陳志婷　龐凰琴

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課普遍存在重點(diǎn)、難點(diǎn)題目堆砌，教師講得多學(xué)生練得多的問(wèn)題，長(zhǎng)此以往，容易造成師生身心疲憊，學(xué)習(xí)效率不佳等現(xiàn)象. 采用“一題一課”復(fù)習(xí)方法，滲透一題多變、一題多解、多解歸一的數(shù)學(xué)思想，能更好地凸顯問(wèn)題的本質(zhì). 文章主要從“優(yōu)選引題，揭示問(wèn)題本源”“注重通法，提升思維深度”“拓展變式，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)”三方面詳細(xì)闡述“一題一課”復(fù)習(xí)方法.

［關(guān)鍵詞］ 一題一課；策略引導(dǎo)；數(shù)學(xué)本質(zhì)

在深化教育改革的今天，數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法、觀念都是在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的. 教師應(yīng)該及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑，尤其是重、難點(diǎn)問(wèn)題，復(fù)習(xí)時(shí)要有針對(duì)性、系統(tǒng)性和啟發(fā)性［1］. 而善于尋找典例，巧用變式與拓展，能達(dá)到對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練，能使他們成為思維活躍、勤于觀察、善于思考、敢說(shuō)敢做、勇于創(chuàng)新的人.

教學(xué)時(shí)教師應(yīng)在緊扣教材的同時(shí)，合理設(shè)計(jì)一題一課式變式訓(xùn)練，通過(guò)訓(xùn)練，讓學(xué)生更加深刻地理解所學(xué)知識(shí)，從而促進(jìn)和增強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性與延展性，充分培養(yǎng)學(xué)生思維的應(yīng)變能力、想象力及創(chuàng)造力. 只有這樣，學(xué)生才會(huì)更自信，更愿意去交流探索，從而真正地成為學(xué)習(xí)的主人.

教學(xué)微設(shè)計(jì)

1. 引題呈現(xiàn)

引題 在等邊三角形ABC的兩邊AB，AC所在直線上分別有M，N兩點(diǎn)，P為△ABC外一點(diǎn)，且∠MPN=60°，∠BPC=120°，BP=CP. 探究：當(dāng)M，N兩點(diǎn)分別在直線AB，AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

（1）如圖1所示，當(dāng)M，N兩點(diǎn)分別在邊AB，AC上，且PM=PN時(shí)，試說(shuō)明MN=BM+CN.

（2）如圖2所示，當(dāng)M，N兩點(diǎn)分別在邊AB，AC上，且PM≠PN時(shí)，MN=BM+CN還成立嗎？

（3）如圖3所示，當(dāng)M，N兩點(diǎn)分別在邊AB的延長(zhǎng)線和CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系.

2. 背景分析

本題是七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)2020學(xué)年期末考試的一道壓軸題，學(xué)生望而卻步. 從答題反饋來(lái)看，不盡如人意，學(xué)生添加的輔助線五花八門(mén)，讓人眼花繚亂. 由于認(rèn)知水平不同，理解不同，思路不同，所以學(xué)生解決此題時(shí)給出了多種解法. 對(duì)于此題，很多學(xué)生有大致的求解思路，但很模糊，找不到最佳解法，導(dǎo)致解題書(shū)寫(xiě)邏輯混亂，費(fèi)時(shí)費(fèi)力. 為了有效提高學(xué)生思維的深度和廣度，滲透思想方法，培養(yǎng)學(xué)生領(lǐng)悟通性通法，筆者針對(duì)這道題進(jìn)行了“一題一課”微專題設(shè)計(jì)，并進(jìn)行變式和拓展，引導(dǎo)學(xué)生在解決此題的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)解題能力.

3. 解法探究

下面以第（1）問(wèn)為例. 從學(xué)生的答題情況來(lái)看，第（1）問(wèn)的求解方法琳瑯滿目，但歸納起來(lái)，本質(zhì)是“截長(zhǎng)補(bǔ)短”，具體求解過(guò)程如下.

