毋曉迪 陳輝坤 鞠騰基

基金項目? 廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度專項課題“基于高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展之研究性學(xué)習(xí)的開展策略與實踐研究”（2021ZJY1814）.

【摘? 要】? 數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的環(huán)節(jié)，是培養(yǎng)學(xué)生過程分析能力的直接教學(xué)形式.通過“課堂提問巧設(shè)計”“問題階梯巧設(shè)置”“題干條件巧變式”及“圖形圖象巧利用”4個路徑，旨在讓學(xué)生在解題中經(jīng)歷各種分析過程，形成解決問題的意識并抽象出解決問題的方法，以期提高學(xué)生的過程分析能力，形成可持續(xù)的發(fā)展過程.

【關(guān)鍵詞】? 習(xí)題教學(xué)；過程分析；問題設(shè)置；能力提升

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2017年版2020年修訂）》明確指出：教學(xué)評價既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程［1］.進一步凸顯了“過程和方法”作為新課程目標(biāo)的一個核心領(lǐng)域，這對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的挑戰(zhàn)，對學(xué)生的思維提出了更高的要求.

數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的環(huán)節(jié)，是培養(yǎng)問題意識的萌芽階段，是教師引導(dǎo)學(xué)生將客觀知識轉(zhuǎn)化為主觀知識的一個漸進過程，也是教學(xué)效果反饋的重要渠道.高中生具備一定的抽象思維能力，他們有對感知材料（情景）進行積極思考并提出問題的意識，有對挑戰(zhàn)性問題積極參與合作交流的意識，有對相似性認知問題歸納綜合的意識.

因此，適度的數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練，不僅能幫助學(xué)生從不同側(cè)面、不同角度完善對數(shù)學(xué)概念、定理以及公式的理解，而且可以通過問題變式，加強學(xué)生合作探究，及時幫助學(xué)生建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，拓展創(chuàng)新解決問題思路，積累解決問題的方法（習(xí)題教學(xué)流程如圖1所示）.

誠然，學(xué)生解題能力的提升、解題思路的完善和解題方法的獲取須根植于整個解題過程中.因此，在數(shù)學(xué)問題解決中發(fā)展學(xué)生過程分析能力，必定脫離不了習(xí)題教學(xué)的參與.具體的教學(xué)實施可聚焦于以下4條路徑.

1? 課堂提問巧設(shè)計，誘導(dǎo)學(xué)生說過程

提問是課堂教學(xué)中最常用的一種教學(xué)手段.事實上，教師提問的過程，是促使學(xué)生調(diào)動已有知識“加工”新知識的過程，是引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)知識的過程，也是引導(dǎo)學(xué)生積極參與到學(xué)習(xí)活動中的過程［2］.若教師在具體的課堂教學(xué)中把握不好提問的“度”，容易忽視不易察覺的關(guān)鍵“題眼”，抓不牢思維頓悟點，進而失去培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力的好時機.教師需要在問題設(shè)置上下功夫，需要在發(fā)問中誘導(dǎo)學(xué)生說思維運演過程.

例1? 已知AB是半圓O的直徑，AB=2，等腰三角形△OCD的頂點C，D在半圓弧AB上運動，且∠COD=120°，點P是半圓弧AB上的動點，求PC·PD的取值范圍.

對于兩向量的數(shù)量積運算，可以從三方面思考.第一，公式運算：a·b=|a||b|cos<a，b> ；第二，坐標(biāo)運算：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+y1y2；第三，兩向量數(shù)量積的幾何意義：一個向量的模乘以另一個向量在其方向上的投影.鑒于此，教師可以設(shè)置如下問題，誘導(dǎo)學(xué)生說思維過程（見表1）.

上述問題解決的過程是采取了不同解題視角啟發(fā)學(xué)生說過程，學(xué)生在問題引導(dǎo)中會外顯出思維過程，同時也能暴露出平常不易發(fā)覺的問題，尤其是學(xué)生容易忽視圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).此時，正是教師

給學(xué)生創(chuàng)造思維生長點、發(fā)展過程分析能力關(guān)鍵點的最佳時機.

