朱賢良 成輝

【摘? 要】? “誤中悟”教育理念將學(xué)生學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的錯(cuò)誤看成是一種具有開發(fā)價(jià)值的教學(xué)資源，鼓勵(lì)并引導(dǎo)學(xué)生從錯(cuò)誤中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、重構(gòu)真理.“誤中悟”教育理念以培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，圍繞學(xué)習(xí)主題來創(chuàng)設(shè)適切的情境，從“誤區(qū)”與“霧區(qū)”出發(fā)，預(yù)設(shè)聚焦目標(biāo)性“大問題”的層層遞進(jìn)的子問題串，通過聯(lián)系、比較、試誤、調(diào)整、重構(gòu)等過程，使認(rèn)識(shí)從模糊、零碎、淺表逐步進(jìn)階到清晰、整體、深刻.其課堂活動(dòng)主線由“博學(xué)格物”“審問疑霧”“慎思試誤”“明辨頓悟”“篤行溫焐”“反思務(wù)本”六個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成.

【關(guān)鍵詞】? 誤中悟;導(dǎo)數(shù);幾何意義;切線

傳統(tǒng)意義上的高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課一般包括主干知識(shí)梳理、典型例題精講和變式練習(xí)鞏固等幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，其中主干知識(shí)梳理還往往得不到重視，復(fù)習(xí)課徹底淪為“題型+方法+練習(xí)”的單一模式.這樣的復(fù)習(xí)方法在學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方面存在著相當(dāng)程度的矛盾和缺陷［1］：一方面，數(shù)學(xué)課堂除了教師的講解和學(xué)生簡(jiǎn)單的操練之外，沒有充分供學(xué)生探究和反思的時(shí)間與空間；另一方面，在平常的學(xué)習(xí)過程中，不少學(xué)生雖然長(zhǎng)時(shí)間在數(shù)學(xué)題海中浮沉，但對(duì)于一些新穎情境的試題尤其是對(duì)數(shù)學(xué)能力要求較高的試題仍然是束手無策、一籌莫展.那么，一輪復(fù)習(xí)中究竟應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)教學(xué)流程、開展教學(xué)活動(dòng)，才能有效提高教學(xué)效率、培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？

從課堂教學(xué)出發(fā)，筆者所在教研團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了多年的理論學(xué)習(xí)與實(shí)踐探索，提出了“誤中悟”教育理念.“誤中悟”教育理念倡導(dǎo)懷疑和批判精神，善待錯(cuò)誤，將學(xué)生學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的形形色色的錯(cuò)誤看成是一種具有開發(fā)價(jià)值的教學(xué)資源，鼓勵(lì)并引導(dǎo)學(xué)生從錯(cuò)誤中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、重構(gòu)真理.“誤中悟”教育理念以培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，圍繞學(xué)習(xí)主題來創(chuàng)設(shè)適切的情境，從“誤區(qū)”與“霧區(qū)”出發(fā)，預(yù)設(shè)聚焦目標(biāo)性“大問題”的層層遞進(jìn)的子問題串，敏銳、及時(shí)地捕捉錯(cuò)誤.在具體的課堂教學(xué)過程中，“誤中悟”教育理念以問題引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“博學(xué)格物”“審問疑霧”“慎思試誤”“明辨頓悟”“篤行溫焐”“反思務(wù)本”六個(gè)環(huán)節(jié)，通過聯(lián)系、比較、試誤、調(diào)整、重構(gòu)等過程，使認(rèn)識(shí)從模糊、零碎、淺表逐步進(jìn)階到清晰、整體、深刻［2］.本文以“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”一輪復(fù)習(xí)第一課時(shí)為例，設(shè)計(jì)“誤中悟”教育理念下的復(fù)習(xí)教學(xué).1? 案例設(shè)計(jì)1.1? 曲線的切線的知識(shí)背景與教學(xué)要求1.1.1? 曲線的切線的知識(shí)背景［3］

初中平面幾何中對(duì)圓的切線作了這樣的定義：如果直線和圓有惟一公共點(diǎn)，則稱直線與圓相切.這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

圓是一種特殊的曲線，上述定義并不適用于一般曲線的切線.比如，圖1中，對(duì)于曲線C，直線l1雖然與曲線C有惟一的公共點(diǎn)N，但我們不能認(rèn)為它與曲線C相切；而另一條直線l2，雖然與曲線C有不只一個(gè)公共點(diǎn)，我們還是認(rèn)為它是曲線C在點(diǎn)M處的切線.因此，以上圓的切線的定義并不適用于一般的曲線.

