【摘 要】在數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)日益多元的背景下，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思維單位即概念的理解成為教學(xué)關(guān)注的焦點(diǎn)。如何在概念教學(xué)中凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)一直是熱點(diǎn)話題，文章從內(nèi)涵、作用等角度出發(fā)，論述了合理使用正反例有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，并提供了若干使用策略。

【關(guān)鍵詞】正例；反例；概念教學(xué)；數(shù)學(xué)本質(zhì)

“核心素養(yǎng)”成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育討論的高頻詞，人們?cè)絹?lái)越關(guān)注數(shù)學(xué)教育的培養(yǎng)目標(biāo)，即通過(guò)數(shù)學(xué)教育，我們應(yīng)該培養(yǎng)什么樣的人。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，要培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。［1］無(wú)論是數(shù)學(xué)的眼光，還是數(shù)學(xué)的思維，抑或是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，概念都在其中扮演重要的角色。在概念學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)接觸到很多關(guān)于概念的例子，把這些例子按性質(zhì)和特點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)，可以歸結(jié)為正例和反例。本文將從正反例證的意義、作用和使用策略三個(gè)角度闡述其與概念教學(xué)的密切關(guān)系。

一、正反例證的內(nèi)涵

（一）正例的內(nèi)涵

許多研究者都給正例下過(guò)定義。郭建鵬等認(rèn)為正例是具備概念所有相關(guān)屬性的成員。［2］朱舒認(rèn)為正例是指概念里包括共同本質(zhì)特征的適當(dāng)例證。［3］李善良認(rèn)為正例也稱為肯定例證，主要是概念所在類(lèi)別中包括概念所有本質(zhì)屬性的成員，可以分為原型和變式兩種類(lèi)型。［4］他在綜合過(guò)往理論并結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際的基礎(chǔ)上，提出原型就是數(shù)學(xué)概念的所有正例中最中心的例子，能直觀地體現(xiàn)出概念的所有特征，具有典型性和標(biāo)準(zhǔn)性；而變式就是概念的正例在無(wú)關(guān)特征或者非本質(zhì)特征方面有變化，以此來(lái)突出概念的本質(zhì)屬性，尤其是那些隱藏的本質(zhì)屬性，因此變式具有變異性和變化性。

正例的上述定義意思都很相近，綜合以往研究，我們認(rèn)為正例是指具有概念的所有本質(zhì)屬性的例子，按照無(wú)關(guān)特征的變化與否可以分為原型和變式兩種。以梯形為例，梯形的本質(zhì)屬性有兩個(gè)：（1）四邊形；（2）只有一組對(duì)邊平行。而其余的屬性，比如是否上窄下寬等則是非本質(zhì)的、無(wú)關(guān)的屬性。在實(shí)際教學(xué)中，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生更容易識(shí)別圖1（a）的圖形是梯形，對(duì)于圖1（b）的圖形是否是梯形，判斷時(shí)間明顯延長(zhǎng)，正確率也有所下降。這是因?yàn)椋╝）是梯形里最標(biāo)準(zhǔn)、最典型的例子，即原型，而（b）雖然也是梯形，但是它在（a）的基礎(chǔ)上對(duì)無(wú)關(guān)屬性進(jìn)行了一些變化，所以較難識(shí)別。

（二）反例的內(nèi)涵

郭建鵬等認(rèn)為反例是指至少缺少概念的一個(gè)相關(guān)屬性的例子。［2］朱舒認(rèn)為反例是一種非概念性變式，是從反面論證數(shù)學(xué)概念的例子。［3］李善良在定義反例之前，先給概念的否定例證下了定義，即不是概念的肯定例證的例子都是概念的否定例證，也就是說(shuō)概念的否定例證不具有概念的本質(zhì)特征或只有部分本質(zhì)特征。如果一個(gè)概念的否定例證不具有這個(gè)概念的多數(shù)的、明顯的本質(zhì)特征，則這個(gè)否定例證稱為一般否定；如果只是不具有該概念中個(gè)別的、潛在的本質(zhì)特征且無(wú)關(guān)特征保持一致，那么這個(gè)否定例證就稱為反例。［4］黃名川認(rèn)為，數(shù)學(xué)中的反例，可以是針對(duì)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容如數(shù)學(xué)概念、定理等進(jìn)行辨析的一般意義上的反例，也可以是用來(lái)否定命題的反例。［5］對(duì)于針對(duì)命題形式的反例，王敬庚指出，數(shù)學(xué)中反例是用來(lái)指出原命題為假命題的例子［6］，郝紅賓認(rèn)為數(shù)學(xué)反例是指符合某個(gè)命題的條件，卻不符合該命題的結(jié)論的例子［7］。黃偉星從反例在數(shù)學(xué)史和教學(xué)實(shí)際中的作用出發(fā)，認(rèn)為反例是一種特例，這種特例符合某個(gè)猜想的條件但不符合它的結(jié)論。［8］