創(chuàng)設(shè)能力生長點，誘發(fā)最新發(fā)展點，發(fā)展過程分析能力的關(guān)鍵點.

2? 問題階梯巧設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生寫過程

在習(xí)題教學(xué)中，學(xué)生會在教師的提問下進行過程分析，若要完成習(xí)題的解析過程，就需要學(xué)生進行獨立的思維活動，在解決問題的過程中增強問題意識［3］.誠然，設(shè)置好習(xí)題，使學(xué)生在解決序列問題過程中達成自主構(gòu)建的目標(biāo)，遠比學(xué)生追求解題速度和數(shù)量的功利思想更有價值.鑒于此，教師需要考究好習(xí)題的難度，設(shè)置好富有階梯性和“召喚性”的問題情境，把較復(fù)雜或難度較大的問題分解成若干個緊密關(guān)聯(lián)的子問題.基于學(xué)生的認知發(fā)展和思維水平細化問題，決定問題的臺階，誘發(fā)學(xué)生深入思考，助推學(xué)生產(chǎn)生疑問，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)需要和學(xué)習(xí)期待.

另外，在寫過程中，確保問題的逐階設(shè)問既能讓學(xué)生克服（探尋達成目標(biāo)的途徑），又能讓學(xué)生可望又可及（跳一跳就能夠得著），為學(xué)生創(chuàng)造收獲的機遇，這也是教師教學(xué)的藝術(shù)性所在.

例2? 已知PC是△PAB的角平分線，點C在線段AB上，AC=3，BC=1，問題設(shè)置如表2所示.

該習(xí)題的問題設(shè)置，表2中的第一種問題設(shè)置形式是常見的直問方式，而第二種問題設(shè)置形式是將抽象問題分析過程設(shè)置成若干個簡單的解決子問題過程.在一個個鋪墊的子問題中，采取小步走的方式，逐步引導(dǎo)學(xué)生進行過程分析，在解決問題的過程中形成一個具有漸進結(jié)構(gòu)的問題系統(tǒng).

從第二種問題設(shè)置形式的設(shè)問1中求線段PA∶PB的值作為解決問題的突破口，也是解決本題目的關(guān)鍵導(dǎo)向點，旨在考查學(xué)生對角平分線定理的理解、掌握及應(yīng)用水平.學(xué)生只有得到PA∶PB的值為3∶1，才能采取建立平面直角坐標(biāo)系的方法，或者根據(jù)限制條件列式求出點P的運動軌跡是一個圓.所以，設(shè)問2是本題目的核心突破點，也是學(xué)生在“寫過程”時的一個難點.若設(shè)問2的問題能順利解決，那么，解決設(shè)問3和4這兩個問題便可順?biāo)浦?

顯然，分析并解決例2的過程并不是所有學(xué)生都能既懂又會，盡管教師采取問題多階梯的設(shè)置方式，但是解決問題過程的方向是受教師牽制的，容易忽視學(xué)生的另解視角.通過窺探試題情境，若要求△PAB面積的最大值，還可以把問題設(shè)置成表3中的形式3.

通過上述的多角度解題分析，無論以何種問題設(shè)置情境，還是多臺階化解構(gòu)問題，都充分展現(xiàn)出習(xí)題教學(xué)需要重過程、重探究及重能力.習(xí)題教學(xué)時，題量不在多，不在難，貴在精.提高試題的利用率，是教師“備題”時首先考慮的問題.所以，充分挖掘試題內(nèi)涵，讓每一道精選的習(xí)題都充分發(fā)揮自身的教學(xué)價值，促進學(xué)生鞏固所學(xué)的知識，進而達成知識傳授、技能轉(zhuǎn)化、培養(yǎng)過程分析能力的目的.3? 題干條件巧變式，多種情境比過程

精選的習(xí)題可以作為破解概念難點的重要載體，也可以作為重要結(jié)論的感性素材，更是作為知識鞏固提升的重要階梯.通過數(shù)學(xué)習(xí)題的練習(xí)與講評，學(xué)生既能從中體悟到題目中所蘊含的思想與方法，又能從中認識到自身知識體系的欠缺.若習(xí)題僅僅止步于練習(xí)與講評，則會容易掐斷學(xué)生繼續(xù)思考和應(yīng)用遷移的進程，形成思維僵化，高耗低效的態(tài)勢.當(dāng)學(xué)生再次遇到新的數(shù)學(xué)問題時，受思維定勢的影響，就會生搬硬套解題模式，這正是陷入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“懂而不會”怪圈的根本原因.

