摘要：教師應(yīng)貫徹“以生為主”的教學(xué)理念，結(jié)合教學(xué)實際設(shè)計一些符合學(xué)生認知水平的探究活動，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文中以“函數(shù)的零點”教學(xué)為例，通過探究活動引導(dǎo)學(xué)生親歷概念及定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；以生為主；探究活動

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為教育工作者們在課堂上不懈努力追求的目標(biāo).如何在日常教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？本文中以“函數(shù)的零點”這一教學(xué)內(nèi)容為例，談了一些筆者對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思考與實踐，若有不足，請指正.

1 教學(xué)片段

1.1 探究活動1：形成函數(shù)零點的概念

師：方程lg x+x－3=0該如何求解呢？

問題給出后，教師讓學(xué)生獨立思考，學(xué)生思考片刻，毫無思路.

師：既然我們現(xiàn)有的解方程經(jīng)驗無法直接應(yīng)對這個問題，那么接下來可以采取哪些措施呢？或許，我們可以轉(zhuǎn)換思路，從新的角度審視這個問題，尋求更多的信息.

生1：應(yīng)該可以判斷它是否有解.

師：不錯的想法，不過該如何去判斷呢？（教師預(yù)留時間讓學(xué)生繼續(xù)探究.）

生2：我嘗試了一下特值法，方程是有解的.

師：詳細說一說.

生2：當(dāng)x=1時，lg 1+1－3=－2；當(dāng)x=2時，lg 2+2－3lt;0；當(dāng)x=3時，lg 3+3－3=lg 3gt;0.從以上結(jié)果可以預(yù)判在區(qū)間（2，3）上有解.

師：很好，能不能用已學(xué)知識進一步說明呢？

生3：當(dāng)xgt;0時，lg x的值域為，而若lg x為負數(shù)，x－3為正數(shù)，等式也成立.我只能想到這么多，這個好像很難精準(zhǔn)說明.

師：結(jié)合已學(xué)的函數(shù)圖象、單調(diào)性、奇偶性等內(nèi)容，你能想到什么呢？（教師及時啟發(fā)，學(xué)生繼續(xù)思考.）

生4：可以利用圖象法，方程變形得lg x=3－x，在同一個坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=lg x和y=3－x的圖象，兩圖象有一個交點.設(shè)交點坐標(biāo)為（x0，y0），則y0=lg x0，y0=3－x0，即x0為方程的唯一解.

師：非常好，這樣通過變形將問題轉(zhuǎn)化為探究函數(shù)y=lg x和y=3－x圖象的交點問題，還有其他想法嗎？

生5：我采用了另一種策略，那就是將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式.令函數(shù)f（x）=lg x+x-3，研究其性質(zhì).首先，f（x）的定義域為（0，+∞），x只能取正數(shù).其次，f（x）的值域覆蓋了所有實數(shù)，即.這顯示了函數(shù)的廣泛變化范圍.我發(fā)現(xiàn)f（x）是一個單調(diào)遞增函數(shù).

x增大，f（x）的值也在持續(xù)上升，沒有反復(fù)或下降.根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性和圖象特征，我斷定這個方程有且僅有一個解.（教師隨后投影展示圖1.）

師：大家的分析真是精彩絕倫！現(xiàn)在，讓我們深入探討方程的解與函數(shù)之間的關(guān)系.有同學(xué)能為我們揭示這個奧秘嗎？

生6：方程f（x）=0的解實際上就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).換句話說，當(dāng)f（x）的值為0時，對應(yīng)的x值就是方程的解.

師：非常精彩！你準(zhǔn)確地捕捉到了關(guān)鍵點.對于函數(shù)y=f（x），我們確實把方程f（x）=0的解稱為函數(shù)y=f（x）的零點.這是一個非常重要的概念，連接了方程與函數(shù)之間的關(guān)系.現(xiàn)在，我將這個結(jié)論板書出來.（教師隨即在黑板上寫下這個結(jié)論.）

評析：教學(xué)中，教師讓學(xué)生嘗試運用原有解方程的經(jīng)驗求方程lg x+x－3=0的解，然而學(xué)生卻一無所獲，由此激發(fā)學(xué)生探索新知的熱情.教學(xué)中，教師沒有直接給出函數(shù)零點的概念，而是通過逐層的引導(dǎo)促使學(xué)生將已知與未知建立聯(lián)系，通過交流與探索形成函數(shù)零點的概念，提升了學(xué)生參與課堂的積極性，培養(yǎng)了學(xué)生抽象素養(yǎng)[1].

1.2 探究活動2：探尋零點存在的區(qū)間

師：通過剛剛的分析，我們只能判斷零點的個數(shù)，不能求出這個零點.那么這個零點的大概位置是否可以判斷呢？

生7：可以的，剛剛生2其實就解答了這個問題，他通過特殊值法驗證，可以判斷方程在區(qū)間（2，3）內(nèi)有解.

