湯宴會

［摘? 要］ 長程視野中數(shù)學(xué)“起點(diǎn)型知識”教學(xué)要求教師要進(jìn)行長程設(shè)計，通過深化、應(yīng)用、統(tǒng)整、促進(jìn)“起點(diǎn)型知識”教學(xué)，彰顯“起點(diǎn)型知識”的統(tǒng)攝性、遷移性、連續(xù)性和育人性。長程設(shè)計要求教師在教學(xué)中關(guān)注其他相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識，讓設(shè)計具有一種“一以貫之”的特性。通過“起點(diǎn)型知識”教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科知識時能夠積極有效地遷移，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科知識自然生長、自然生成。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；長程視野；起點(diǎn)型知識

從學(xué)生生命成長視野來看，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個連續(xù)不斷的經(jīng)驗重組、認(rèn)知重構(gòu)的過程。在這個過程中，教師要充分彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科知識育人功能。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要著眼于課時教學(xué)目標(biāo)，還要著眼于單元教學(xué)目標(biāo)，更要著眼于數(shù)學(xué)學(xué)科的總體性教學(xué)目標(biāo)等，這就是“長程視野”。基于“長程視野”，教師要重視數(shù)學(xué)學(xué)科中“起點(diǎn)型知識”的教學(xué)，通過“起點(diǎn)型知識”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科知識的積極有效地遷移，促進(jìn)其數(shù)學(xué)學(xué)科知識自然生長、自然生成。

一、深化“起點(diǎn)型知識”教學(xué)，彰顯“起點(diǎn)型知識”的統(tǒng)攝性

所謂“起點(diǎn)型知識”，是指“數(shù)學(xué)學(xué)科知識中發(fā)揮核心作用、紐帶作用、關(guān)鍵效能的一些知識”。“起點(diǎn)型知識”是數(shù)學(xué)核心知識、關(guān)鍵知識，具有統(tǒng)攝性、遷移性的知識，是一種活性的知識，是一種具有“種子生長”作業(yè)的知識［1］。深化“起點(diǎn)型知識”教學(xué)，能有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，“起點(diǎn)型知識”具有一種自我擴(kuò)張性、自我生長性，它在數(shù)學(xué)學(xué)科中處于核心位置、中心位置、基礎(chǔ)位置，具有結(jié)構(gòu)性、統(tǒng)攝性、關(guān)鍵性和生長性的特點(diǎn)。

比如教學(xué)“多邊形的面積”這一單元相關(guān)知識時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在“平行四邊形的面積”這一課的學(xué)習(xí)內(nèi)容上下功夫、做文章。著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)性視角，“平行四邊形的面積”這一部分內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想以及剪拼、平移等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動策略，不僅對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“三角形的面積”“梯形的面積”等相關(guān)知識具有積極的作用，而且對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)圓的面積、圓柱的體積、圓錐的體積等相關(guān)知識具有積極的啟發(fā)作用。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“平行四邊形的面積”公式的推導(dǎo)過程，并讓學(xué)生經(jīng)歷人們探索平行四邊形的面積的關(guān)鍵過程。

比如，筆者在教學(xué)中有意識地放大了“用單位面積的小正方形來度量平行四邊形”的過程。當(dāng)這一過程被放大，學(xué)生就能充分地感受、體驗到：平行四邊形沒有直角，所以用單位面積的小正方形來度量平行四邊形有一定的局限性。同時，學(xué)生還會積極地思考、探究：將平行四邊形如何轉(zhuǎn)化成長方形呢？由此，學(xué)生想到了平行四邊形可以推拉成長方形，平行四邊形可以剪拼成長方形。那么，在這兩種方法中，哪一種方法是可行的呢？通過這樣的引導(dǎo)，學(xué)生會自然而深刻地理解用剪拼法探索平行四邊形面積的科學(xué)性、合理性。

