朱舒

摘? 要：“數(shù)學概念”是一種數(shù)學思維形式，它指人腦對客觀事物的空間形式和數(shù)量關系特征的反映，是數(shù)學法則、定理等的構成基礎，也是人類學習數(shù)學基礎知識、發(fā)展數(shù)學思維和想象力的基本前提。文章從正例、變式和反例的運用，探析小學生數(shù)學概念的形成。

關鍵詞：數(shù)學概念;正例;反例;變式

小學數(shù)學的數(shù)學概念，有些是從客觀事物直接抽象而成，這些源自現(xiàn)實的數(shù)學概念，很容易讓學生將它們與現(xiàn)實原型混淆。例如，數(shù)學概念“三角形”和現(xiàn)實原型“三角尺”;數(shù)學概念“射線”和現(xiàn)實原型“探照燈的光束”;數(shù)學概念“二分之一”和現(xiàn)實原型“半個物品”等。遇到這種源自客觀事物直接抽象而成的數(shù)學概念，一般使用創(chuàng)設情境的方式，從客觀事實切入，抽象出其共性內容，概括它們之間的本質特征，從而形成數(shù)學概念。小學階段的學生主要以概念形成的方式獲得數(shù)學概念。所謂的“概念形成”是指學習者根據(jù)同類客觀事物的主要特征和切身體驗的肯定例證概括，而獲得概念 [1]。因此，可在數(shù)學概念形成的不同時期，運用正例、反例和變式，促使概念形成。

[?]一、運用正例，促使概念形成

所謂“正例”，也稱“肯定例證”，是指概念里涵蓋共同本質特征的適當例子或例證。教師在數(shù)學教學中，提供典型而豐富的肯定例證，引導學生從這些肯定例證中，抽象出它們的共性特點，概括它們的本質，從而形成數(shù)學概念。概念的肯定例證能夠為概念的形成提供支持，幫助學生更好地理解概念。比如“認識角”的教學，可以從以下三個層面運用正例幫助學生引入“角”的概念形成。

（1）教材中展示給學生“角”的肯定例證為三角尺、剪刀、時鐘等日常熟悉的現(xiàn)實物品。教師引導學生仔細觀察這些物品，在觀察與交流中找出這些物品的共性特征，抽象出“角”的圖形特點，體會“角”的本質屬性。這是用肯定例證即學生日常生活所接觸的物品，提示“角”概念的一些屬性。

（2）在上一層次的基礎上，引導學生繼續(xù)觀察“角”圖形的基本特征，抽象出它們的共性特點，明確“角”的構成要素為“一個頂點和兩條邊”。這是運用典型生活物品引出“角”的概念，這些典型實物則屬于有價值的肯定例證。由此總結出“角”的三種基本圖形（直角、鈍角、銳角），又成了學生對“角”進一步研究的肯定例證，這些圖形能夠幫助學生構建數(shù)學意義上“角”的圖形表象，形成“角”的數(shù)學概念。

（3）根據(jù)大腦中已形成“角”的概念，返回到教材中所展示的肯定例證的物品，尋找其中的“角”，進一步強化“角”的基本特征，構建“角”的知識結構;再讓學生用兩根直尺搭建出“角”，指出搭建出“角”的頂點與兩條邊。不管是在教材圖片中尋找“角”，還是學生自己用直尺搭建“角”，均屬于使用豐富的肯定例證強化鞏固“角”概念的方法。上述肯定例證的使用，還涉及肯定例證的變式，比如各種大小不一的角、不同方向放置的角等。學生在肯定例證中認識“角”，其實是歸納和比較這些肯定例證的共同點，總結本質特征，從而形成“角”的概念。這些肯定例證不僅豐富了學生對“角”的認識，還體現(xiàn)出了學生對“角”概念形成的思考過程。由此可見，在數(shù)學思維發(fā)展過程中，數(shù)學概念和肯定例證是相輔相成的。若提起“角”概念，人們大腦中首先呈現(xiàn)的是它的一個或多個典型肯定例證（如三角尺、鬧鐘等），可見肯定例證在數(shù)學概念形成和保持里都發(fā)揮著舉足輕重的作用。

[?]二、運用變式，凸顯概念本質

所謂的“變式”是指變更同類事物的非本質特征，改變方法和角度去觀察事物，突顯事物的本質特點和隱蔽的要素，使學生用變式思維掌握事物的規(guī)律和本質。簡而言之，“變式”指事物的正例在與特征無關方面的變化。變式的運用，能使學生的思維得到發(fā)展，從而了解事物的本質和非本質屬性，比較出概念的本質特征，舍掉非本質特征。學生從不同的角度和不一樣的方法研究數(shù)學概念，能夠幫助他們全面認識并完善數(shù)學概念。