因此，在習(xí)題練習(xí)和講評后，可以借助習(xí)題變式這一載體，從不同角度和方式變換習(xí)題非本質(zhì)的屬性，在對比變式前后的問題情境中，構(gòu)建一個能讓學(xué)生親身體驗分析過程的實踐平臺，進而揭示習(xí)題的本質(zhì)屬性.下面以新人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一教材第116頁習(xí)題14為例，進行習(xí)題變式探究教學(xué).

例3? 已知橢圓x24+y29=1，一組平行直線的斜率是32，當(dāng)它們與橢圓相交時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一條直線上.

解構(gòu)例3的“題眼”，所求問題可理解為：橢圓的平行弦中點在同一條直線上，其軌跡是一條線段，可用兩種思路定量分析.

思路1：設(shè)直線y=32x+m被橢圓截得線段的中點為M（x，y），把y=32x+m代入橢圓方程x24+y29=1，得9x2+6mx+2m2－18=0，若x1、x2是方程9x2+6mx+2m2－18=0的兩個實數(shù)根，則x=x1+x22=－m3，聯(lián)立y=32x+m和x=－m3，消去m，得3x+2y=0.因此，當(dāng)這組直線與橢圓有兩個公共點時，這些直線被橢圓截得的線段的中點均在直線3x+2y=0上.

思路2：設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），則

x124+y129=1，x224+y229=1，作差整理，得y1－y2x1－x2=－94×x1+x2y1+y2=－94×xy=32，即3x+2y=0.

窺探上述解析過程，思路1采取方程思想，通過消參得出點M（x，y）的運動軌跡方程；思路2采取點差法，直接得出點M（x，y）的運動軌跡方程.在結(jié)束本試題講評后，可以對例3中平行弦與橢圓的交點改變?yōu)槿我鈨牲c，進行如下變式與拓展（如表4所示）.

變式1和2讓學(xué)生在對比過程中，突破“橢圓曲線上兩點對稱問題處理”和“橢圓曲線上兩點中垂線問題處理”兩個知識疑點.由此可見，選好富有橫縱聯(lián)系、具有延展性的“原題”，才能“變式”出富有啟發(fā)性和探索性的題組，幫助學(xué)生在不同情境中多方向、多層次思考問題，擺脫一味被動灌輸，打破思維定勢桎梏，跳出固有解題模式，避免反復(fù)機械訓(xùn)練.這樣的變式訓(xùn)練有助于學(xué)生深刻地理解數(shù)學(xué)概念與規(guī)律，有助于學(xué)生提出新問題或獲取同一問題的多角度解答，有助于學(xué)生建立良好的知識體系，有助于學(xué)生提高過程分析能力和知識遷移能力.4? 圖形圖象巧利用，訓(xùn)練學(xué)生畫過程圖形和圖象是鏈接數(shù)學(xué)規(guī)律與數(shù)學(xué)模型之間的一條重要樞紐帶，圖象和圖形的呈現(xiàn)或為了說明相關(guān)的數(shù)學(xué)問題情境，或為了描述相關(guān)量之間的依存關(guān)系，或為了闡明某些變化規(guī)律.會解讀、會描繪、會運用、會變換數(shù)學(xué)圖象和圖形，是學(xué)生需要習(xí)得的一項基本技能.