深化“起點(diǎn)型知識”的教學(xué)，能讓學(xué)生對“起點(diǎn)型知識”形成一種更有效的觀照。學(xué)生深刻地認(rèn)識到，平行四邊形的面積公式相當(dāng)于長方形的面積，平行四邊形的底相當(dāng)于長方形的長，平行四邊形的高相當(dāng)于長方形的寬等。借助于長方形的面積公式，學(xué)生能自主建構(gòu)、創(chuàng)造平行四邊形的公式。有了“平行四邊形的面積”公式的推導(dǎo)經(jīng)驗，學(xué)生就能將其中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化法、剪拼法等策略積極有效地遷移到三角形、梯形的面積公式推導(dǎo)中去。

二、應(yīng)用“起點(diǎn)型知識”教學(xué)，彰顯“起點(diǎn)型知識”的遷移性

如上所述，“起點(diǎn)型知識”是其他相關(guān)知識的基礎(chǔ)，對其他相關(guān)知識的建構(gòu)、創(chuàng)造具有啟迪、引導(dǎo)、示范作用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要應(yīng)用“起點(diǎn)型知識”，彰顯“起點(diǎn)型知識”的遷移性。“起點(diǎn)型知識”對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有能動的促進(jìn)、調(diào)節(jié)作用。教師要有知識的全局觀、整體觀、連續(xù)觀、階段觀。只有這樣，教師才能有效地瞻前顧后、左顧右盼地進(jìn)行“長程教學(xué)”。要通過“長程教學(xué)”，彰顯“起點(diǎn)型知識”的輻射性，真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的長遠(yuǎn)目標(biāo)［2］。

以“認(rèn)識厘米”這部分內(nèi)容的教學(xué)為例，這部分內(nèi)容屬于“量與計量”的內(nèi)容。在教學(xué)的過程中，筆者著眼于學(xué)生的整個小學(xué)階段的“量與計量”的“長程視野”，引導(dǎo)學(xué)生通過“認(rèn)識厘米”的內(nèi)容的學(xué)習(xí)，掌握相關(guān)的“測量”的策略，認(rèn)識“測量”的本質(zhì)。在教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“厘米尺”的誕生過程，從而讓學(xué)生感悟到：“測量”就是“看測量對象中包含多少個計量單位”，“測量工具”就是“由一個個的計量單位串接而成的一種工具”。從“單位厘米”的表象的建立到“將一個個單位厘米串接起來”，從“沒有刻度的厘米尺的雛形”到“有刻度的厘米尺”的創(chuàng)構(gòu)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會逐步進(jìn)階。當(dāng)學(xué)生自主建構(gòu)了“厘米尺”，經(jīng)歷了“測量物體的長度”、認(rèn)識了“厘米的測量”等相關(guān)的操作要領(lǐng)等知識之后，再去認(rèn)識“角的度量”“認(rèn)識千克”“時分秒”“長方形的面積”“長方體的體積”等相關(guān)知識，就能實現(xiàn)知識積極有效地遷移，就能應(yīng)用相關(guān)的探究方法去經(jīng)歷“測量角”的過程，學(xué)習(xí)“稱量物體的質(zhì)量”等相關(guān)的內(nèi)容。因此，在教學(xué)這一部分相關(guān)內(nèi)容時，教師的目光不能局限于課時，也不能局限于單元，必須將目光遍及相關(guān)聯(lián)的知識，遍及同領(lǐng)域的知識。這樣的教學(xué)就是“長程教學(xué)”，“長程教學(xué)”要求學(xué)生夯實相關(guān)的“起點(diǎn)型知識”。夯實了學(xué)生的“起點(diǎn)型知識”，學(xué)生就能將“起點(diǎn)型知識”學(xué)習(xí)中的相關(guān)思想方法、策略路徑等進(jìn)行有效的遷移。