如圖2，設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點(diǎn)，這時(shí)直線PQ稱為曲線C的割線.隨著點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，割線PQ在點(diǎn)P附近越來越逼近曲線C.當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線PQ最終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l，這條直線l稱為曲線C在點(diǎn)P處的切線.

由平面幾何知識(shí)可知，割線PQ斜率kPQ=f（x0+d）-f（x0）d.當(dāng)點(diǎn)Q無限接近點(diǎn)P時(shí)，即d趨近于0時(shí)，f′（x0）=limd→0f（x0+d）-f（x0）d的值即為曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線斜率，這也就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.所以，曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）.

通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線，適用于各種曲線.所以，這個(gè)變化過程真正反映了切線的本質(zhì)特征.切線的本質(zhì)，是在切點(diǎn)附近最接近曲線的直線.在這一點(diǎn)附近，比起用其他直線，用切線近似地代替曲線，誤差最小.函數(shù)的表達(dá)式千變?nèi)f化，但只要可導(dǎo)，就可以在一點(diǎn)附近用一次函數(shù)近似地代替，而使得誤差最小.這就是微積分中重要的思想——以直代曲，實(shí)現(xiàn)了以簡(jiǎn)單對(duì)象刻畫復(fù)雜對(duì)象的目的.1.1.2? 曲線的切線的教學(xué)要求與考查內(nèi)容

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確給出了本知識(shí)點(diǎn)的要求：通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.在近幾年高考中，“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”屬于高頻考點(diǎn)，考查的基本類型主要包括四類：第一類，直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)或過某點(diǎn)的切線方程；第二類，求解兩曲線的公切線方程；第三類，根據(jù)曲線的切線方程或切線條數(shù)求參數(shù)的取值或范圍；第四類，數(shù)形結(jié)合，借助“潛伏”的“隱切線”來求解相關(guān)問題.從題型來看，本知識(shí)點(diǎn)既頻繁在選擇、填空題中作為主角登場(chǎng)，又常在解答題中客串出場(chǎng).從求解策略來看，解決這類問題的關(guān)鍵在于緊抓切點(diǎn)，并求取切線方程.

1.2? “誤中悟”教育理念下的復(fù)習(xí)教學(xué)環(huán)節(jié)

1.2.1? 博學(xué)格物：完善導(dǎo)數(shù)的知識(shí)體系，并在具體問題中重溫求取切線方程的一般程序數(shù)學(xué)課堂中創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，就是呈現(xiàn)給學(xué)生刺激性的數(shù)學(xué)信息，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，喚起學(xué)生強(qiáng)烈的問題意識(shí)，使學(xué)生全心投入、全神貫注.一般來說，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境時(shí)要遵循三個(gè)基本原則：一是力求真實(shí)而自然合理，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的緊密關(guān)聯(lián)，引領(lǐng)學(xué)生使用抽象數(shù)學(xué)解決具體問題；二是富于趣味而引人深思，學(xué)生在問題驅(qū)動(dòng)下更好地理解、內(nèi)化知識(shí)，逐步讓知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力與素養(yǎng)；三是促進(jìn)重構(gòu)而完善系統(tǒng)，學(xué)生為了解決新舊知識(shí)之間的認(rèn)知沖突，需要擴(kuò)充與完善知識(shí)體系.

問題1? 上節(jié)課中，我們一起復(fù)習(xí)了“導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算”，那么利用導(dǎo)數(shù)這一工具可以解決哪些數(shù)學(xué)問題呢？（求曲線的切線方程、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值、研究函數(shù)的圖象與零點(diǎn)、證明不等式等等）

設(shè)計(jì)意圖? 通過回顧導(dǎo)數(shù)一章的知識(shí)體系，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用形成系統(tǒng)認(rèn)知.