在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，對于一些定性分析的問題，通常采用數(shù)形結(jié)合的方法簡要分析便能得到結(jié)論.若想利用圖象求解一些定量分析的問題，特別是那些隱藏在題設(shè)中的條件或者規(guī)律，那么求索圖象和圖形的過程事實上是一個集探尋規(guī)律、尋覓方法、建構(gòu)思路于一體的綜合分析過程，也是發(fā)展學(xué)生過程分析能力的有效之舉.因此，畫出的圖形和圖象，要具有直觀反映出題設(shè)中隱匿條件的價值.例4? 是否存在每個面都是直角三角形的四面體？

對于立體幾何知識的學(xué)習(xí)，需要遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則認識并感知空間圖形.顯然，該題目考查學(xué)生對多面體結(jié)構(gòu)特征的認識，需要學(xué)生正確運用平行或垂直的判定或者性質(zhì)定理進行判斷.巧利用哪些特殊圖形能訓(xùn)練學(xué)生畫出該圖形，是解決本題的突破點，從學(xué)生熟悉的長方體（或正方體）入手，探尋線和線、線和面的垂直關(guān)系，如圖2所示.

由圖2可知，正方體AC1 中的四棱錐C1-ABC，四個面均為直角三角形.在畫圖的過程中，不僅印證了存在每個面都是直角三角形的四面體這一基本事實，而且能收獲一些解決空間幾何問題的數(shù)學(xué)模型（或規(guī)律性結(jié)論），例如平面ABC1⊥平面BCC1B1、四棱錐C1-ABC外接球的直徑為AC1、點B到平面ACC1的距離為面對角線長度的一半、點C到平面ABC1的距離也為面對角線長度的一半、∠CBC1為二面角C1-AB-C的平面角、∠ACB為二面角A-CC1-B的平面角等.

基于此，我們不難發(fā)現(xiàn)，在習(xí)題教學(xué)中，畫圖的過程實質(zhì)上是建構(gòu)解題思路的過程，是分析關(guān)鍵“題眼”的過程，是探尋圖形中邊與角關(guān)系的過程，是打開發(fā)散思維突破口的過程，是形成嚴謹分析數(shù)理邏輯的過程，是有利于學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的過程.

5? 教學(xué)啟示打破“高耗低效”，充分發(fā)揮習(xí)題教學(xué)的育人功能，是我們應(yīng)然追求的教學(xué)目的. 那么，什么樣的習(xí)題教學(xué)才是學(xué)生所需要的？如何組織習(xí)題教學(xué)，使得教學(xué)效果最佳？

多數(shù)教師可能都會認為是達成知識、能力、素養(yǎng)三大目標(biāo).但這只是一種理論目標(biāo)，是一種“設(shè)計圖”，就如建造高層大樓一樣，僅有設(shè)計圖是無法施工的，還需要精細繪制的“施工圖”.那么數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中如何精心雕琢好“施工圖”？答案是：重在過程實踐.如何把握好解題教學(xué)過程，在解題過程中培養(yǎng)和發(fā)展過程分析能力，需要注意如下3方面.

5.1? 變走馬觀花為尋根究底抽象概括與歸納是一種學(xué)生思維能力發(fā)展到一定階段之后的形成的一系列理性思維.在習(xí)題教學(xué)中，針對精選的習(xí)題，例如平面向量a、b、c滿足

|a|=1，b·c=0，a·b=1，a·c=－1，求|b+c|的最小值，教師可采取稚化追問：從向量數(shù)量積的幾何意義來看，將a·b=1，a·c=－1可以等價轉(zhuǎn)化成什么問題？求|b+c|的大小，本質(zhì)上是求哪個量的大??？引導(dǎo)學(xué)生說過程、寫過程和畫過程，簡潔思路見圖3.從而避免學(xué)生解題中跟隨老師的點撥思路走馬觀花，在明晰知識內(nèi)涵的同時，逐步形成正確分析、推理、論證、概括與歸納的學(xué)習(xí)邏輯，在解題過程中養(yǎng)成“尋根究底”的習(xí)慣.

然而“尋根究底”也需要把握3個“度”：①需創(chuàng)設(shè)問題情境，提煉教學(xué)興趣點，提升學(xué)生“參與度”；②需巧設(shè)問題臺階，創(chuàng)設(shè)能力生成點，保證問題有“梯度”；③需緊扣課堂現(xiàn)場，凝練思維頓悟點，探究問題的數(shù)量要“適度”.