可以看出，上述研究者和一線教師對(duì)反例的定義有的是針對(duì)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有的是針對(duì)數(shù)學(xué)中的命題。綜合上述觀點(diǎn)，我們認(rèn)為概念教學(xué)中的反例是指至少缺乏概念的一個(gè)本質(zhì)屬性的例子。例如，平行四邊形雖然是四邊形，且也有一組對(duì)邊平行，但不是只有一組對(duì)邊平行，所以平行四邊形不是梯形。

二、正反例證的作用

（一）正例的作用

概念的原型具有標(biāo)準(zhǔn)性和典型性，它能夠迅速地向?qū)W生展示概念的所有本質(zhì)屬性，并在學(xué)生心中建立起相應(yīng)概念的表象。但是當(dāng)筆者讓學(xué)生識(shí)別圖1中的兩個(gè)梯形時(shí)，發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生并沒(méi)有根據(jù)梯形的定義去判斷，而是采用了相似性策略，即比較兩個(gè)圖形與梯形原型的相似程度，相似程度越大，越容易判斷它是梯形，反之相似程度越小，越容易判斷它不是梯形，這在概念學(xué)習(xí)中是十分“危險(xiǎn)”的。由此可見(jiàn)，只使用原型或者只強(qiáng)調(diào)原型會(huì)讓學(xué)生誤以為原型的所有屬性都是概念的本質(zhì)屬性，從而對(duì)概念的屬性分化不足，對(duì)概念的本質(zhì)產(chǎn)生誤解。針對(duì)這一點(diǎn)，變式是概念的正例在無(wú)關(guān)屬性方面的變化，通過(guò)與原型的對(duì)比，能夠讓學(xué)生辨析接觸到的所有屬性中哪些是概念的本質(zhì)屬性，哪些是概念的無(wú)關(guān)屬性，可以拓展學(xué)生對(duì)概念外延的認(rèn)識(shí)，豐富理解概念的視角。例如，用圖1的兩個(gè)圖形進(jìn)行對(duì)比練習(xí)后，學(xué)生能清楚地判斷一個(gè)圖形是否是梯形的關(guān)鍵在于它是不是四邊形以及是不是只有一組對(duì)邊平行。但值得注意的是，過(guò)多使用變式同樣存在危害，因?yàn)樽兪骄哂蟹菢?biāo)準(zhǔn)性，概念的本質(zhì)屬性往往不夠明顯，過(guò)多的接觸容易使學(xué)生的思維發(fā)生混亂，對(duì)概念表象的建立產(chǎn)生困難。

不難發(fā)現(xiàn)，概念的原型和變式的作用是相輔相成的，只使用其中任何一種都不利于概念的完整理解?？傊?，合理地使用概念的正例能夠?yàn)閷W(xué)生的概念理解提供支持，拓寬概念理解的視角，讓抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、形象化，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

（二）反例的作用

通過(guò)正例的學(xué)習(xí)，學(xué)生在心理上已經(jīng)能夠建立起對(duì)概念的表征，但此時(shí)的表征是單一的，因?yàn)樽兪诫m然能夠排除一部分無(wú)關(guān)屬性，但是學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)屬性的各種表現(xiàn)形式以及本質(zhì)屬性之間聯(lián)結(jié)方式的認(rèn)識(shí)還不夠清晰，反例的適時(shí)使用能夠改善這一情況。由于反例是變化概念的本質(zhì)屬性且往往在無(wú)關(guān)特征上與原型保持一致，所以能起到“精致”概念的作用，即不斷排除無(wú)關(guān)屬性，強(qiáng)化突出概念的本質(zhì)屬性。例如，圖2（b）是學(xué)生在畫(huà)三角形的高時(shí)容易出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤，說(shuō)明這部分學(xué)生對(duì)三角形的高的本質(zhì)屬性認(rèn)識(shí)不清晰。將圖2（b）與圖2（a）進(jìn)行對(duì)比、辨析，能夠突出三角形的高的最本質(zhì)屬性——從頂點(diǎn)出發(fā)和垂直于對(duì)邊，而是否在三角形內(nèi)是它的一個(gè)無(wú)關(guān)屬性。