問題2? 圖3定格的是我國遼寧號(hào)航空母艦上艦載飛機(jī)滑躍起飛的瞬間，大家是否知道飛機(jī)在飛離甲板的那一瞬間，其速度的方向是怎樣的嗎？（速度的方向與甲板相切）

追問1? 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們?cè)眠^哪些思路來求切線的方程？（函數(shù)圖象的切線利用導(dǎo)數(shù)法求解，圓的切線借助切線的性質(zhì)“d=r”解決，圓錐曲線的切線利用“Δ=0”求得）

追問2? 導(dǎo)數(shù)與切線有什么關(guān)系？（導(dǎo)數(shù)值f′（x0）表示曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處切線的斜率，此即導(dǎo)數(shù)的幾何意義）

追問3? 求函數(shù)圖象的切線方程分幾步完成？（求導(dǎo)函數(shù)f′（x）求切線的斜率k=f′（x0）寫出切線的方程并整理）

設(shè)計(jì)意圖? 借助實(shí)際問題引出本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，并引發(fā)學(xué)生思考高中數(shù)學(xué)中求取曲線切線方程的思路方法，完善切線問題知識(shí)體系.在回顧導(dǎo)數(shù)的幾何意義的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生梳理利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求取切線方程的一般程序.例1? 求函數(shù)f（x）=x3的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線方程.

變式1-1? 過點(diǎn)P（1，0）作函數(shù)f（x）=x3圖象的切線，求切線的方程.

變式1-2? 過點(diǎn)Q（1，1）作函數(shù)f（x）=x3圖象的切線，求切線的方程.

師生活動(dòng)：師生共同完成例1，并總結(jié)求取切線方程的“十二字口訣”——抓切點(diǎn)，求斜率；點(diǎn)斜式，寫方程.學(xué)生先獨(dú)立完成兩道變式題并板演，再進(jìn)行討論、修正并形成共識(shí).師生共同總結(jié)“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”的區(qū)別，并完善對(duì)上述“十二字口訣”的認(rèn)知.

設(shè)計(jì)意圖? 借助實(shí)際問題引出本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容，并引發(fā)學(xué)生思考高中數(shù)學(xué)中求取曲線切線方程的思路方法，完善切線問題知識(shí)體系.在回顧導(dǎo)數(shù)幾何意義的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生梳理利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求取切線方程的一般程序.

1.2.2? 審問疑霧：探究函數(shù)奇偶性對(duì)切線斜率的影響，并由此簡(jiǎn)化運(yùn)算過程

維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論將學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平與潛在發(fā)展水平之間的區(qū)域叫最近發(fā)展區(qū)，最近發(fā)展區(qū)又分為自發(fā)展水平（通過自身努力可以達(dá)成的水平）和助發(fā)展水平（需要求助方可達(dá)成的發(fā)展水平）.“誤中悟”教育理念將自發(fā)展水平與助發(fā)展水平之間的區(qū)域稱為“霧區(qū)”.高效地突破“霧區(qū)”，需要教師預(yù)設(shè)目標(biāo)性的“大問題”及其子問題串，引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的視角（即形狀、位置、大小、度量、運(yùn)算、關(guān)系、模型等）來審視具體問題，探求破解之道.

例2? （2016年高考全國Ⅲ卷·文16）已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=e-x-1-x，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為?? ?.

師生活動(dòng)：學(xué)生思考、討論，明確解題步驟：先求x>0時(shí)f（x）的解析式，再求其導(dǎo)數(shù)f′（x），進(jìn)而得到點(diǎn)（1，2）處的切線斜率k=f′（1），最后寫出切線的方程.

追問1? 用GGB軟件繪制某一偶函數(shù)f（x）的圖象，再作出圖象在關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)A與A′處的切線（如圖4）.當(dāng)我們移動(dòng)點(diǎn)A時(shí)，你發(fā)現(xiàn)兩條切線的斜率之間有怎樣的關(guān)聯(lián)？

追問2? 這表明偶函數(shù)f（x）在關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有什么樣的關(guān)系？（互為相反數(shù)）你能否用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示這個(gè)結(jié)論？（f′（-x）=-f′（x））這一結(jié)論表明偶函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）具有怎樣的性質(zhì)？（f′（x）為奇函數(shù)）

追問3? 你能利用這一發(fā)現(xiàn)來重新求解例2嗎？（先求得f′（-1），即可得到f′（1））

追問4? 類似地，觀察奇函數(shù)f（x）的圖象在關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)B與B′處的切線（如圖5），你又能得出什么樣的結(jié)論？（f′（-x）=f′（x），即奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)）

設(shè)計(jì)意圖? 在具體問題的求解中，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知函數(shù)的奇偶性對(duì)切線斜率的影響，并進(jìn)行抽象概括，由此發(fā)展學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).同時(shí)，利用所得結(jié)論簡(jiǎn)化求解切線的過程，重構(gòu)方法體系.