5.2? 變?nèi)P接受為質(zhì)疑創(chuàng)新

通過習(xí)題教學(xué)能幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識與技能，深化學(xué)生思維能力，活化數(shù)學(xué)思想和方法.但在習(xí)題練習(xí)與講評中，讓學(xué)生親歷試題考查的知識點、解題的方法、答題的策略，如果學(xué)生不假思索地全盤接受教師的“灌輸”，那么習(xí)題教學(xué)就會缺失“對話、交流”的機會.質(zhì)疑是創(chuàng)新的根基，而創(chuàng)新是從質(zhì)疑中來.因此，教師要給習(xí)題教學(xué)中留置開放“時空”的位置，給學(xué)生創(chuàng)造“質(zhì)疑”的時機，在質(zhì)疑中得到“意外收獲”，在質(zhì)疑中達到意義建構(gòu)，進而提升創(chuàng)新能力.例如本文例2的教學(xué)，通過對題設(shè)關(guān)鍵信息的捕捉，建構(gòu)“阿氏圓”模型，繼而進行關(guān)鍵步驟推理，在質(zhì)疑與創(chuàng)新中發(fā)散思維，盡可能多角度解決待求問題，這種思維過程，可概括提煉為一類習(xí)題練習(xí)和講評的模式，具體流程可用如圖4表示.

5.3? 變“依葫蘆畫瓢”為延伸拓展

日常教學(xué)實踐中，經(jīng)常會遇到學(xué)生“懂而不會”的現(xiàn)象，在這里，“懂”可以理解為“知識的意義建構(gòu)”，“會”可以解讀為“能力的生成”，簡言之，說明學(xué)生“懂”和“會”這兩種境界是不在同一頻道上的.學(xué)生過度依賴、套用學(xué)過的題型去解新問題，是“懂而不會”的緣由之一.從某種意義來講，這種“依葫蘆畫瓢”的學(xué)習(xí)現(xiàn)象，實際上一方面是知識積累的缺失，另一方面是知識提取的缺失.如何彌補這一缺失，助推學(xué)生“由懂到會”，達到“既懂又會”的目的？對知識延伸拓展便是最佳選擇，尤其在習(xí)題教學(xué)中，可以將知識數(shù)學(xué)模型化，如上述例題1，計算兩向量的數(shù)量積，可以構(gòu)建“投影向量模型”，通過對該模型進行拓展，來解決拓展性習(xí)題.例如，已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若∠A=π4，求

AB·OC的最大值（簡解思路見圖5）.

另外，在習(xí)題教學(xué)中，有必要設(shè)置以強化相似性認識為目標(biāo)的、蘊含著思維品質(zhì)的延伸拓展性習(xí)題，轉(zhuǎn)變學(xué)生過度依賴套公式、套模板的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，發(fā)展學(xué)生學(xué)會用多種思維表征來表達內(nèi)心世界的能力，強化學(xué)生思維的深刻性、批判性和敏銳性，在問題解決的過程中逐步理順學(xué)生認知線索，實現(xiàn)從習(xí)題教學(xué)走向問題解決教學(xué).

參考文獻

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［3］? 顧日新.激活問題意識 點燃思維火花——以一道高考題的兩個教學(xué)片段為例［J］.數(shù)學(xué)通報，2018，57（12）：33-35+43.

作者簡介? 毋曉迪（1992—），男，河南許昌人，碩士，講師;研究方向為數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究和數(shù)學(xué)教師教育；主持省部級課題4項，出版專著1部，近四年來指導(dǎo)師范生參加省級國家級教學(xué)技能比賽獲得一等獎15項，發(fā)表教學(xué)和科研論文20余篇.

陳輝坤（1999—），男，廣西梧州人，碩士研究生;研究方向為數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究;參加國家級微課比賽獲一等獎2項，參加廣西全區(qū)師范生創(chuàng)課比賽獲二等獎1項，獲軟件著作權(quán)1項.

鞠騰基（2004—），男，山東安丘人，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生;興趣愛好為數(shù)學(xué)教學(xué)研究;參加全國“華文”師范生教學(xué)技能比賽獲一等獎2項；參加廣西全區(qū)師范生創(chuàng)課比賽獲二等獎1項.