陳琪

摘 要：初中數(shù)學(xué)教學(xué)可以借助網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板來(lái)開(kāi)發(fā)資源，形成豐富的教學(xué)活動(dòng).本文就北師大版九年級(jí)上冊(cè)第一章《特殊平行四邊形》中的新授課、章節(jié)復(fù)習(xí)課、習(xí)題課的中相應(yīng)課例應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板進(jìn)行繪制動(dòng)態(tài)幾何，促進(jìn)學(xué)生的幾何直觀和推理能力的發(fā)展，并形成網(wǎng)絡(luò)共享文件以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一定的參考.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板；特殊平行四邊形；幾何直觀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下文簡(jiǎn)稱(chēng)課標(biāo)）指出要促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合，以豐富的學(xué)習(xí)資源、生動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方式方法的變革^［1］.信息技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂中教師廣泛采用的手段，特別注意的是，信息技術(shù)要深入到學(xué)科之中，并結(jié)合學(xué)科特征進(jìn)行設(shè)計(jì)并給予相應(yīng)支持，否則就難以取得實(shí)際的教育教學(xué)效果^［2］.而網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板是一款基于網(wǎng)頁(yè)操作的動(dòng)態(tài)畫(huà)圖軟件，在如今網(wǎng)絡(luò)發(fā)達(dá)的情況下其方便性好、操作更加快捷，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何直觀的核心素養(yǎng)中具有推助力作用.

1 網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板簡(jiǎn)述

網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板是在超級(jí)畫(huà)板的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)互聯(lián)網(wǎng)、移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下教育信息化發(fā)展的新趨勢(shì)，運(yùn)用國(guó)內(nèi)領(lǐng)先的動(dòng)態(tài)幾何技術(shù)、智能推理技術(shù)、符號(hào)運(yùn)算、網(wǎng)絡(luò)交互技術(shù)開(kāi)發(fā)的第一款國(guó)內(nèi)領(lǐng)先的移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)工具.其具有免安裝、跨終端、跨平臺(tái)的特點(diǎn)^［3］.網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)展示幾何圖形，并且智能畫(huà)筆功能強(qiáng)大，包含點(diǎn)、線、圓以及幾何的特殊關(guān)系的繪制；通過(guò)參數(shù)的設(shè)置，可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)演示，如一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)為可變參數(shù)，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，一次函數(shù)圖象發(fā)生改變.當(dāng)然，網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板的功能不僅于此，網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板網(wǎng)頁(yè)配備有學(xué)習(xí)資源以及共享資源，可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)視頻的學(xué)習(xí)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板操作，同樣可以通過(guò)他人共享的資源中作者的作圖步驟進(jìn)行學(xué)習(xí).總之，強(qiáng)大的網(wǎng)絡(luò)互通造就網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板其應(yīng)用性與便捷性.

目前希沃白板5.0課件提供網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板輔助教學(xué)，形成互聯(lián)網(wǎng)下技術(shù)豐富、學(xué)生高度參與的智慧課堂環(huán)境^［4］.特別地，網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板具有資源共享的功能，教師或其他用戶在完成創(chuàng)作時(shí)若呈現(xiàn)為共享形式，則其他人可以借助該資源進(jìn)行學(xué)習(xí)或者幫助授課，是集眾數(shù)學(xué)教育者的智慧于一體的便攜式網(wǎng)頁(yè)輔助數(shù)學(xué)工具.

2 網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板在初中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)用意義

《特殊平行四邊形》該章節(jié)是北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章的內(nèi)容，承接八年級(jí)平行四邊形的性質(zhì)與判定以及七年級(jí)簡(jiǎn)單的平面圖形相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的螺旋式上升.初中數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)在直觀理解和掌握?qǐng)D形與幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷得到和驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，感悟具有傳遞性的數(shù)學(xué)邏輯，形成幾何直觀和推理能力^［5］.利用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板輔助教學(xué)，形象的動(dòng)畫(huà)演示、具體直觀的測(cè)量、充滿探究的拖拽變換等功能，可以使學(xué)生參與到數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，幫助學(xué)生更好地理解幾何圖形中的定理，體會(huì)知識(shí)的本質(zhì)，構(gòu)建知識(shí)體系，進(jìn)而提升學(xué)生的觀察聯(lián)想、類(lèi)比學(xué)習(xí)的能力，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)幾何直觀和推理能力.

3 網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板在初中教學(xué)中的應(yīng)用例析

3.1 網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板在新授課中的應(yīng)用——“矩形的判定”

北師大教材中《矩形的性質(zhì)與判定》關(guān)于“矩形的判定”內(nèi)容部分涉及“平行四邊形活動(dòng)框架”，該部分設(shè)計(jì)指出可以通過(guò)直觀教具引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)矩形的判定定理的猜想.