例3? （2022年新高考全國Ⅱ卷·14）曲線y=lnx過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為??? 、??? .

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，并明確本題求解的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是“過坐標(biāo)原點(diǎn)”的切線，切點(diǎn)不明確，必須設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)；二是需要分別求x>0時(shí)曲線y=lnx的切線方程、x<0時(shí)曲線y=ln（-x）的切線方程，但結(jié)合函數(shù)的奇偶性與圖形的對(duì)稱性可以判斷，兩條切線的斜率互為相反數(shù)，由此可以使運(yùn)算量減半.

設(shè)計(jì)意圖? 深化學(xué)生對(duì)“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”區(qū)別的認(rèn)識(shí)，掌握含絕對(duì)值函數(shù)求導(dǎo)數(shù)與切線方程的一般思路，并領(lǐng)會(huì)函數(shù)的奇偶性與圖形的對(duì)稱性對(duì)切線斜率的影響.由此，可以培養(yǎng)學(xué)生分類討論意識(shí)、數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象素養(yǎng).

1.2.3? 慎思試誤：以公切線問題為契機(jī)，給學(xué)生提供深思慎取、大膽試誤的舞臺(tái)

桑代克的“聯(lián)結(jié)—試誤”理論將人類的學(xué)習(xí)過程定義為刺激與反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)，認(rèn)為知識(shí)與技能的獲得必須通過“嘗試—錯(cuò)誤—再嘗試”這樣的一個(gè)試誤過程.錯(cuò)誤、挫折的刺激，會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的反應(yīng)，引起“觀念沖突”，這種刺激—反應(yīng)的聯(lián)結(jié)，會(huì)觸動(dòng)心靈，觸及靈魂，刻骨銘心，進(jìn)而喚起深度學(xué)習(xí).試誤需要沉浸式慎思，慎思就是要深思而慎取.學(xué)生通過自己的思維活動(dòng)來仔細(xì)考察、思考、分析，充分發(fā)揮好奇心與想象力，大膽試誤，積極尋求有效的問題解決方案，借助證據(jù)和合理推理進(jìn)行有效論證.這一系列過程可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，使其學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界［4］.

例4? （2016年高考全國Ⅱ卷·理16）若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線，則b=??? .

師生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手練習(xí)，與教師預(yù)想的一致，出現(xiàn)了一類典型錯(cuò)誤：由y=lnx+2得y′=1x；由y=ln（x+1）得y′=1x+1.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則k=1x0=1x0+1，無解.設(shè)計(jì)意圖? 在學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)處精心設(shè)置問題，可以充分暴露學(xué)生在知識(shí)掌握與思維邏輯上的缺陷，從而給教學(xué)活動(dòng)提供良好的契機(jī).1.2.4? 明辨頓悟：引導(dǎo)學(xué)生明辨錯(cuò)解中的不合理之處，形成對(duì)問題求解的正確認(rèn)知教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極發(fā)表自己的意見，展示試誤的結(jié)果，并合作交流，在互動(dòng)中明辨問題，批判質(zhì)疑，碰撞思維，擦出思想火花，互啟靈感，誘發(fā)頓悟，生成發(fā)現(xiàn).教師還要引導(dǎo)學(xué)生給出合理的評(píng)判和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C過程，得到定理、法則、公式的確認(rèn)，然后用自然語言、圖形語言、符號(hào)語言予以表達(dá).如此，可培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，使其學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界［4］.問題3? 所謂公切線，即這條直線與兩條曲線都相切.換而言之，兩條曲線的所有切線中相同的直線即為公切線，求公切線問題實(shí)際上就是去尋找兩條曲線的所有切線中重合的直線.因此，既然是公切線，例4中曲線f（x）的切線斜率與g（x）的切線斜率自然相等，但k=1x0=1x0+1無解，難道曲線f（x）與g（x）沒有公切線？圖6

