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        設(shè)計(jì)“一題一課” 促進(jìn)中考復(fù)習(xí)

        2023-11-08 13:10:50費(fèi)云標(biāo)
        關(guān)鍵詞:一題一課復(fù)習(xí)課中考

        費(fèi)云標(biāo)

        [摘? 要] 文章以2020年南京中考數(shù)學(xué)第26題為基礎(chǔ),設(shè)計(jì)“一題一課”的中考復(fù)習(xí)課,幫助學(xué)生形成解析幾何的思考路徑,積累解題經(jīng)驗(yàn),提升解題能力.

        [關(guān)鍵詞] 一題一課;中考;復(fù)習(xí)課

        案例的背景

        本節(jié)課源于筆者參加的區(qū)內(nèi)的一次教學(xué)案例設(shè)計(jì)比賽,現(xiàn)基于“一題一課”模式設(shè)計(jì)成中考復(fù)習(xí)課,促進(jìn)自身的專業(yè)成長(zhǎng). 本節(jié)課的教學(xué)關(guān)鍵是添加輔助線來(lái)構(gòu)造相似三角形.

        學(xué)生在“九下”已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的概念、性質(zhì)、判定和簡(jiǎn)單應(yīng)用,以及圖形的平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等變化. 本年級(jí)組的學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本圖形,但對(duì)相似三角形的綜合運(yùn)用還相對(duì)薄弱,自主建構(gòu)模型的能力不強(qiáng). 因此,通過(guò)學(xué)生熟悉的教材習(xí)題作為前測(cè)喚醒其基本知識(shí)、基本技能、基本解題經(jīng)驗(yàn),以2020年南京數(shù)學(xué)中考第26題為例引發(fā)學(xué)生再思考相似三角形的性質(zhì)與判定,讓學(xué)生親歷解題過(guò)程,找到題眼與關(guān)鍵,暴露思維,及時(shí)反思,積累解題經(jīng)驗(yàn),提升解題能力. 通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí),反思解題路徑,優(yōu)化解題思維.

        教學(xué)過(guò)程

        環(huán)節(jié)1:回歸教材,先行組織

        前測(cè)? 如圖1所示,在△ABC和△A′B′C′中,CD,C′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線,==,求證:△ABC∽△A′B′C′.

        師生活動(dòng):學(xué)生課前獨(dú)立完成證明,教師利用投影儀投影糾錯(cuò),引領(lǐng)學(xué)生回顧相似三角形的性質(zhì)與判定.

        生1:由==可得△ADC∽△A′D′C′,則∠A=∠A′,∠ACD=∠A′C′D′. 由角平分線的定義可得∠ACB=∠A′C′B′,最后得到△ABC∽△A′B′C′.

        設(shè)計(jì)意圖? 一是簡(jiǎn)單回顧相似三角形的性質(zhì)與判定,二是回顧利用“子三角形”相似推出“母三角形”相似的方法,為接下來(lái)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

        環(huán)節(jié)2:真題呈現(xiàn),探尋路徑

        問(wèn)題1? 如圖2所示,在△ABC和△A′B′C′中,D,D′分別是AB,A′B′上一點(diǎn),=.當(dāng)==時(shí),求證:△ABC∽△A′B′C′.

        師生活動(dòng):教師借助多媒體展示問(wèn)題1,學(xué)生先獨(dú)立解題,再展示解法. 教師利用框圖引導(dǎo)學(xué)生整理證明思路.

        生2:我發(fā)現(xiàn)條件之間有聯(lián)系,先將=變形為=,再結(jié)合條件==,可得===,從而推出△ADC∽△A′D′C′,得到∠A=∠A′,最后根據(jù)“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”得△ABC∽△A′B′C′.

        設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生親歷解題過(guò)程,回顧比例的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定.

        追問(wèn)1? 請(qǐng)你利用框圖(見(jiàn)圖3)來(lái)梳理你的證明思路.

        師生活動(dòng):學(xué)生閱讀框圖并填寫(xiě)框圖,整理思路后由教師點(diǎn)評(píng).

        生3:我填寫(xiě)的是“==”和“∠A=∠A′”. 我是利用逆向思維的方式從△ABC∽△A′B′C′去推導(dǎo)的,只要找到能夠串聯(lián)信息的“橋梁”就可以了.

        設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生填寫(xiě)框圖這一過(guò)程體現(xiàn)了分析與綜合思維方式,為下一題的解答思路提供了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

        追問(wèn)2? 回顧解題過(guò)程,說(shuō)一說(shuō)如何分析本題.

