荊熙哲

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解，提煉出能打通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)、發(fā)揮核心作用的數(shù)學(xué)概念。本文對(duì)蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“三角形、平行四邊形和梯形”單元重新編排，以“認(rèn)識(shí)底和高”一課為例，從大單元的視角促進(jìn)兒童對(duì)“高”這一數(shù)學(xué)概念的整體意義理解，使其形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。

【關(guān)鍵詞】整體意義 概念教學(xué) 結(jié)構(gòu)化認(rèn)知

數(shù)學(xué)大單元教學(xué)的目的就是促進(jìn)兒童對(duì)數(shù)學(xué)概念的整體意義理解。數(shù)學(xué)教學(xué)是對(duì)教材分段式實(shí)施的解讀與思考，是對(duì)單元內(nèi)容整體性設(shè)計(jì)的探索與研究，是促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化認(rèn)知的方式與策略，內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，就是突破原有零散的知識(shí)點(diǎn)，形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，建立相關(guān)聯(lián)的知識(shí)體系?！叭切?、平行四邊形和梯形”單元是蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)中的內(nèi)容，是小學(xué)階段“圖形與幾何”中十分重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一。教材以“三角形的特征、底和高；三角形的三邊關(guān)系、內(nèi)角和、分類；平行四邊形的特征、底和高；梯形的特征及底和高”的順序進(jìn)行了編排。

從編排上不難發(fā)現(xiàn)，蘇教版的教材按照?qǐng)D形的類型分別安排教學(xué)，雖然在教學(xué)平行四邊形和梯形時(shí)，會(huì)以三角形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)進(jìn)行探究，但在目前教學(xué)時(shí)間較為分散的情況下，學(xué)生很難理解知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，難以深入理解本質(zhì)，特別是幾何圖形中比較抽象的“底和高”。從學(xué)生的角度來看，如果把對(duì)認(rèn)識(shí)三角形、平行四邊形和梯形整合在一節(jié)大課中進(jìn)行探究，將認(rèn)識(shí)底和高整合成一節(jié)課，就能更好地把握學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。這樣的課堂具有較強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性，對(duì)幫助學(xué)生全面深入理解圖形的特征、“高”的本質(zhì)具有很高的價(jià)值。

本文以“認(rèn)識(shí)底和高”為例，從單元統(tǒng)整的角度思考，分析教材、重組教學(xué)、強(qiáng)化結(jié)構(gòu)。在教學(xué)“認(rèn)識(shí)底和高”一課前，學(xué)生前測(cè)的數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生在二年級(jí)時(shí)對(duì)平行四邊形、梯形、三角形有了直觀的了解，認(rèn)識(shí)它們的特征。但是在“高”的理解上，大多數(shù)學(xué)生把生活中的高和數(shù)學(xué)中的“高”混為一談，概念較為模糊，部分學(xué)生能在大腦中搜索到有關(guān)“垂線段”的知識(shí)來解釋，但是沒有人提到從哪里到哪里的垂直線段。

在教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)中，以梯形的高為起點(diǎn)，在貼近生活的同時(shí)，也更具有挑戰(zhàn)性，再把研究的方法和思路遷移到平行四邊形和三角形中，最后整體比較三角形、平行四邊形和梯形的高，聯(lián)想已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，把抽象的“高”和四年級(jí)上冊(cè)的“點(diǎn)到直線的距離”聯(lián)系在一起，通過比一比、聯(lián)一聯(lián)，深入理解“高”的本質(zhì)。通過單元思維下的設(shè)計(jì)，“高”不再是模糊的，學(xué)生形成對(duì)“高”的整體性意義理解。通過這種學(xué)習(xí)方式，打破學(xué)生對(duì)原本模糊、抽象的“高”的認(rèn)知，學(xué)生重新建立對(duì)“高”更全面、更深入的認(rèn)識(shí)，使學(xué)科知識(shí)更具系統(tǒng)性、教學(xué)更具結(jié)構(gòu)性，學(xué)生的學(xué)習(xí)可以更有效且富有挑戰(zhàn)性。下面截取本節(jié)課的部分教學(xué)片段，談幾點(diǎn)思考。

片段一：關(guān)聯(lián)生活，在原點(diǎn)到原型轉(zhuǎn)換中“識(shí)高”

在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)概念的理解都是借助于已有的生活，生活中的經(jīng)驗(yàn)是零星、熟悉的，也是可以隨機(jī)整合的。在這節(jié)課中，從學(xué)生生活中熟悉的橋洞出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題交流思考，既憑借經(jīng)驗(yàn)卻又超越已有經(jīng)驗(yàn)。

1.在生活的“高”中把握原點(diǎn)