“起點(diǎn)型知識”是相關(guān)聯(lián)的知識的基礎(chǔ)、根基。相較于“非起點(diǎn)型知識”，“起點(diǎn)型知識”蘊(yùn)含著更豐富的背景、更深刻的思想、更具統(tǒng)攝性的模型。數(shù)學(xué)“起點(diǎn)型知識”往往隱含著一些重要的思想方法，蘊(yùn)含著更隱性的育人價值，教師要積極發(fā)掘。同時，“起點(diǎn)型知識”與其他相關(guān)聯(lián)的知識有著共同的屬性，因此“起點(diǎn)型知識”對其他相關(guān)聯(lián)的知識具有一種根基性的意義、遷移性價值和生發(fā)性功能等。

三、統(tǒng)整“起點(diǎn)型知識”教學(xué)，彰顯“起點(diǎn)型知識”的連續(xù)性

數(shù)學(xué)學(xué)科是一門研究數(shù)量、空間、結(jié)構(gòu)、變化、信息等相關(guān)內(nèi)容的學(xué)科。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要有意識地統(tǒng)整“起點(diǎn)型知識”與其相關(guān)聯(lián)的知識，彰顯“起點(diǎn)型知識”的連續(xù)性。教師要用同樣的“數(shù)理”“算理”“學(xué)理”等貫穿于同一個知識單元、同一個領(lǐng)域知識的始終，從而讓內(nèi)在的“數(shù)理”“算理”“學(xué)理”等發(fā)揮作用。在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要有一定的結(jié)構(gòu)意識、脈絡(luò)意識，善于從相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識中提煉、抽象、概括出數(shù)學(xué)學(xué)科知識的本質(zhì)。

統(tǒng)整“起點(diǎn)型知識”的教學(xué)，就是要求教師通過“起點(diǎn)型知識”的教學(xué)彰顯其中的本質(zhì)。“本立而道生”，抓住學(xué)科知識的本質(zhì)、根本，就能彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科知識教學(xué)的連續(xù)性［3］。比如教學(xué)“正比例的量”這一部分起點(diǎn)型知識時，筆者從學(xué)生已有知識經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生分析相關(guān)的數(shù)量關(guān)系：“一輛汽車每小時行駛60千米，那么，行駛1小時、2小時、3小時……，行駛了多少千米？”在數(shù)量關(guān)系中，筆者還引入了統(tǒng)計表，讓學(xué)生直觀、形象地看到“一種量變化，另一種量也隨著變化”，從而幫助學(xué)生建構(gòu)“相關(guān)聯(lián)”的概念。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生深入觀察兩種量是如何變化的，從而讓學(xué)生認(rèn)識到這兩種量之間是“一種量擴(kuò)大，另一種量也隨著變化”“一種量縮小，另一種量也隨著縮小”等。最后，引導(dǎo)學(xué)生去思考“在這個過程中，這兩種量中的什么關(guān)系沒有發(fā)生變化”。通過對“起點(diǎn)型知識”的深入教學(xué)，能讓學(xué)生逐步建構(gòu)起“成正比例的量”的認(rèn)識?！捌瘘c(diǎn)型知識”對于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“成反比例的量”以及初中階段的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)等都具有重要的方法論意義和價值。比如，學(xué)生在“成反比例的量”這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，能積極主動地應(yīng)用“成正比例的量”的研究方法，自主建構(gòu)“成正比例的量”。這樣的教學(xué)就是一種連續(xù)性的教學(xué)。顯然，連續(xù)性教學(xué)不僅是指知識的連續(xù)性教學(xué)，更是指方法、思想、策略等的連續(xù)性教學(xué)。

連續(xù)性教學(xué)要求教師在教學(xué)中應(yīng)該深度挖掘知識本質(zhì)、過程等，讓學(xué)生完整地理解知識本質(zhì)，充分利用“起點(diǎn)型知識”與其他相關(guān)知識在本質(zhì)上的一致性，催生學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。“起點(diǎn)型知識”教學(xué)應(yīng)該立足“長程視野”，借助統(tǒng)一性、同一性知識本質(zhì)打通知識關(guān)節(jié)，疏通知識阻點(diǎn)，消除知識隔閡，讓教師的“教”更加順暢，讓學(xué)生的“學(xué)”更加通透，從而讓學(xué)生感受、體驗貫穿在知識之中的數(shù)理、算法等。