        師:分析問(wèn)題可以從條件出發(fā),也可以從結(jié)論出發(fā),找到中間結(jié)論,再找到兩者間的橋梁. 我們發(fā)現(xiàn)本題中兩者間的橋梁就是“子三角形”相似.

        設(shè)計(jì)意圖? 回顧此題的解答思路,即尋找“子三角形”相似,也為下一題的解答思路奠定了基礎(chǔ).

        環(huán)節(jié)3:變式探究,素養(yǎng)提升

        問(wèn)題2? 如圖4所示,在△ABC和△A′B′C′中,D,D′分別是AB,A′B′上一點(diǎn),=. 若==,請(qǐng)判斷△ABC與△A′B′C′是否相似,并說(shuō)明理由.

        師生活動(dòng):教師借助多媒體展示題目,學(xué)生先自主探究,大膽猜想△ABC與△A′B′C′相似. 針對(duì)學(xué)生的猜想,教師提出問(wèn)題:如何證明這兩個(gè)三角形相似?沿用問(wèn)題1的解答經(jīng)驗(yàn)與方法,學(xué)生分析易證的結(jié)論(=,=,=,==),同時(shí)聯(lián)想須知的條件(∠ACB=∠A′C′B′或==). 但由于學(xué)生無(wú)法直接證明△ABC與△A′B′C′相似,因此教師繼續(xù)問(wèn)道:能夠證明圖中的“子三角形”相似嗎?學(xué)生依然無(wú)法直接證明△ACD與△A′C′D′、△BCD與△B′C′D′相似,于是教師通過(guò)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化條件來(lái)解題.

        設(shè)計(jì)意圖? 綜合分析已知、易證和須知的條件,大膽嘗試方案,再小心求證,明確解題方向.

        追問(wèn)1? 為聯(lián)通已知條件=與==,你打算怎么做?

        師生活動(dòng):學(xué)生自主探索,先畫(huà)一畫(huà),再進(jìn)行小組交流,展示輔助線.? 教師引導(dǎo)學(xué)生思考畫(huà)輔助線的依據(jù). 學(xué)生從線段成比例聯(lián)想作輔助線,或從相似的基本圖形聯(lián)想作輔助線,如有學(xué)生作平行線構(gòu)造A型相似或X型相似,還有學(xué)生構(gòu)造其他類(lèi)型(如作高、角平分線或中線). 教師單獨(dú)指導(dǎo),讓學(xué)生試一試證明;巡視指導(dǎo),讓學(xué)生選擇一種有利于聯(lián)通已知條件=與==的方法,并展示相應(yīng)的構(gòu)造輔助線的方案,然后挑選其中一種進(jìn)一步探究.

        設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生先獨(dú)立作圖,然后小組討論其合理性. 從數(shù)與圖兩個(gè)角度出發(fā),教師組織學(xué)生思考作圖依據(jù),再選擇方案展示邏輯推理. 既聚焦生成,也貼合學(xué)情,更促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí),有效突破難點(diǎn).

        生4(A組代表):如圖5所示,過(guò)D作DE∥BC交AC于E,過(guò)D′作D′E′∥B′C′交A′C′于E′.

        追問(wèn)2? 你還能得到什么結(jié)論?

        師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考,猜想△CDE與△C′D′E′相似. 教師追問(wèn):如何判定它們相似?如何證明==?通過(guò)追問(wèn),學(xué)生得到結(jié)論:====. 教師肯定結(jié)論后繼續(xù)問(wèn)道:你還能得到什么?學(xué)生繼續(xù)探究得到=====. 教師又追問(wèn):你如何證明==?還有其他推導(dǎo)方法嗎?學(xué)生分享解法,投影展示. 教師指出:既可以用比例的性質(zhì)(合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、等比性質(zhì))來(lái)解決,還可以設(shè)線段的長(zhǎng)度(比如設(shè)k)直接證明,,的值相等來(lái)解決.

        設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生通過(guò)已知推可知的過(guò)程,就是優(yōu)化方案的過(guò)程. 此題的價(jià)值在于不僅幫助學(xué)生找到了證明三角形相似的條件,還展示了線段成比例的證明方法,有效突破了本節(jié)課的難點(diǎn).

        追問(wèn)3? 現(xiàn)在可以證明△ABC與△A′B′C相似嗎?請(qǐng)你完成證明過(guò)程.