解法1：要說(shuō)明MN=BM+CN，通常采用的方法是“截長(zhǎng)補(bǔ)短”. 因?yàn)镻M=PN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，不難想到如圖4所示的輔助線，即取MN的中點(diǎn)G，連接PG（當(dāng)然也可以過(guò)點(diǎn)P作PG⊥MN，垂足為G，或作∠MPN的平分線交MN于點(diǎn)G），先證明△BPM≌△CPN，再證明△BPM≌△GPM，△CPN≌△GPN，得到BM=MG，CN=NG，進(jìn)而得到MN=BM+CN.

解法2：有學(xué)生想到了“補(bǔ)短”的方法，即在NC（或MB）的延長(zhǎng)線上截取一條與BM（或CN）等長(zhǎng)的線段. 根據(jù)這一想法，可作出如圖5所示的輔助線，即延長(zhǎng)NC至點(diǎn)Q，使CQ=BM，連接PQ. 易證得△MBP≌△QCP（SAS），從而得到∠MPB=∠QPC，PM=PQ. 因?yàn)椤螹PN=60°，∠BPC=120°，所以∠MPB+∠NPC=60°. 從而得∠NPC+∠QPC=60°，即∠NPQ=60°. 所以∠NPQ=∠NPM. 再證明△MPN≌△QPN（SAS）即可.

對(duì)于解法2，有學(xué)生想到了可以少證一次全等的優(yōu)化方法，即把△MPB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△QPC，這樣可以直接得到∠MPB=∠QPC，PM=PQ. 筆者大力表?yè)P(yáng)了該同學(xué)，稱贊他有獨(dú)特的見(jiàn)解，獲得了簡(jiǎn)捷的求解方法. 隨著課堂的深入，學(xué)生的思維活躍了，他們交流討論著還有沒(méi)有其他的求解方法. （這表明學(xué)生正初步由“學(xué)會(huì)”向“要學(xué)”轉(zhuǎn)變）

解法3：此時(shí)有一名學(xué)生說(shuō)出了采用“截短”方法的另一種作法. 即過(guò)點(diǎn)D（點(diǎn)D為PM與BC的交點(diǎn)）作DE∥AB交MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)F（點(diǎn)F為PN與BC的交點(diǎn)）作FE′∥AC交MN于點(diǎn)E′（如圖6所示）. 該學(xué)生說(shuō)利用這種方法只需要說(shuō)明點(diǎn)E與點(diǎn)E′重合，即只需要證明∠MED+∠DEF+∠FEN=180°.

筆者表?yè)P(yáng)了提出解法3的學(xué)生，贊揚(yáng)他邏輯性強(qiáng). 不過(guò)也指出，這種解法的步驟會(huì)比較冗長(zhǎng).

有了第（1）問(wèn)的求解經(jīng)驗(yàn)，第（2）（3）問(wèn)的圖形雖然比較復(fù)雜，但本質(zhì)相同，所以“截長(zhǎng)補(bǔ)短”這一通法依然適用. 求解第（2）（3）問(wèn)的輔助線詳見(jiàn)圖7（補(bǔ)短）和圖8（截長(zhǎng)）.

試題主要考查學(xué)生對(duì)“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法的應(yīng)用，通過(guò)作輔助線利用轉(zhuǎn)化思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題. 在教學(xué)過(guò)程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，對(duì)不同的解題策略及多種解法的優(yōu)劣等進(jìn)行積極反思，使學(xué)生理解知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵和掌握解決問(wèn)題的技巧，并讓學(xué)生從反思中吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，達(dá)到舉一反三、促進(jìn)思維能力不斷提升的效果［2］.

4. 遷移應(yīng)用

問(wèn)題1 如圖9所示，M，N兩點(diǎn)分別在正方形 ABCD 的邊 BC，CD上，且∠MAN = 45°，連接MN. 求證：MN=BM+DN.