師：走進(jìn)生活的世界，我們先來看一段視頻。

教師播放視頻。

師：從視頻中你們看到了什么？大卡車為什么會(huì)撞上橋洞呢？

生1：小汽車經(jīng)過了橋洞，但是大卡車撞上了。

生2：大卡車太高了，過不了橋洞。

生3：卡車的高已經(jīng)超過橋洞的高了。

師（追問）：你們知道“限高”是什么意思嗎？

生1：橋洞的最大高度。

生2：能經(jīng)過的汽車要比這個(gè)高度低。

生3：限制高度（字面意思）。

2.在對(duì)比的“高”中尋找原型

師：橋洞上面的“限高4.5m”指的是從哪里到哪里的距離？

學(xué)生指一指。

師（追問）：如果把橋洞看作一個(gè)梯形，想一想，“限高”是梯形中哪條線段的長(zhǎng)度？

教師出示四種畫法（見圖1）。

師：哪條用三角尺畫出來的虛線可以表示剛才我們所說“限高”所在的線段？（①和④）它們有什么相同的地方？

生1：都是垂直的，是一條垂直線段。

生2：都在上底和下底之間。

生3：長(zhǎng)度都是相等的。

師（追問）：你是怎樣想的？（兩條平行線之間的距離處處相等）

3.在表象的“高”中初步成型

師：其實(shí)，用三角尺這條直角邊畫出來的虛線就是梯形的高，而與另外一條直角邊重合的這條邊就是梯形的底，這就是今天要學(xué)習(xí)的梯形的底和高。你們發(fā)現(xiàn)了嗎？老師介紹了高后就介紹了底，所以底和高是對(duì)應(yīng)出現(xiàn)的，而且我們剛才也說到，高應(yīng)該是一條什么線段？

生：垂線段。

師：所以高是垂直于底的。

師：現(xiàn)在你們知道什么是梯形的高了嗎？

師：這時(shí)你還能找到梯形的高嗎？（將梯形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角）

學(xué)生指一指。

師：兩條腰之間有沒有高呢？

師：梯形的高也可以看作兩條平行線之間的垂直線段。

師：剛才我們認(rèn)識(shí)了梯形的高，你們能畫一條梯形的高嗎？

學(xué)生交流畫“高”。

師：收集了一個(gè)學(xué)生的作品。

師：讓我們一起來看一看。

小結(jié)：畫高時(shí)要注意用虛線，標(biāo)上直角符號(hào)，同時(shí)也要標(biāo)出“高”和它對(duì)應(yīng)的“底”。

【思考】學(xué)生對(duì)高的認(rèn)識(shí)是建立在生活的場(chǎng)景中，通過卡車是否可以過橋洞這一情境，喚醒兒童的已有經(jīng)驗(yàn)，但是兒童對(duì)高的界定也是比較模糊的，尚未和已經(jīng)學(xué)習(xí)的線段產(chǎn)生聯(lián)系。同時(shí)不同版本教材中對(duì)“高”的起始課大多是安排在三角形中，對(duì)比三角形，利用梯形作為起始導(dǎo)入，更易于學(xué)生理解，也更具挑戰(zhàn)性。用一段小轎車和大卡車過橋洞的對(duì)比視頻，引發(fā)學(xué)生的思考“為什么大卡車會(huì)撞上橋洞？”啟迪學(xué)生剝離生活情境的外衣，聯(lián)想生活中的“高”，從生活中對(duì)限高的理解，抽象出梯形的高，利用四幅圖讓學(xué)生選擇，在線段與線段的比較中打開學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中“高”的初認(rèn)識(shí)。學(xué)生有了一定的生活經(jīng)驗(yàn)，更容易建立“高”的模型，同時(shí)也為后續(xù)研究平行四邊形和三角形的高提供了思路和方法。

片段二：連續(xù)經(jīng)驗(yàn)，從單體到立體轉(zhuǎn)接中“建高”

學(xué)生對(duì)高的認(rèn)識(shí)需要在梯形研究中遷移平行四邊形的高，從而對(duì)概念的理解從單向度的把握走向立體的承接。這個(gè)過程連續(xù)的是探索高的經(jīng)驗(yàn)。

1.遷一遷，在變形中遷移經(jīng)驗(yàn)

師：剛才我們通過生活中的限高認(rèn)識(shí)了梯形的高，如果把梯形的上底延長(zhǎng)，變成一個(gè)平行四邊形，你們能按照研究梯形的思路來研究平行四邊形的底和高嗎？老師給你們一個(gè)友情貼士。

2.做一做，在合作中積累經(jīng)驗(yàn)

教師出示學(xué)習(xí)單。

學(xué)習(xí)單

找一找：你能找出平行四邊形的高嗎？

畫一畫：用已有經(jīng)驗(yàn)畫出平行四邊形的高，并標(biāo)出它的底。

想一想：你認(rèn)為這樣的高有幾條？

比一比：平行四邊形的高與梯形比有什么相同和不同的地方嗎？

學(xué)生四人小組圍繞學(xué)習(xí)單展開研究，把自己的發(fā)現(xiàn)記錄在學(xué)習(xí)單上，最后在小組交流中形成小組意見。

3.說一說，在分享中再生經(jīng)驗(yàn)

