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        三角的問題 方程的視角

        2023-12-19 01:41:14魯和平

        【摘? 要】? 高中三角函數(shù),由于三角公式的大量削減,現(xiàn)在學(xué)生學(xué)起來反而倍感吃力.為了改變這一現(xiàn)狀,可以跳出三角的苑囿,用方程的視角來重新審視三角問題,則會(huì)發(fā)現(xiàn)三角問題會(huì)變得簡(jiǎn)單而有趣.

        【關(guān)鍵詞】? 三角問題;方程視角;妙解

        高中三角函數(shù)兼具知識(shí)性與工具性,是非常重要的基礎(chǔ)章節(jié).由于課改的需要,有些繁瑣的三角公式已被逐出課本.現(xiàn)在學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)減輕了,但解題時(shí)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯鏈接也變得緩慢了.如果我們改變思維視角,用方程的觀點(diǎn)來看待三角函數(shù),則會(huì)豁然開朗,問題也隨之獲解.

        1? 萬能置換視角

        萬能置換最大的優(yōu)點(diǎn),就是能將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)用含同一個(gè)字母的不同代數(shù)式表達(dá).這樣就為構(gòu)造方程提供了先機(jī).例1? 已知5sinx+1=5cosx,求cosx的值.

        解析? 設(shè)tanx2=t,則sinx=2t1+t2,cosx=1-t21+t2,故原方程即為:5·2t1+t2+1=5·1-t21+t2,化簡(jiǎn)得6t2+10t-4=0,解得t=13或t=-2,故cosx=1-t21+t2=45或cosx=-35.

        2? 韋達(dá)定理視角

        根據(jù)韋達(dá)定理逆向構(gòu)造一元二次方程,是學(xué)生的拿手好戲.而正弦余弦函數(shù)的平方關(guān)系起到了關(guān)鍵性的橋梁作用.

        例2? 已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),則tanθ的值是.

        解析? 將sinθ+cosθ=15兩邊同時(shí)平方得:1+2sinθcosθ=125,即sinθcosθ=-1225<0.由韋達(dá)定理知sinθ,cosθ是一元二次方程x2-15x-1225=0的兩根,又因?yàn)棣取剩?,π),故cosθ<0<sinθ,則cosθ=-35,sinθ=45,故tanθ=sinθcosθ=-43.例3? 是否存在銳角α,β,使等式α+2β=2π3,tanα2tanβ=2-3同時(shí)成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

        解析? 由已知α+2β=2π3,得α2+β=π3,則tanα2+β=tanα2+tanβ1-tanα2tanβ=3.? ①

        將tanα2tanβ=2-3,? ②

        代入①式,得tanα2+tanβ=3-3.? ③

        由②③知tanα2,tanβ是方程x2-(3-3)x+2-3=0的兩個(gè)根,解之得x1=1,x2=2-3.因?yàn)棣?,β均為銳角,故tanα2≠1,即tanα2=2-3,tanβ=1.故β=π4,代入α+2β=2π3,得α=π6.故α=π6,β=π4.3? 對(duì)偶配對(duì)視角

        正弦、余弦函數(shù)對(duì)偶互配,可以衍生出方程組,再通過解方程組或恒等變形,就可以使問題得到圓滿解決.

        例4? 求值:cos20°cos40°cos80°.

        解析? 由誘導(dǎo)公式得

        cos20°cos40°cos80°=sin70°sin50°sin10°=sin10°sin50°sin70°.

        設(shè)x=sin10°sin50°sin70°,y=cos10°cos50°cos70°,

        則xy=18sin20°sin100°sin140°=18cos70°cos10°cos50°=18y,即xy=18y,故x=18.

        例5? 已知sinx+2cosy=2,求cosx+2siny的取值范圍.

        解析? 設(shè)cosx+2siny=t.? ①

        又sinx+2cosy=2.? ②

        由①2+②2,得(cosx+2siny)2+(sinx+2cosy)2=4+t2.

        即5+4sin(x+y)=t2+4,則t2=1+4sin(x+y)≤5,

        故cosx+2siny的取值范圍為[-5,5].

        4? 十字相乘視角

        十字相乘法是解一元二次方程的靈丹妙藥.在三角函數(shù)恒等式里,能用十字相乘法分解因式的代數(shù)式俯拾皆是.

        例6? 已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈0,π2,求sinα,tanα.