教材中在導(dǎo)入矩形的判定時(shí)，采用平行四邊形活動(dòng)框架進(jìn)行觀察，該活動(dòng)在向?qū)W生展示四邊形不穩(wěn)定性的同時(shí)，學(xué)生注意到平行四邊形的其中一個(gè)內(nèi)角的變化，從而發(fā)現(xiàn)對(duì)角線長(zhǎng)度以及平行四邊形的形狀也在發(fā)生變化.教師的教學(xué)設(shè)計(jì)意圖即著落于通過(guò)直觀教具的演示而引導(dǎo)學(xué)生得到一個(gè)猜想：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.事實(shí)上，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，除了教具的新舊會(huì)影響整個(gè)演示過(guò)程，學(xué)生實(shí)際參與度也缺乏.應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板的技術(shù)則可以規(guī)避這些缺陷，同時(shí)其便捷以及資源共享的性質(zhì)使得教師在自我動(dòng)手創(chuàng)作時(shí)也可以就地取材——甄選其他教師共享的資源進(jìn)行教學(xué).

利用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板的技術(shù)可以快速得到一個(gè)平行四邊形活動(dòng)框架，并且以動(dòng)畫(huà)的形式展示從不同方向開(kāi)始變化的平行四邊形形狀.如圖1中的演示界面上呈現(xiàn)的內(nèi)容，教師可以以交互式教學(xué)與學(xué)生一起應(yīng)

用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板進(jìn)行操作，點(diǎn)擊“從右向左”或“從左向右”的播放鍵，此時(shí)平行四邊形框架中∠α的度數(shù)以及兩條對(duì)角線的數(shù)值都快速呈現(xiàn)在頁(yè)面右下方.以動(dòng)畫(huà)的方式展示過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨著平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角的變化成直角時(shí)，該活動(dòng)框架形似矩形，此時(shí)的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等，由此推出“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”的猜想.整個(gè)教學(xué)過(guò)程更為便捷且直觀，教師與學(xué)生在無(wú)法獲取實(shí)物工具時(shí)，網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板不失為一劑良方，特別在智慧課堂——學(xué)習(xí)平板與希沃白板交互課堂中，學(xué)生可以自主進(jìn)行操作.

3.2 網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板在章節(jié)復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用——“特殊平行四邊形的對(duì)角線”

特殊平行四邊形的對(duì)角線相關(guān)知識(shí)是整個(gè)章節(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程中的重點(diǎn)以及難點(diǎn)，菱形、矩形與正方形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度或位置關(guān)系各不相同，因此可從對(duì)角線的長(zhǎng)度、角度對(duì)特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí).通過(guò)網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板可以將菱形、矩形與正方形的對(duì)角線特征展示，即平行四邊形的兩條對(duì)角線特殊變化引起一般平行四邊形轉(zhuǎn)化為特殊的平行四邊形，整個(gè)動(dòng)畫(huà)演示過(guò)程使得學(xué)生形成更為深刻的印象，知識(shí)結(jié)構(gòu)更為完善.

平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，在此基礎(chǔ)上，利用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板設(shè)置變量進(jìn)行繪制，以便學(xué)生觀察變化進(jìn)行知識(shí)聯(lián)結(jié).如圖2中演示界面左側(cè)上方顯示兩條對(duì)角線長(zhǎng)度，平行四邊形的A、C

兩點(diǎn)可以分別進(jìn)行拖動(dòng)以改變AC長(zhǎng)度.左側(cè)下方a表示BDAC的值，拖動(dòng)滑竿時(shí)BD長(zhǎng)度會(huì)跟隨變化；α角為兩條對(duì)角線之間的夾角，已在平行四邊形中標(biāo)出，拖動(dòng)滑竿時(shí)α角發(fā)生變化.點(diǎn)擊“對(duì)角線長(zhǎng)度變化”播放按鍵，BD長(zhǎng)度開(kāi)始變化，最終形成BD=AC，即平行四邊形兩條對(duì)角線相等，從一般平行四邊形變?yōu)榫匦?；點(diǎn)擊“對(duì)角線角度變化”播放按鍵，α角開(kāi)始變化，最終形成α=90°即平行四邊形兩條對(duì)角線垂直，從一般平行四邊形變?yōu)榱庑危煌瑫r(shí)點(diǎn)擊“對(duì)角線長(zhǎng)度變化”播放按鍵與“對(duì)角線角度變化”播放按鍵，最終形成BD=AC、α=90°即平行四邊形的兩條對(duì)角線垂直且相等，從一般平行四邊化為正方形.同時(shí)在演示界面的右下方，點(diǎn)擊“線段”與“角度”圖標(biāo)，可以分別顯示或隱藏平行四邊形四條邊、四個(gè)內(nèi)角的數(shù)值.