教師實(shí)物投影展示小組的答案，并結(jié)合學(xué)生的回答，動(dòng)態(tài)演示畫不同底上高的不同方法，展開三個(gè)層面的交流。

師：看看這兩個(gè)同學(xué)的“高的位置不同”的作品，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：雖然高的位置不同，但都是平行線之間的垂直線段，高有無數(shù)條。

師：看看這兩個(gè)同學(xué)關(guān)于“一種高”和“兩種高”的作品，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：有兩種不同長(zhǎng)度的高。

師：你知道這兩條高對(duì)應(yīng)的底分別在哪里嗎？請(qǐng)指一指。

師：還有一個(gè)同學(xué)是這樣畫的，你有什么想說的？（呈現(xiàn)錯(cuò)誤資源）

生：高應(yīng)該是點(diǎn)到對(duì)邊所畫的垂直線段，在畫的時(shí)候可以用直角比畫一下。

小結(jié)：同學(xué)們不但畫出了高，還知道平行四邊形的高有無數(shù)條，平行四邊形有兩組平行線，所以能畫出兩種不同的高。

4.比一比，在比較中優(yōu)化經(jīng)驗(yàn)

師：平行四邊形的高和梯形的高有什么相同和不同的地方呢？

生1：相同的是平行線之間垂直的線段就是梯形與平行四邊形的高，有無數(shù)條。

生2：不同的是梯形只有一組平行線，所以只有一個(gè)長(zhǎng)度的高；而平行四邊形有兩組平行線，因此有兩個(gè)不同長(zhǎng)度的高。

小結(jié)：看來梯形和平行四邊形的高都是兩條平行線之間垂直的線段，它們之間還有這樣的聯(lián)系呢！

【思考】活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累讓學(xué)生對(duì)研究方法的遷移更得心應(yīng)手。在研究了梯形的底和高后，學(xué)生不僅對(duì)高有了一定的理解，更對(duì)研究的方法、畫高的方法有了認(rèn)知。在研究平行四邊形的高時(shí)，利用學(xué)生已有的點(diǎn)動(dòng)成線的經(jīng)驗(yàn)，將平行四邊形與梯形緊密聯(lián)系在了一起，讓學(xué)生直觀地感受到，平行四邊形的高和梯形的高如出一轍，激發(fā)學(xué)生自主探究的動(dòng)力和信心。在“大任務(wù)”的驅(qū)動(dòng)下讓學(xué)生自主探究平行四邊形的底和高，并在交流中獲取知識(shí)。通過與梯形的對(duì)比，學(xué)生對(duì)“高”的認(rèn)知不斷深化，其建構(gòu)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)更加完整。在平行四邊形的探究中，學(xué)生再次感受到了學(xué)習(xí)方法和知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)自主探究三角形的高起到了非常重要的鋪墊作用。

片段三：循環(huán)系統(tǒng)，在結(jié)構(gòu)到建構(gòu)轉(zhuǎn)化中“成高”

學(xué)生不僅借助已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)初步認(rèn)識(shí)了“高”，而且在不同圖形的探究中積累經(jīng)驗(yàn)，在整體關(guān)聯(lián)中建立“高”的模型。學(xué)生站在整體化、系統(tǒng)化的高度展開結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。

（1）找一找：請(qǐng)你找出底邊上的高（見圖2）。

比一比：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察三個(gè)圖形的高（如圖3），你們有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)：都過一點(diǎn)，都有底，都垂直于底。

（2）說一說：結(jié)合這三個(gè)發(fā)現(xiàn)，你們能不能說一說什么是高？

生1：高都是過一點(diǎn)作底的垂線段。

生2：這條垂線段就是高。

（3）聯(lián)一聯(lián)：聯(lián)結(jié)已有的知識(shí)模塊內(nèi)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

師：今天我們一起認(rèn)識(shí)了底和高，你們能聯(lián)想到以前學(xué)過的類似知識(shí)嗎？

學(xué)生交流。

【思考】基于單元思維下展開的“高”的概念建立是整體、有意義的；從結(jié)構(gòu)到建構(gòu)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是源自兒童整體的關(guān)聯(lián)的經(jīng)驗(yàn)，在自主探究出三角形的高后，利用一組簡(jiǎn)單的練習(xí)，畫出底邊上的高，在鞏固知識(shí)的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步深入思考“高”的本質(zhì)。通過圖形概念屬性探索達(dá)成對(duì)底和高的一致性，發(fā)展空間觀念與幾何直觀；通過“找一找”“比一比”“說一說”，發(fā)現(xiàn)“高”其實(shí)就是過一點(diǎn)所做的底的垂線段。最能起到畫龍點(diǎn)睛的是“聯(lián)一聯(lián)”，引導(dǎo)學(xué)生在聯(lián)系已有知識(shí)的同時(shí)，通過動(dòng)畫，將三個(gè)圖形隱去，使學(xué)生直觀感受到高和原來學(xué)習(xí)的畫垂線是相同的。這一環(huán)節(jié)整體架構(gòu)了“高”的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生在比較中建立“高”的模型，并且與已有知識(shí)建立關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)了新課標(biāo)理念提倡的一致性。