在概念學(xué)習(xí)后期，讓學(xué)生自主舉出反例是反例的另一使用形式。學(xué)生能舉出符合題目要求的反例是深刻理解概念的重要標(biāo)志，也是教師評(píng)價(jià)學(xué)生概念理解的一個(gè)重要手段。舉出反例往往比辨析反例更加困難，因?yàn)樵跇?gòu)造反例的時(shí)候?qū)W生需要檢索已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并基于已有的知識(shí)表征形式對(duì)知識(shí)進(jìn)行組合，一個(gè)組織不完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是很難構(gòu)造出相應(yīng)的反例的。例如，讓學(xué)生判斷命題“三個(gè)合數(shù)相乘的積一定是偶數(shù)”是否正確時(shí)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中至少要有以下的組織才能做出正確判斷：（1）只有乘數(shù)都是奇數(shù)，積才是奇數(shù)。（2）合數(shù)里既有偶數(shù)也有奇數(shù)。若學(xué)生混淆合數(shù)和偶數(shù)的概念，則很難察覺(jué)這個(gè)命題的錯(cuò)誤。

值得注意的是，雖然反例在突出概念本質(zhì)屬性方面具有獨(dú)特作用，但也不是使用得越多越好，由于其復(fù)雜性，大量使用容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒且容易使教學(xué)偏離重點(diǎn)。更需要關(guān)注的是，反例在概念教學(xué)的初始階段宜少用或不用，在通過(guò)正例幫助學(xué)生建立起概念的初步表征以后使用效果最佳。

三、正反例證的使用策略

基于以上分析可以看出，合理地使用正反例有利于學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，掌握概念的外延，對(duì)于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)屬性有很大幫助。那么，如何才算是合理使用呢？筆者綜合理論和實(shí)踐研究，結(jié)合具體例子提出如下三點(diǎn)策略：

（一）正例之間的差別要大

當(dāng)選用若干個(gè)正例進(jìn)行對(duì)比時(shí)，要在保證概念的本質(zhì)屬性一致的前提下，讓無(wú)關(guān)屬性盡可能不同，這樣的對(duì)比可以幫助學(xué)生及時(shí)排除概念的無(wú)關(guān)屬性。以平行四邊形為例，圖3（a）中的圖形學(xué)生接觸得最多，因而可能會(huì)認(rèn)為平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角不是直角，鄰邊不相等，這時(shí)我們可以讓學(xué)生討論長(zhǎng)方形（包括正方形）是不是平行四邊形，通過(guò)質(zhì)疑、爭(zhēng)辯，逐步明晰平行四邊形的本質(zhì)屬性（見(jiàn)表1），理解長(zhǎng)方形、正方形都是特殊的平行四邊形，進(jìn)而拓寬對(duì)平行四邊形概念外延的認(rèn)識(shí)。