四、促進(jìn)“起點(diǎn)型知識”教學(xué)，彰顯“起點(diǎn)型知識”的育人性

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是“起點(diǎn)型知識”教學(xué)的根本性目的。應(yīng)該說，僅僅依憑“起點(diǎn)型知識”的教學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)還難以形成。教師以“起點(diǎn)型知識”為根基，將相關(guān)學(xué)科知識統(tǒng)合在一起，經(jīng)過學(xué)生對相關(guān)知識的自主性、自能性探究，其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能逐步形成。促進(jìn)“起點(diǎn)型知識”教學(xué)，要彰顯“起點(diǎn)型知識”的育人性。狹義地說，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科育人功能、彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，要讓學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光去觀照”“用數(shù)學(xué)的大腦去考量”“用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)”等［4］。

以“5以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識”這一部分內(nèi)容的教學(xué)為例，這一部分內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，對于一般性的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)具有重要的啟發(fā)性意義?？梢赃@樣說，學(xué)生對“數(shù)”的認(rèn)識，對學(xué)生學(xué)習(xí)一般性的數(shù)學(xué)概念都具有積極的啟發(fā)、引導(dǎo)、遷移性的作用。在教學(xué)這一部分內(nèi)容時，部分教師認(rèn)為“沒東西教”，認(rèn)為就是讓學(xué)生學(xué)會“數(shù)數(shù)”“讀數(shù)”“寫數(shù)”等。其實，這樣的認(rèn)識是偏頗的。事實上，教師在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“1”這個數(shù)時，可以呈現(xiàn)1支鉛筆、1個蘋果、1塊橡皮、1個桃子等。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行第一次抽象，將這些具體的物體抽象成“1個”。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生對“1個”進(jìn)行意義賦予，讓學(xué)生用事物、圖形等來進(jìn)行表示，逐步地抽象、概括成純粹的數(shù)字“1”、自然數(shù)“1”等。在這里，學(xué)生對最簡單的具有起始意義的“起點(diǎn)型知識”的抽象、概括分為兩個層次：一是抽取相關(guān)的外在性的物理屬性等，而概括抽象出概念的數(shù)量屬性；二是將數(shù)量屬性剔除，進(jìn)而形成純粹的數(shù)的形式。在這個過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能從感性到知性、從知性到理性。不僅如此，在這個過程中，學(xué)生還積極主動地用相關(guān)的圖形、符號等來確證與表征數(shù)字“1”。這樣的一種教學(xué)，不僅有助于發(fā)展學(xué)生的抽象能力，更能培育學(xué)生的符號意識。因此，教師以“起點(diǎn)型知識”為起點(diǎn)，整合其他相關(guān)知識的教學(xué)，能有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷進(jìn)階，能科學(xué)地、有針對性地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

長程視野中數(shù)學(xué)“起點(diǎn)型知識”教學(xué)，要求教師要進(jìn)行“長程設(shè)計”?！伴L程設(shè)計”要求教師在課時教學(xué)中要關(guān)注其他相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識，讓設(shè)計具有一種“一以貫之”的特性。在“起點(diǎn)型知識”教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會開展結(jié)構(gòu)性的思考、探究，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地遷移，并讓學(xué)生積極主動地解決問題，進(jìn)而有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 魏光明，王俊亮，劉正松，等. 小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)的理論與實踐［M］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

［2］ 魏光明. 長程設(shè)計：關(guān)注階段性和一致性［J］. 江蘇教育，2014（17）：57-58.

［3］ 王俊亮. 小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)中的抽象度分析［J］. 教育視界，2021（35）：11-15.

［4］ 皮亞杰. 結(jié)構(gòu)主義［M］. 倪連生，王琳，譯. 北京：商務(wù)印書館，2020.