DEG=∠EDG，∠CDG=∠GCD.因?yàn)椤螮GC=∠DEG+∠EDG+∠CDG+∠GCD=2∠EDC=90°，所以EG=CG，EG⊥CG.

（2）由已知得EF∥CD，G為DF的中點(diǎn)，構(gòu)成平行夾中點(diǎn).如圖7所示，延長(zhǎng)EG交CD于H，易證△EGF≌△HGD，所以EG=HG，DH=FE=BE，所以CE=CH，所以△CEH是等腰直角三角形，所以EG=CG，EG⊥CG.

（3）類比輔助線，如圖8所示，延長(zhǎng)EG到H，使GH=EG，連接CE，CH，延長(zhǎng)BE，DH交于點(diǎn)M，如圖9所示，易證△EGF≌△HGD，所以DH=FE=BE，∠EFG=∠HDG，所以DH∥EF，所以∠DME=∠BEF=∠BCD=90°，所以∠EBC=∠HDC.又CB=CD，所以△CBE≌△CDH，所以CE=CH，∠BCE=∠DCH，所以∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCH=90°，所以∠ECH=90°，△CEH是等腰直角三角形，所以EG=CG，EG⊥CG．

點(diǎn)評(píng)：本例題通過延長(zhǎng)線段證明三角形全等，基于中線和高的兩線合一證明等腰三角形．

4 結(jié)語

類比探究是一種通過結(jié)合已有知識(shí)來理解新知識(shí)的有效手段，也是將不同數(shù)學(xué)知識(shí)和解題方法有機(jī)融合的重要方式.通過類比的方式，能夠?qū)⒖此篇?dú)立的數(shù)學(xué)概念和題型聯(lián)系起來，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中更容易發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而在解題時(shí)能夠靈活運(yùn)用已有的知識(shí).類比探究不僅簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題的過程，還幫助學(xué)生在類比和歸納的過程中提升自身的思維能力.通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生不僅能夠加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，還能發(fā)展獨(dú)立思考和創(chuàng)新的能力，從而全面提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).類比思想在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中扮演著不可或缺的角色，能夠有效地引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)間的網(wǎng)絡(luò)，幫助他們更好地應(yīng)對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.