分析 前面在等邊三角形的基礎(chǔ)上利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法很好地解決了三邊數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，本題是在正方形的基礎(chǔ)上探索三邊數(shù)量關(guān)系，本質(zhì)沒(méi)有變，只需要把前面的知識(shí)遷移過(guò)來(lái)即可.

解法1 如圖10所示，把△ABM沿AM翻折后得到△AEM，易知BM=ME，再通過(guò)證明△EAN≌△DAN，得DN=EN，進(jìn)而有MN=BM+DN.

解法2 如圖10所示，將△ABM繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△ADE，證明△MAN≌△EAN，進(jìn)而得到結(jié)論.

變式? 在“問(wèn)題1”的基礎(chǔ)上，點(diǎn)A到線段MN的距離是否為定值？

分析 此變式是對(duì)“問(wèn)題1”的直接應(yīng)用，只要明白（圖10中）AE⊥MN，AB=AE，此變式就迎刃而解了.

問(wèn)題2 如圖11所示，M，N兩點(diǎn)分別在正方形 ABCD 的邊 BC，CD上，且∠MAN = 45°，連接MN，BD，BD分別與AM，AN 交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，則EF 2=BE 2+DF 2成立嗎？

分析 看到結(jié)論，聯(lián)想到勾股定理，于是我們把三條邊通過(guò)變換放到一個(gè)直角三角形中. 如圖12所示，把△AEB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AED，連接E1F，易知△AEF≌△AEF，從而可在Rt△DEF中得到結(jié)論EF 2=BE 2+DF 2成立.

變式 在“問(wèn)題2”的基礎(chǔ)上，連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖13所示，求證：∠AMB =∠AMN =∠AFB.

分析 由解決“問(wèn)題1”可得∠AMB=∠AMN，又∠AMB+∠BAM=90°，∠AFB+∠FAO=90°，∠BAC=∠MAN=45°，所以∠BAM =∠FAO，∠AMB=∠AFB. 問(wèn)題得證.

5. 拓展挑戰(zhàn)

拓展 如圖14所示，△ABC為等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，AC=BC=2，D為AB邊的中點(diǎn). 將等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放置于點(diǎn)D處，兩條直角邊分別與△ABC的AC，BC邊相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)E不與C，A兩點(diǎn)重合，點(diǎn)F不與C，B兩點(diǎn)重合），求CE+CF的值.

分析 求CE+CF的值，跟引題求證MN=BM+CN和遷移運(yùn)用求證MN=BM+DN類似，但又不同，前者求值，后者求證一個(gè)等式. 我們猜想，能否把CE，CF轉(zhuǎn)化到同一條線段上呢？觀察圖形，可直觀猜想將它們轉(zhuǎn)化到線段BC上，又BC=BF+CF，于是只要說(shuō)明CE=BF即可.

要證CE=BF，考慮到證明線段相等的方法，如全等、等角對(duì)等邊，結(jié)合已知條件等腰直角三角形和斜邊上的中點(diǎn)，不難作出如圖15所示的輔助線，即連接CD，此時(shí)通過(guò)證明△DEC≌△DFB就可以了. 其實(shí)也可以看作將△DBF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△DCE，從而得到結(jié)論.

變式 如圖16所示，△ABC為等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，AC=BC=2，D為AB邊的中點(diǎn). 將等腰直角三角板（△DMN）的一個(gè)45°角的頂點(diǎn)放置于點(diǎn)D處，其斜邊及一條直角邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)E不與C，A兩點(diǎn)重合，點(diǎn)F不與C，B兩點(diǎn)重合），連接EF，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)等腰直角三角板DMN，則△CEF的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并說(shuō)明理由.