師：很好，這也就可以說零點在區(qū)間（2，3）內(nèi).剛剛是從特殊值法來驗證的，是否具有一般的規(guī)律呢？（學(xué)生深思.）

師：如果讓你判斷函數(shù)f（x）=x2－2x－1是否有零點，你會嗎？

生8：如果令f（x）=x2－2x－1=0，通過求解這個方程，可以得到它的解是1±2.我們可以直接找到這個方程的零點.

師：非常棒！但是，如果不直接求解方程，而是結(jié)合函數(shù)的圖象來分析，你能發(fā)現(xiàn)什么呢？

生8：好的，讓我先畫出這個函數(shù)的圖象（如圖2所示）.

通過觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)x=-1時，f（-1）的值大于0；當(dāng)x=0時，f（0）的值小于0；而且函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上是單調(diào)遞減的.基于這些信息，我們可以推斷在區(qū)間（-1，0）上，函數(shù)f（x）有一個零點.同樣地，當(dāng)x=2時，f（2）的值小于0；當(dāng)x=3時，f（3）的值大于0；并且函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）上是單調(diào)遞增的.由此得出在區(qū)間（2，3）內(nèi)，函數(shù)f（x）也有一個零點.所以，通過結(jié)合函數(shù)的圖象和單調(diào)性分析，可以確定這個方程有兩個零點，分別位于區(qū)間（-1，0）和（2，3）內(nèi).

師：基于生8的分析，我們能否得出其他結(jié)論？

學(xué)生總結(jié)：若在某區(qū)間（a，b）內(nèi)，函數(shù)值f（a）與f（b）異號（即f（a）f（b）lt;0），且函數(shù)f（x）在該區(qū)間上是連續(xù)且單調(diào)的，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上至少存在一個零點.

評析：教師鼓勵學(xué)生通過觀察和分析具體函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，逐步探索和發(fā)現(xiàn)零點存在的條件.這種教學(xué)方法不僅增強了學(xué)生對零點概念的理解，還鍛煉了他們從具體實例中提煉一般規(guī)律的能力.通過引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象、由個別到一般進行探究，學(xué)生不僅體驗了數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，也有效地提升了直觀想象能力和數(shù)學(xué)抽象思維能力.

1.3 探究活動3：借助辨析深入理解零點存在定理理

師：根據(jù)剛剛的發(fā)現(xiàn)，請大家判斷以下命題的真假（教師PPT給出問題）.

函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上的零點存在性與其圖象的連續(xù)性和函數(shù)值的變化有著密切關(guān)系.

（1）當(dāng)f（x）在（a，b）上連續(xù)且滿足f（a）與f（b）異號（即f（a）f（b）lt;0）時，f（x）在（a，b）上至少存在一個零點，且這個零點是唯一的.

（2）若f（x）在（a，b）上連續(xù)但f（a）與f（b）同號（即f（a）f（b）gt;0），則f（x）在（a，b）上沒有零點.

（3）由f（a）-f（b）lt;0，并不能保證f（x）在（a，b）上有零點，同樣，f（x）在（a，b）上的連續(xù)性本身也不足以確保零點的存在.

通過分析可知，判斷f（x）在（a，b）上是否有零點，需要綜合考慮函數(shù)的連續(xù)性和函數(shù)值在區(qū)間端點的符號.

評析：通過前面的探索活動，零點存在定理已經(jīng)初步形成，不過若想讓學(xué)生真正理解和掌握還需要進一步的思考辨析.在教學(xué)中，教師給出相似的命題讓學(xué)生思考辨析，以此明晰函數(shù)存在零點的必要條件，深化對零點存在定理的理解.同時，在此過程中，通過合作交流培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達能力，推動了學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力的提升[2].

2 教學(xué)反思

2.1 以發(fā)展學(xué)生為主線

公式、概念、定理等內(nèi)容具有高度的抽象性和概括性，若省略其形成和發(fā)展過程而直接呈現(xiàn)，將很難讓學(xué)生獲得深度的理解，這樣無疑也就制約了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用水平的提升[3].因此，在具體教學(xué)中，教師要嘗試創(chuàng)設(shè)一些探究性活動，[JP+1]讓學(xué)生去體驗知識的形成過程，以此讓學(xué)生全面、深刻地理解知識，提高數(shù)學(xué)探究能力.本課教學(xué)中，教師尊重學(xué)生，以學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”為出發(fā)點，圍繞學(xué)生已有知識和經(jīng)驗設(shè)計探究活動，極大程度激發(fā)了學(xué)生參與課堂的積極性和主動性.

2.2 以提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目標(biāo)

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生獲得知識，更要讓學(xué)生獲得能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).在實際教學(xué)中，教師要提供機會讓學(xué)生去探索、去抽象、去感悟，從而通過親身經(jīng)歷將知識內(nèi)化為能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，在實際教學(xué)中，教師要摒棄簡單的“照本宣科”，善于結(jié)合教學(xué)實際創(chuàng)設(shè)探究活動，讓學(xué)生在參與活動的過程中積極思考、積極實踐、積極交流，以此提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1]（索鵬敏.芻議高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育價值及教學(xué)滲透策略[J].考試周刊，2019（30）：99.

[2]張希芬.核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動開展策略探究[J].考試周刊，2019（87）：97-98.

[3]姚高同.探究性教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2018（11）：19.