追問1? 以我們熟悉的兩圓的公切線為例.如圖6所示，當(dāng)兩圓相外切時(shí)，公切線有三條：直線a與兩圓相切于不同的兩點(diǎn)A1，A2，直線b與兩圓相切于不同的兩點(diǎn)B1，B2，直線c與兩圓相切于同一點(diǎn)C.由此，你能反思上述例4的解答過程有什么問題嗎？（公切線與兩曲線未必相切于同一個(gè)點(diǎn)，可能切于不同的兩個(gè)點(diǎn)）

追問2? 在例4中，直線y=kx+b與曲線y=lnx+2和y=ln（x+1）是相切于同一點(diǎn)，還是不同的兩點(diǎn)呢？（不確定）方程k=1x0=1x0+1無解說明什么？（公切線與曲線f（x），g（x）不可能相切于同一個(gè)點(diǎn)）

追問3? 上述例4的解答用一種特殊情況代替了一般性的情形，所以導(dǎo)致方程無解.在具體解題中，我們要特別注意思維過程的嚴(yán)密性，否則就會(huì)產(chǎn)生類似這樣的錯(cuò)誤.現(xiàn)在，當(dāng)我們不能確定兩切點(diǎn)是否是同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該怎么辦？（分別設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)）由此，你能給出例4的正確的解答過程嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)公切線的實(shí)質(zhì)，并對(duì)比兩圓的公切線的各種情形，引發(fā)學(xué)生反思與討論，認(rèn)識(shí)分析錯(cuò)解產(chǎn)生的根源，并在此基礎(chǔ)上形成正確的求解過程.解? 設(shè)直線y=kx+b與曲線y=lnx+2相切于點(diǎn)（x1，lnx1+2），而y′=1x，故切線的斜率k=1x1，切線的方程為y-lnx1-2=1x1（x-x1），即y=1x1x+lnx1+1.

再設(shè)直線y=kx+b與曲線y=ln（x+1）相切于點(diǎn)（x2，ln（x2+1）），而y′=1x+1，故切線的斜率k=1x2+1，切線的方程為y-ln（x2+1）=1x2+1（x-x2），即y=1x2+1x+ln（x2+1）-x2x2+1.

因?yàn)閮蓷l切線重合，故k=1x1=1x2+1，b=lnx1+1=ln（x2+1）-x2x2+1，解得x1=12，x2=-12，所以b=ln12+1=1-ln2.

設(shè)計(jì)意圖? 從學(xué)生熟悉的兩圓的公切線入手，可以引發(fā)較為強(qiáng)烈的刺激，促使學(xué)生進(jìn)行自覺分析，辨明錯(cuò)解產(chǎn)生的根源，并最終形成公切線問題的正確求解思路.

1.2.5? 篤行溫焐：學(xué)以致用，鞏固與強(qiáng)化對(duì)公切線問題求解程序的認(rèn)識(shí)

我國明代著名思想家王陽明的“知行合一”思想認(rèn)為，“知是行之始，行是知之成”“知是行的主意，行是知的功夫”.在學(xué)生獲得頓悟后，教師要精心設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，注重基礎(chǔ)性、探究性、實(shí)踐性、綜合性的練習(xí)，體現(xiàn)有關(guān)、有用、有趣，鞏固“誤中悟”的成果，將所悟及時(shí)“小火慢燉” 即“溫焐”，使其固化為本領(lǐng)和素養(yǎng).當(dāng)然，鞏固訓(xùn)練要有梯度，漸次漸進(jìn)、逐層逐級(jí)、循序漸進(jìn).訓(xùn)練要有溫度，用心用情個(gè)性化量身定制，切忌“大火爆炒”“直通高考”［4］.

例5? 求曲線f（x）=ex-1與曲線g（x）=elnx的公切線方程.

變式? （2020年高考全國Ⅲ卷·理10）若直線l與曲線y=x和x2+y2=15都相切，則l的方程為（? ）.