在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板演示出平行四邊形兩條對(duì)角線的變化從而形成不同的特殊平行四邊形，平行四邊形、菱形、矩形以及正方形之間的包含關(guān)系也就躍然紙上.

3.3 網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板在習(xí)題講解中的應(yīng)用——“菱形中求線段和最小值”

學(xué)生在學(xué)習(xí)完知識(shí)后需要及時(shí)鞏固常見(jiàn)的手段就是必要的練習(xí)，在《特殊平行四邊形》該章節(jié)中幾何圖形的練習(xí)中重在考查學(xué)生的幾何直觀和推理能力，如利用特殊平行四邊形的性質(zhì)求解習(xí)題.下文對(duì)菱形中求線段和最小值一類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板技術(shù)繪制動(dòng)態(tài)演示，以此促進(jìn)學(xué)生的幾何直觀和推理能力的發(fā)展.

例1 （2020·陜西模擬）如圖3，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，∠BAD＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），且EF＝1，則DE+BF最小值為_(kāi)________.

該題中平行四邊形為特殊平行四邊形——菱形，問(wèn)題的要求的是DE+BF的最小值，從題中可以發(fā)現(xiàn)E點(diǎn)、F點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，B點(diǎn)、D點(diǎn)則為定點(diǎn)，但是E點(diǎn)與F點(diǎn)之間存在EF=1，實(shí)際上只要考查E點(diǎn)、F點(diǎn)中的一點(diǎn)，則另外一點(diǎn)的位置也隨之而定.于是不妨考慮使得兩個(gè)點(diǎn)“合為一個(gè)點(diǎn)”，即作出某個(gè)線段使得與另一個(gè)線段的一端同為一個(gè)端點(diǎn)，由于圖中沒(méi)有此條件，此時(shí)考慮做輔助線.

此題的講解可以利用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板進(jìn)行，本文繪制如下圖4所示資源：第一，點(diǎn)擊左側(cè)按鈕“幫助”出現(xiàn)E點(diǎn)、F點(diǎn)在AC上移動(dòng)的軌跡動(dòng)畫(huà)，并且可視DE、BF、DE+BF的值，實(shí)際上也可通過(guò)拉動(dòng)E點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)DE+BF的值會(huì)經(jīng)歷從大到小再到大的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)存在最小值以及其大致位置；第二，點(diǎn)擊“步驟一”，畫(huà)面呈現(xiàn)作輔助線DM∥AC，使得DM=EF=1，則得到四邊形DEFM為平行四邊形，即DE=MF，同時(shí)出現(xiàn)“解答過(guò)程一”，如何找到將DE、BF化為連接的兩條線段是本題的關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生利用平行四邊形的性質(zhì)可以作出平行四邊形DEFM，以達(dá)到DE=MF；第三，點(diǎn)擊“提示”，F(xiàn)點(diǎn)移動(dòng)到DM與AC的交點(diǎn)處，即連接BM交AC于F點(diǎn)，當(dāng)F點(diǎn)為DM與AC的交點(diǎn)，這是依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短找到，此時(shí)MF+BF的值最小即DE+BF的值最小；第四，點(diǎn)擊“步驟二”，找到符合條件的F點(diǎn)位置后，根據(jù)菱形、平行四邊形以及∠BAD＝60°，即連接BD作出直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行求解，同時(shí)呈現(xiàn)“解答過(guò)程二”.

回望本題，考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí)，在整個(gè)解題中要借助輔助線將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即兩點(diǎn)之間線段最短.通過(guò)網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示的意圖在于，學(xué)生在變化中找到特殊的位置，通過(guò)觀察后判斷出解題的要點(diǎn)在于畫(huà)出輔助線，最終得到結(jié)果.

4 結(jié)語(yǔ)

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂的融合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教師們?cè)谂L試并付諸行動(dòng)的課題，由于數(shù)學(xué)的抽象性區(qū)別于其他學(xué)科，幾何圖形的學(xué)習(xí)考驗(yàn)學(xué)生的幾何直觀和推理能力，數(shù)學(xué)教師利用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板進(jìn)行相關(guān)方面的教學(xué)可以起到事半功倍的效果.本文對(duì)《特殊平行四邊形》章節(jié)中各種課例中可使用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板環(huán)節(jié)進(jìn)行設(shè)計(jì)繪制并形成網(wǎng)絡(luò)分享文件，助力學(xué)生發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)，一線教師以及學(xué)生都可以通過(guò)掃碼的方式進(jìn)行觀看以及應(yīng)用，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的融合提供一定的參考.

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