        師生活動(dòng):學(xué)生完成證明過(guò)程,并互助點(diǎn)評(píng),明確幾何證明書(shū)寫(xiě)規(guī)范.

        設(shè)計(jì)意圖? 通過(guò)展示證明過(guò)程,提出證明規(guī)范要求,提高學(xué)生的解題規(guī)范意識(shí).

        追問(wèn)4? 還有不同的解法嗎?簡(jiǎn)要說(shuō)明證明思路. 請(qǐng)你對(duì)這些解法作點(diǎn)評(píng).

        師生活動(dòng):小組交流,擴(kuò)充解法. 學(xué)生講解,同伴點(diǎn)評(píng),優(yōu)化思考.

        設(shè)計(jì)意圖? 通過(guò)相似的基本圖形來(lái)作輔助線,形式多樣,輔助線的作用相同. 說(shuō)明證明思路,有利于學(xué)生了解此類(lèi)題目的解法實(shí)質(zhì)就是尋找“子三角形”相似,積累學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn),提高學(xué)生的解題能力.

        追問(wèn)5? 回顧以上解決問(wèn)題的過(guò)程,你能說(shuō)一說(shuō)解決較復(fù)雜的幾何證明題的思考路徑嗎?

        思考路徑如圖6所示.

        設(shè)計(jì)意圖? 教師整理學(xué)生的發(fā)言,引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)梳理,形成幾何證明題一般的解決套路,幫助學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識(shí)的習(xí)慣,提升學(xué)生的解題能力,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

        環(huán)節(jié)4:回顧小結(jié),布置作業(yè)

        回顧小結(jié):請(qǐng)你回顧一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程,談一談你的學(xué)習(xí)感想.

        師生活動(dòng):教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過(guò)程,提煉總結(jié). 學(xué)生回顧基礎(chǔ)知識(shí):平行線分線段成比例,相似三角形的判定與性質(zhì),相似的基本圖形;回顧輔助線的作法:綜合分析已知、可知、須知、未知,結(jié)合基本圖形作輔助線;還回顧線段成比例的證明方法:比例的性質(zhì),設(shè)線段的長(zhǎng)度(設(shè)k). 積累較復(fù)雜的幾何問(wèn)題的解決經(jīng)驗(yàn):從條件出發(fā),從結(jié)論出發(fā),從強(qiáng)化條件出發(fā),從合情推理出發(fā),等等.

        設(shè)計(jì)意圖? 通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題,讓每一個(gè)學(xué)生能說(shuō)出自己的收獲,引導(dǎo)學(xué)生從基本知識(shí)、基本技能、基本解題經(jīng)驗(yàn)、基本思想方法等不同方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行反思、梳理,有助于學(xué)生積累相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決經(jīng)驗(yàn).

        布置作業(yè):

        題1:如圖7所示,在△ABC和△A′B′C′中,D,D′分別是AB,A′B′上一點(diǎn),=.若==,求證:△ABC∽△A′B′C′.

        設(shè)計(jì)意圖? 考查相似三角形的判定與性質(zhì),利用“子三角形”相似推出“母三角形”相似.

        題2:如圖8所示,在△ABC和△A′B′C′中,D,D′分別是AB,A′B′上一點(diǎn),=.當(dāng)=,∠A=∠A′時(shí),判斷△ABC與△A′B′C′是否相似. 若相似,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不相似,請(qǐng)畫(huà)出反例圖形.

        設(shè)計(jì)意圖? 考查相似三角形的判定與性質(zhì),并結(jié)合作圖來(lái)舉反例.

        對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的反思

        本節(jié)課以2020年南京中考數(shù)學(xué)第26題為基礎(chǔ),設(shè)計(jì)成“一題一課”的課型;通過(guò)教材溯源,再變式探究,完成解題教學(xué). 從而幫助學(xué)生形成解決相似證明題的思考路徑,積累解題經(jīng)驗(yàn),提升解題能力.