A.y=2x+1??? B.y=2x+12

C.y=12x+1? D.y=12x+12

設(shè)計(jì)意圖? 篤行溫焐旨在深化理解已學(xué)知識(shí)，厚積活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，焐熟技能方法，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用遷移、問題解決能力.

1.2.6? 反思務(wù)本：梳理、總結(jié)學(xué)習(xí)過程，深化對(duì)知識(shí)與思想方法的理解

元認(rèn)知理論認(rèn)為，反思性學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者對(duì)自身學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程以及活動(dòng)過程中所涉及的有關(guān)信息、思維、結(jié)果等學(xué)習(xí)特征的反向思考.學(xué)生主動(dòng)反思本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程、建立知識(shí)探究框架、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)、凝練思想方法；教師在學(xué)生反思的基礎(chǔ)上對(duì)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)指導(dǎo)，可以借助思維導(dǎo)圖工具呈現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，回溯經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，回憶結(jié)果與結(jié)論，回顧過程與方法，回味情感與價(jià)值.反思務(wù)本就是務(wù)元?jiǎng)?wù)本，達(dá)到深入淺出，厚積薄發(fā)，由厚到薄，大道至簡(jiǎn)的境界［4］.

問題4? 本節(jié)課，我們一起復(fù)習(xí)了“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”這一知識(shí)點(diǎn)，你有哪些新的認(rèn)識(shí)？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，整理自己對(duì)知識(shí)與思想方法的新認(rèn)識(shí)，并梳理自己的學(xué)習(xí)成果.學(xué)生對(duì)“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”的新的感悟包括：求切線方程的核心是抓住切點(diǎn)；注意“在點(diǎn)A處的切線”與“過點(diǎn)A的切線”的區(qū)別；曲線“在點(diǎn)A處的切線”是唯一的，“過點(diǎn)A的切線”可能有多條；當(dāng)切點(diǎn)未知時(shí)，要先設(shè)出切點(diǎn)；求公切線時(shí)，要分別設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)……

設(shè)計(jì)意圖? 經(jīng)過淺出、薄發(fā)、聚合形成創(chuàng)新意識(shí)、科學(xué)精神、文化認(rèn)同，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，悟育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2? 教學(xué)反思

一輪復(fù)習(xí)不是對(duì)學(xué)過的舊知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)，通過復(fù)習(xí)要使學(xué)生加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，啟發(fā)學(xué)生體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系和發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，使學(xué)生不僅獲得“知”，更讓學(xué)生得到“識(shí)”，使學(xué)生既要得到“魚”，又要學(xué)會(huì)“漁”.“誤中悟”教育理念指導(dǎo)下的復(fù)習(xí)課教學(xué)就是強(qiáng)調(diào)把相關(guān)知識(shí)點(diǎn)置于具有一定復(fù)雜性的問題情境中，從大膽試誤出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生暴露自己的思維過程，通過列舉反例、變式等手段組織學(xué)生進(jìn)行辯論、交流，讓學(xué)生深深地卷入教學(xué)情境，思維表現(xiàn)出較高的批判性，進(jìn)而矯正并豐富學(xué)生的認(rèn)知，建構(gòu)準(zhǔn)確、合理的知識(shí)體系［5］.2.1? 轉(zhuǎn)換視角，將“錯(cuò)誤”視為具有開發(fā)價(jià)值的教學(xué)資源

如何看待學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的形形色色的錯(cuò)誤，是我們開展“誤中悟”教學(xué)所要考慮的首要問題.“誤中悟”教育理念認(rèn)為，要真正追求知識(shí)，探尋真理，犯錯(cuò)是必要的階段，沒有誰的認(rèn)識(shí)能繞過錯(cuò)誤.換而言之，學(xué)生在掌握新的定義定理公式、領(lǐng)悟知識(shí)內(nèi)涵的過程中，“錯(cuò)誤”是必經(jīng)的關(guān)卡，這就如同孩子是在多次的跌倒中慢慢學(xué)會(huì)走路，學(xué)生也是通過犯錯(cuò)后的不斷總結(jié)與反思來生成新的知識(shí)、掌握新的本領(lǐng).因此，擅長(zhǎng)總結(jié)錯(cuò)誤，從錯(cuò)誤中分析出合理與不合理的成分，是對(duì)知識(shí)與方法形成正確認(rèn)知的一項(xiàng)必備技能，而教師引導(dǎo)學(xué)生放開手腳、不受外在約束地大膽嘗試與創(chuàng)新就成為培育學(xué)生理性思維與探究精神的重要手段.