分析 求△CEF的周長(zhǎng)，即求CE+EF+CF的值. 有了前面的解題經(jīng)驗(yàn)，我們不難發(fā)現(xiàn)第一條輔助線，即連接CD（如圖17所示）. 再者，求幾條線段的和，可以把這幾條線段轉(zhuǎn)化到同一條線段上，于是把△CDE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△BDG，從而把CE轉(zhuǎn)換成BG，這里其實(shí)只用過(guò)點(diǎn)D作DG⊥DE，交BC于點(diǎn)G，即得第二條輔助線，所以我們只需要證明△DEC≌△DGB（同上），△DEF≌△DGF即可. 所以CE+EF+CF=BG+FG+CF=2. 所以△CEF的周長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化.

教學(xué)思考

1. 優(yōu)選引題，揭示問(wèn)題本源

對(duì)于壓軸題，學(xué)生望而卻步，不假思索，“逃之夭夭”了. “截長(zhǎng)補(bǔ)短”看似簡(jiǎn)單，但是遇到具體問(wèn)題，不乏學(xué)生不識(shí)廬山真面目，甚至八、九年級(jí)的部分學(xué)生都不能很好地把握. 因此，教師要優(yōu)選“引題”，有梯度地讓絕大部分學(xué)生或多或少都能參與，并在解決“引題”的過(guò)程中，讓學(xué)生自主觀察、合作探索，提出各自添加輔助線的設(shè)想，并進(jìn)一步探討解決問(wèn)題的方式方法，真正揭示問(wèn)題本源，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決規(guī)律［3］.

2. 注重通法，提升思維深度

本節(jié)課的教學(xué)聚焦三角形、四邊形中幾條線段間數(shù)量關(guān)系的研究，探索這類問(wèn)題的本質(zhì)規(guī)律和通性通法. 筆者從學(xué)生忌憚的問(wèn)題（引題）出發(fā)，精講細(xì)講相對(duì)容易的第（1）問(wèn)，讓絕大部分學(xué)生“入戲”，從而發(fā)散學(xué)生的思維，讓他們大膽猜想、發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法，讓他們經(jīng)歷“探索方法—優(yōu)化方法—反思方法”的過(guò)程，且他們反思后對(duì)方法的優(yōu)劣進(jìn)行選取，形成解決這類問(wèn)題的通法，為后續(xù)解決第（2）問(wèn)、第（3）問(wèn)積累經(jīng)驗(yàn). 同時(shí)，也為后面的“遷移應(yīng)用”和“拓展挑戰(zhàn)”指引方向. 注重通法訓(xùn)練，構(gòu)建知識(shí)體系，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升思維深度，能讓學(xué)習(xí)較困難的學(xué)生有所收獲，能讓大部分學(xué)生長(zhǎng)本事，讓優(yōu)秀學(xué)生多賦能.

3. 拓展變式，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

探究“引題”的價(jià)值不僅僅是讓學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)方法，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活變通，觸類旁通，有以不變應(yīng)萬(wàn)變的能力. “拓展挑戰(zhàn)”中的變式是求三角形的周長(zhǎng)，其實(shí)還是探索三條線段的數(shù)量關(guān)系，雖然不是直接應(yīng)用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法，而是把幾條線段轉(zhuǎn)化到同一條線段上，但本質(zhì)還是通過(guò)證明三角形全等實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換. 學(xué)生根據(jù)“觀察—探索—梳理”的解題經(jīng)驗(yàn)，能從變化的圖形中得到不變的結(jié)論. 所以，“拓展挑戰(zhàn)”中的變式是讓學(xué)生將所獲得的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行融會(huì)貫通、舉一反三，這能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］顧捷. 初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的有效策略［J］. 開(kāi)封教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，34（12）：239-240.

［2］吳鳳. 初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“一題一課”教學(xué)思路探微［J］. 基教與成才研究，2017（29）：62.

［3］陸新鋒. 聚焦主題精選學(xué)材，由淺及深漸次展開(kāi)——以“線段之間數(shù)量關(guān)系”專題復(fù)習(xí)課為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（06）：34-35.

作者簡(jiǎn)介：陳志婷（1988—），碩士研究生，一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.