（二）正例和反例之間要相互匹配

所謂匹配，是指正反例之間要盡可能保持無(wú)關(guān)屬性的一致，只在某個(gè)本質(zhì)屬性上發(fā)生變化。變易理論為這種做法提供了很好的解釋。變易理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)源于系統(tǒng)的重復(fù)和變易，學(xué)習(xí)意味著發(fā)現(xiàn)一種認(rèn)識(shí)對(duì)象的方式。要認(rèn)識(shí)某個(gè)事物，就必須審辨出這個(gè)事物與其他事物在某個(gè)屬性上的不同之處，那么就必須在保持這個(gè)事物其他屬性不變的前提下讓這個(gè)屬性在某個(gè)維度上發(fā)生變化，這樣這個(gè)屬性就能被識(shí)別出來(lái)。識(shí)別的前提是變易，當(dāng)在同一時(shí)段內(nèi)出現(xiàn)不同的變易時(shí)，學(xué)習(xí)者能夠認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)對(duì)象的不同方面。［9］如圖2中三角形的高的兩種畫(huà)法，所畫(huà)線段都在三角形的內(nèi)部，且都與對(duì)邊垂直，唯一的差別就是是否從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)。通過(guò)對(duì)比學(xué)習(xí)，學(xué)生能感受到三角形的高的定義中“從頂點(diǎn)出發(fā)”的重要性。再比如倒數(shù)概念，分別對(duì)其本質(zhì)屬性“兩個(gè)數(shù)”“乘積是1”進(jìn)行變易，可以產(chǎn)生[27×72]=1、[13+23=1]、[712×821×92=1]等正反例，通過(guò)審辨，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)倒數(shù)本質(zhì)屬性的理解（見(jiàn)表2）。

（三）注重正反例的使用時(shí)機(jī)

一般來(lái)說(shuō)，在概念教學(xué)的初始階段，宜少用或不用反例，因?yàn)檫@個(gè)階段的重點(diǎn)是幫助學(xué)生建立概念。正例里蘊(yùn)含了適合概括的信息，所以選取的正例應(yīng)盡量典型，方便學(xué)生進(jìn)行識(shí)別和分析，分化出所有屬性，從中抽象出共同的、本質(zhì)的屬性。比如在教學(xué)平行四邊形的概念時(shí)，可以先出示一些生活中的平行四邊形，如可拉伸的衣架、拉閘門(mén)等，它們的共同屬性有：都是四邊形，兩組對(duì)角相等，兩組對(duì)邊分別平行且長(zhǎng)度相等。

在厘清本質(zhì)屬性的從屬關(guān)系的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生對(duì)這些本質(zhì)屬性進(jìn)行聯(lián)結(jié)、概括，嘗試用自己的語(yǔ)言對(duì)概念下定義，并與教科書(shū)上的定義進(jìn)行比較。在上文平行四邊形一例中，學(xué)生可能會(huì)認(rèn)為兩組對(duì)邊分別平行且對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，或兩組對(duì)邊分別平行且相等的四邊形是平行四邊形。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)四邊形只要有兩組對(duì)邊分別平行就能推出兩組對(duì)邊分別相等以及兩組對(duì)角相等，因此可以將平行四邊形定義為“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形”。

至此，學(xué)生初步建立了概念的表征。但如前所述，這時(shí)候?qū)W生習(xí)得的概念是“混亂”的，里面不僅包含概念的本質(zhì)屬性，還包括大量的無(wú)關(guān)屬性，所以教師要精心選擇一些正例（變式）和反例讓學(xué)生進(jìn)行辨析并說(shuō)理，在這樣的練習(xí)下逐步“凈化”概念，理解概念定義中的一些關(guān)鍵詞的含義。比如，教師可以讓學(xué)生辨析，說(shuō)明長(zhǎng)方形、正方形和箏形等是不是平行四邊形。

此外，還要對(duì)概念進(jìn)行“精致”，即選用綜合性例子或讓學(xué)生對(duì)相關(guān)命題構(gòu)造反例，幫助學(xué)生厘清相關(guān)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，逐步構(gòu)建完善的、結(jié)構(gòu)功能良好的概念網(wǎng)絡(luò)。這樣的深層次加工能夠幫助學(xué)生理解概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并在需要時(shí)能迅速地檢索網(wǎng)絡(luò)、提取信息。不得不提醒的是，有些概念的習(xí)得是相當(dāng)困難的，這一過(guò)程可能會(huì)持續(xù)很久。（見(jiàn)圖4）

總之，正反例證的作用體現(xiàn)在概念教學(xué)的全過(guò)程，合理地使用正反例能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，明晰數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)學(xué)教師既要積極地使用例子，也要避免濫用例子，只有讓所舉的例子符合學(xué)生的認(rèn)知心理，概念教學(xué)才能通達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)，數(shù)學(xué)課堂才會(huì)因“例”而精彩。

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（責(zé)任編輯：潘安）

【作者簡(jiǎn)介】李子豪，二級(jí)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育。