比如“認識平行與垂直”的教學，除了使用例證協(xié)助學生形成數(shù)學概念，還要適當?shù)丶佑米兪?，完善學生對垂直和平行的概念的理解。如下圖：

一般情況下，圖①是最典型的認識和形成“平行”概念的樣例，在這部分內容的教學中，若教師一直慣性使用圖①這個最典型的樣例，很容易導致學生誤解為，只有圖①這種水平方向的直線關系互相平行，而類比圖②、圖③、圖④中的直線關系不是互相平行的。同樣，圖⑤是最典型的認識“垂直”概念的樣例，圖⑥是改變圖⑤垂直方向的變式，圖⑦和圖⑧是其他不同角度的垂直變式。很明顯，與圖①和圖⑤類似的標準形式，對“平行”和“垂直”概念形成，有明顯的幫助作用。但是，慣性刺激在不斷強化概念本質特征的同時，也容易限制學生對概念外延的思維，從而強化概念非本質特征。因此，在學生數(shù)學概念形成過程中，要加以非標準變式，從概念非本質特征的變換中，更加凸顯概念的本質特征。學生的數(shù)學概念一旦形成，就能通過概念的內涵，確定具體的事物是不是在概念外延范圍內。因此，協(xié)助學生運用“變式”形成數(shù)學概念，是把數(shù)學概念的外延和其所涵蓋的對象分別作為變異空間和變式，通過不同變式的共同特征凸顯概念的本質屬性。

[?]三、運用反例，完善概念認識

所謂的“反例”是從反面論證數(shù)學概念的例子。數(shù)學概念的反例對深化和完善概念的認識有重要作用，它是非概念性變式，它的使用可以讓學生更準確地理解數(shù)學概念，排除一些無關特征的干擾，構建數(shù)學概念間的聯(lián)系，有效地防止學生概念理解過程中模糊不清的情況。

比如“認識圓”的學習，“圓”概念形成過程中，不少學生容易把球體和圓混為一談。根據(jù)這種情況，教師在課前可以準備一個乒乓球，跟學生強調這個乒乓球是立體的“球體”，而不是平面圖形的“圓”。同時用美工刀截取乒乓球的任意面，讓學生體會乒乓球的橫截面是我們所學習的平面圖形的“圓”。這個乒乓球就是教師引導學生認識圓的“反例”，讓學生從反面增強對圓形平面圖的認識。而乒乓球的切割，其橫截面加強了反例與概念之間的聯(lián)系。

再比如“因數(shù)與倍數(shù)”的學習，質數(shù)（素數(shù)）和合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)這兩組概念，學生常出現(xiàn)概念模糊和混淆的情況。其中，學生思維最不清晰，容易出現(xiàn)錯誤認識的內容有：所有質數(shù)全是奇數(shù)，所有奇數(shù)全是質數(shù)，所有偶數(shù)全是合數(shù)，所有合數(shù)全是偶數(shù)，等等。在這些容易出現(xiàn)模糊不清的概念形成期，運用具有說服力的典型反例，協(xié)助學生清晰、完善概念的認識。如“所有的質數(shù)全是奇數(shù)”和“所有的偶數(shù)全是合數(shù)”的模糊錯誤認識，可運用“2”這個反例，2既是偶數(shù)也是質數(shù);“所有合數(shù)全是偶數(shù)”和“所有奇數(shù)全是質數(shù)”的模糊錯誤認識，可運用9、15、21等既是奇數(shù)，又是合數(shù)的反例。但是，反例的使用必須建立在學生對概念已經(jīng)有了一定理解之后才可以，若反例運用在學生接觸數(shù)學概念的初始階段，學生尚未形成質數(shù)和合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)的概念，直接用反例進行辨析，反而容易誤導學生，干擾學生對概念的理解和形成 [2]。

數(shù)學概念形成的過程一般為：

（1）運用不同樣例，辨別并概括樣例的共同屬性;

（2）根據(jù)共同屬性的不同假設，在特定的情境里檢驗;

（3）挑選出所有情境都適合的共同本質屬性，并與大腦中原有認知結構的內容相聯(lián)系，區(qū)分新數(shù)學概念與原有的相關概念;

（4）將新構建的概念的本質屬性，運用到所有同類事物，以確定概念的外延;

（5）重新組織或擴大已有的數(shù)學認識結構;

（6）使用恰當?shù)难哉Z，表達新的概念。

由學生數(shù)學概念形成的過程容易看出，恰當?shù)貙⒖隙ɡC（正例）、變式與反例運用在數(shù)學概念形成的不同階段，能夠有效地促使學生形成數(shù)學概念，發(fā)展數(shù)學思維，從而提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]? 史蓉芬. 芻議小學數(shù)學概念教學[J]. 開心素質教育，2015（09）：61.

[2]? 華應龍. 我這樣教數(shù)學——華應龍課堂實錄[M]. 上海：華東師范大學出版社，2009.