從教師“教”的角度來看，學(xué)生的“錯(cuò)誤”往往反映了其認(rèn)知過程中的盲區(qū)與疑難所在，這給我們準(zhǔn)確掌握學(xué)情、合理確定教學(xué)重心提供了參考，從而強(qiáng)化教學(xué)活動(dòng)的針對(duì)性與有效性.從學(xué)生“學(xué)”的角度來看，數(shù)學(xué)概念與技能的掌握，既需要樹立正面的“形象”，還需要“錯(cuò)誤”這面鏡子.以“錯(cuò)誤”為鑒，可糾正偏離的認(rèn)知.正、反“形象”的比照，對(duì)學(xué)生的思維可產(chǎn)生強(qiáng)烈的刺激，以促進(jìn)對(duì)正確理念的深刻理解、領(lǐng)悟與牢固記憶，增強(qiáng)對(duì)“錯(cuò)誤”的免疫力，并豐富他們的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).“誤中悟”教育理念所倡導(dǎo)的，就是要充分開發(fā)、利用好“錯(cuò)誤”這一資源，分析其中對(duì)教與學(xué)有積極影響的因素，讓“錯(cuò)誤”成為改善教與學(xué)方式的強(qiáng)大推動(dòng)力.

2.2? 精心設(shè)計(jì)，讓“錯(cuò)誤”成為提升復(fù)習(xí)效率的重要抓手

如前所述，一輪復(fù)習(xí)課不是對(duì)高一、高二教學(xué)內(nèi)容的簡(jiǎn)單重復(fù)與強(qiáng)化，而是引導(dǎo)學(xué)生在舊知識(shí)與已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)所學(xué)知識(shí)與思想方法的再構(gòu)與系統(tǒng)化.為調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的參與，我們同樣需要像新課那樣創(chuàng)設(shè)問題情境激活關(guān)于舊知的記憶，在問題解決中加深對(duì)知識(shí)的再理解.顯然，這樣做比直白的告知或匆匆過一遍的教學(xué)效果要好得多. 這就需要教師課前要精心設(shè)計(jì)能串起所復(fù)習(xí)的主干知識(shí)的問題.如果我們能從學(xué)生易迷糊、易疏忽、易犯錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)或是問題著手，強(qiáng)烈的認(rèn)知落差容易激發(fā)學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲.因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，我們可以精心設(shè)計(jì)，把學(xué)生的認(rèn)知“迷霧”與“錯(cuò)誤”作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)或是重要環(huán)節(jié)，讓“迷霧”與“錯(cuò)誤”成為提升一輪復(fù)習(xí)效率的重要抓手.

開展具體的復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，教師要充分調(diào)研學(xué)情與考情，并根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)預(yù)判學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn).比如在“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”復(fù)習(xí)之前，筆者根據(jù)班級(jí)學(xué)生的知識(shí)掌握情況，將本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)歸結(jié)為兩個(gè)：一是不能區(qū)分“在一點(diǎn)處的切線”與“過一點(diǎn)的切線”，這是部分同學(xué)存在的問題，可以讓其他同學(xué)參與討論并糾正錯(cuò)誤；二是兩條曲線的公切線問題，部分同學(xué)未認(rèn)識(shí)到切點(diǎn)一般有兩個(gè)這一事實(shí)，也有部分同學(xué)束手無策.本節(jié)課還有一個(gè)容易讓人迷糊的地方，就是高考試題中出現(xiàn)的函數(shù)解析式未明確或是不能直接求導(dǎo)時(shí)，該怎樣去求取切線的斜率這一問題.基于以上的分析與判斷，筆者在實(shí)施“誤中悟”教育理念下的一輪復(fù)習(xí)時(shí)，把導(dǎo)數(shù)的幾何意義置于多種具有一定復(fù)雜性的問題情境中，分別著眼于不同的側(cè)面，使學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)與思想方法形成多角度、多層次的理解.