        1. 選取有價(jià)值的問(wèn)題,讓教學(xué)更高效

        選取有價(jià)值的問(wèn)題是“一題一課”習(xí)題教學(xué)的關(guān)鍵. 教師應(yīng)當(dāng)基于課程標(biāo)準(zhǔn),把握學(xué)情、教材與中考,選擇學(xué)生遇到的典型習(xí)題或測(cè)試題作為“一題一課”的主要問(wèn)題素材,再設(shè)計(jì)一系列的問(wèn)題生長(zhǎng)為一節(jié)課. 本節(jié)課選擇的是2020年南京中考數(shù)學(xué)第26題. 首先從知識(shí)層面來(lái)看,本題考查的是比例的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí). 其次從能力層面來(lái)看,本題考查學(xué)生的邏輯推理、代數(shù)推理、幾何直觀等綜合能力. 再次從數(shù)學(xué)思想方法來(lái)看,構(gòu)造輔助線的方法,可以從“數(shù)”(比例)的角度來(lái)研究“形”(形狀、大?。?lián)想到作平行線,構(gòu)造相似的基本圖形(A型或X型相似),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想. 最后從解法策略來(lái)看,問(wèn)題1以框圖的形式表達(dá)對(duì)證明路徑的思考,呈現(xiàn)方式簡(jiǎn)潔明了,思維可見(jiàn);問(wèn)題2的輔助線的作法多樣,如A型相似、X型相似,同一作法不同角度求解(一題多解),以提升學(xué)生的幾何推理能力,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

        2. 關(guān)注教學(xué)生成,讓教學(xué)更時(shí)效

        布魯納認(rèn)為,學(xué)習(xí)知識(shí)的最佳方式是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí). 發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)指學(xué)生利用教材或教學(xué)資源自己獨(dú)立思考,自主發(fā)現(xiàn)知識(shí),掌握原理和規(guī)律的過(guò)程. 在本節(jié)課中,筆者始終關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)心理,比如,前測(cè)習(xí)題選自教材,讓學(xué)生先完成,互相糾錯(cuò),從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、鋪墊思路. 又如,在問(wèn)題1的探究環(huán)節(jié)中,筆者給予學(xué)生足夠的時(shí)間去交流,讓學(xué)生的思維充分碰撞,使其獲得一般的證明方法. 再如,在問(wèn)題2的探究過(guò)程中,筆者通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題的設(shè)計(jì),讓學(xué)生優(yōu)化思考,搭建中介條件,最后指向輔助線求解. 不僅給予學(xué)生再發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì),還激發(fā)學(xué)生挑戰(zhàn)自己的勇氣,在試錯(cuò)的過(guò)程中加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解與內(nèi)化.

        3. 關(guān)注深度學(xué)習(xí),讓教學(xué)更高效

        深度學(xué)習(xí)不僅體現(xiàn)在思考的深度上,還體現(xiàn)在思考的廣度上. 筆者認(rèn)為,淺層思考多個(gè)問(wèn)題不如深度思考一個(gè)問(wèn)題. 在本節(jié)課中,筆者踐行著深度學(xué)習(xí)的流程及標(biāo)準(zhǔn),比如,在問(wèn)題2的探究過(guò)程中,筆者提出了一連串問(wèn)題:如何證明這兩個(gè)三角形相似?能夠證明圖中的“子三角形”相似嗎?如何聯(lián)通已知條件=與==?你打算如何作輔助線?層層追問(wèn)指向運(yùn)用輔助線構(gòu)造“子三角形”相似,為學(xué)生歸納相似證明題的基本解決思路做準(zhǔn)備. 當(dāng)學(xué)生解決完此題后,又追問(wèn)道:還有不同的解法嗎?簡(jiǎn)要說(shuō)明證明思路. 請(qǐng)你對(duì)這些解法作點(diǎn)評(píng). 從而讓學(xué)生弄清運(yùn)用“子相似”證明“母相似”的思路,有利于培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力與思考廣度. 再如,作業(yè)題2是變式訓(xùn)練,讓學(xué)生涉獵此類(lèi)問(wèn)題,有助于開(kāi)拓學(xué)生的視野,發(fā)展學(xué)生的幾何想象能力.

        結(jié)束語(yǔ)

        在數(shù)學(xué)課堂上,教師應(yīng)讓學(xué)生真正有效地經(jīng)歷認(rèn)知過(guò)程,讓他們感受到數(shù)學(xué)是有活力的,其充滿著有趣的問(wèn)題和新的思考方式,以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)更多東西的欲望,更好地培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,使他們慢慢養(yǎng)成一種積極的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 一旦學(xué)生具備了這樣的主動(dòng)性,他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就能切實(shí)提高.

        每一個(gè)學(xué)生都有獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需求與能力,開(kāi)始時(shí)的表達(dá)效果可能還不是最終的素養(yǎng)體現(xiàn),但是筆者相信,數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力,并幫助其轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),從教師靈巧的教學(xué)設(shè)計(jì)開(kāi)始,讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地生根.

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