        解析? 因?yàn)閏os2α=2cos2α-1,故原方程可化為sin22α+sin2αcosα-2cos2α=0,由十字相乘法得(sin2α-cosα)(sin2α+2cosα)=0.

        由α∈0,π2知:sin2α>0,cosα>0,故sin2α+2cosα>0,

        故sin2α-cosα=0,則sinα=12,又α∈0,π2,則α=π6,所以tanα=33.

        5? 加減消元視角

        加減消元法是解決方程組問題的基礎(chǔ)方法.如果將這種思維遷移到三角函數(shù)里,就可以“柳暗花明,枯木逢春”.

        例7? 已知α,β滿足tanαtanβ=713,若sin(α+β)=23,則sin(α-β)的值為.

        解析? 設(shè)sin(α-β)=x,即sinαcosβ-cosαsinβ=x.? ①

        由sin(α+β)=23,得:sinαcosβ+cosαsinβ=23.? ②

        解方程組①②,得sinαcosβ=13+x2.? ③

        cosαsinβ=13-x2.? ④

        由③÷④得tanαtanβ=13+x213-x2=713,解得x=-15,故sin(α-β)=-15.6? 數(shù)形結(jié)合視角

        數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)非常重要的思想方法.先以數(shù)論形,再因形構(gòu)數(shù),就可以“比翼雙飛,相得益彰”.

        例8? 在△ABC中,已知AC=6,BC=8,

        cos(A-B)=34,求sin(B-C)的值[1].解析? 如圖1,在BC邊上取點(diǎn)D,使BD=AD,則∠BAD=∠B.

        cos∠DAC=cos(A-B)=34,設(shè)BD=AD=x,則DC=8-x.

        在△ADC中,由余弦定理得(8-x)2=x2+62-2·6·x·34,

        解得x=4.故BD=AD=DC=4.所以點(diǎn)A在以BC為直徑的圓上,故∠BAC=90°,又cos(A-B)=34,

        即cosC=34,所以sinB=34,則sin(B-C)=sin2B-π2=-cos2B=2sin2B-1=18.圖1

        7? 求根公式視角

        求根公式是解一元二次方程的萬能公式.如果我們能適時(shí)構(gòu)造一元二次方程,就可以水到渠成地利用求根公式求解.

        例9? 求值:cos36°.

        解析? 設(shè)α=18°,則2α=36°,3α=54°.因?yàn)?α+3α=90°,故2α=90°-3α.

        sin2α=cos3α,sin2α=cos(2α+α),2sinαcosα=4cos3α-3cosα,即2sinα=4cos2α-3.

        化簡(jiǎn)得4sin2α+2sinα-1=0,由求根公式得sinα=5-14(負(fù)根舍去).

        由二倍角公式得cos36°=cos2α=1-2sin2α=1-25-142=5+14.8? 判別式法視角

        判別式是判斷一元二次方程根的試金石.而判別式法又是一種通用而有效的解題辦法,對(duì)于三角函數(shù)問題也大有用武之地.

        例10? 在△ABC中,求證:sinA2sinB2sinC2≤18 [2].

        解析? sinA2sinB2=-12cosA+B2-cosA-B2=-12sinC2-cosA-B2,

        故sinA2sinB2sinC2=-12sinC2-cosA-B2·sinC2.

        設(shè)sinA2sinB2sinC2=-12sinC2-cosA-B2·sinC2=t.

        則sinC22-cosA-B2sinC2+2t=0.

        將上述方程視為以sinC2為未知數(shù)的一元二次方程,

        則Δ=cos2A-B2-8t≥0,即t≤18cos2A-B2≤18·1=18.

        故sinA2sinB2sinC2≤18.

        由以上八個(gè)用方程的視角解三角題的例子可以看出,方程的積極參與,使三角問題的解決途徑千姿百態(tài).方程的“觸角”已深入到三角的各個(gè)“毛孔”.關(guān)鍵在于我們是否能融會(huì)貫通,打通其“任督二脈”.在平時(shí)的教學(xué)中,教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從不同的側(cè)面看待數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性和創(chuàng)新性思維能力.

        參考文獻(xiàn)

        [1]? 林明成.沖刺雙一流? 高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義[M].成都:四川民族出版社,2023:37-38.

        [2]? 琚興廣.高中數(shù)學(xué)一題多解[M].武漢:湖北教育出版社,1995:37-39.

        作者簡(jiǎn)介? 魯和平(1964—),男,湖北省天門市人,特級(jí)教師;主要從事高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧研究;發(fā)表論文80余篇.

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