2.3? 穿越迷霧，借“糾錯(cuò)”活動(dòng)發(fā)展科學(xué)理性的思維能力

“誤中悟”教育理念將學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中敢于嘗試錯(cuò)誤并分析、辯論、反思錯(cuò)誤的行為看成是一種科學(xué)、理性的探究精神.這種敢于試錯(cuò)、分析并總結(jié)反思的行為習(xí)慣有利于分辨知識(shí)的表象與本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的深入理解.從這個(gè)意義上說，“錯(cuò)誤”讓知識(shí)以一種更自然的方式生成，也正是在出錯(cuò)和修正錯(cuò)誤的探究過程中，課堂才是最鮮活的，教學(xué)才是最美麗動(dòng)人的.正如著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞所說的那樣，“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑都是由自己去實(shí)踐探究，因?yàn)檫@種方式理解得最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系”［6］.因而，教師需要做的是鼓勵(lì)并引導(dǎo)學(xué)生去嘗試探究，穿越層層迷霧，讓學(xué)生在“糾錯(cuò)”過程中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展科學(xué)、理性的思維能力.

能力來源于實(shí)踐，沒有實(shí)踐活動(dòng)，沒有過程的參與體驗(yàn)，就沒有經(jīng)驗(yàn)的積累，也談不上思維的訓(xùn)練.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，一道數(shù)學(xué)題，一個(gè)數(shù)學(xué)概念，我們都可以從障礙、錯(cuò)誤、總結(jié)等方面進(jìn)行活動(dòng)設(shè)計(jì)，在解決認(rèn)知障礙、糾正思維錯(cuò)誤、總結(jié)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，真正達(dá)成思維能力的提升［7］.從展示錯(cuò)例出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生暴露自己的思維過程，通過列舉反例、變式等手段組織學(xué)生進(jìn)行辯論、交流，讓學(xué)生深深地進(jìn)入教學(xué)情境，思維表現(xiàn)出較高的批判性，并對(duì)知識(shí)的對(duì)與錯(cuò)表現(xiàn)出高度的敏感，進(jìn)而矯正并豐富學(xué)生的認(rèn)知，建構(gòu)準(zhǔn)確、合理的知識(shí)體系.在糾錯(cuò)過程中，教師要退到引導(dǎo)者、參與者的角度，要讓學(xué)生成為思維的主體、探究的主體、辯論的主體、反思的主體.學(xué)生動(dòng)眼觀察、動(dòng)手解答、動(dòng)口交流、動(dòng)腦總結(jié)，如此教與學(xué)，能力可以提升，素養(yǎng)方能達(dá)成.

參考文獻(xiàn)

［1］? 施小斌，沈新權(quán)．基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)——以《曲線的切線方程的求法及應(yīng)用》為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2017（23）：19-22．

［2］? 朱賢良，唐錄義．“誤中悟”教育理念下的“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)［J］．中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2023（04）：46-50．

［3］? 新青年數(shù)學(xué)教師工作室．高中數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成手冊(cè)·選擇性必修第二冊(cè)［M］．長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2022．

［4］? 唐錄義．“6W”方式課堂表征［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2022（05）：12-15．

［5］? 朱賢良，唐錄義，金超．錯(cuò)誤資源巧開發(fā)，誤中悟道明真知——“誤中悟”教育理念的開發(fā)背景與應(yīng)用前景［J］．理科考試研究，2020（01）：30-36．

［6］? 黃偉亮．芻議探究式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂中的運(yùn)用［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2022（11）：30-33．

［7］? 洪金堅(jiān)，陳燕昌．基于“微主題”的高中數(shù)學(xué)校本教研實(shí)踐探索——以函數(shù)圖像公切線問題為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（34）：69-71．

作者簡(jiǎn)介? 朱賢良（1981—），男，安徽樅陽人，高級(jí)教師；基礎(chǔ)教育省級(jí)教學(xué)成果一等獎(jiǎng)獲得者，曾獲市級(jí)名教師、學(xué)科帶頭人、骨干教師、先進(jìn)教研個(gè)人等稱號(hào)；主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；發(fā)表教學(xué)論文120多篇.

成輝（1981—），男，湖南永州人，一級(jí)教師；曾獲市級(jí)優(yōu)秀教師、學(xué)科帶頭人、骨干教師、優(yōu)秀黨員等稱號(hào)；主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.