［摘? 要］ 中考數(shù)學(xué)壓軸題由于涵蓋的知識點(diǎn)多，具有較強(qiáng)的綜合性，學(xué)生普遍存在分析解答上的思維困惑. 支架式教學(xué)為解決此類問題提供了一種有效的探索. 支架式教學(xué)應(yīng)當(dāng)為學(xué)生理解知識提供一種概念框架，即把復(fù)雜的學(xué)習(xí)任務(wù)有效分解，一步步為學(xué)生提供適當(dāng)?shù)膯栴}支架或建議支架，幫助學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的技能，進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng). 文章結(jié)合2021年度江蘇省徐州市的一道中考壓軸題的分析，從搭建腳手架、進(jìn)入情境、獨(dú)立探索、協(xié)作學(xué)習(xí)和效果評價五個環(huán)節(jié)探討支架式教學(xué)的價值.

［關(guān)鍵詞］ 支架式教學(xué)；初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

中考數(shù)學(xué)壓軸題承擔(dān)著提升命題區(qū)分度，發(fā)展學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的功能，涵蓋的知識點(diǎn)多，具有較強(qiáng)的綜合性. 這類問題通常由于條件隱蔽，關(guān)系復(fù)雜，致使大部分學(xué)生難覓思路，望而生畏. 如果在平時教學(xué)中，教師能給學(xué)生搭建一個云梯，學(xué)生或許能順勢走出思考的低谷，攀上思維的山峰. 支架式教學(xué)給學(xué)生的就是這樣一架“云梯”. 支架式教學(xué)應(yīng)當(dāng)為學(xué)生理解知識提供一種概念框架，是以培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和問題解決能力為目標(biāo)的教學(xué). 具體指事先把復(fù)雜的學(xué)習(xí)任務(wù)有效分解，一步步為學(xué)生提供適當(dāng)?shù)膯栴}支架或建議支架，學(xué)生在這些具體支架的引導(dǎo)下，小步調(diào)攀升，逐步解決問題，掌握所學(xué)知識. 同時把學(xué)生的智力從潛在水平引導(dǎo)到更高的新的水平，更好地發(fā)展學(xué)生的高階思維能力，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的達(dá)成.

筆者以2021年徐州市中考數(shù)學(xué)第28題為例，淺談支架式教學(xué)解決這種大型壓軸題所表現(xiàn)的價值以及引領(lǐng)功能.

例題? （2021年徐州市中考數(shù)學(xué)第28題）如圖1所示，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P在邊AD上（P不與A，D重合），連接PB，PC.將線段PB繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PE，將線段PC繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PF.連接EF，EA，F(xiàn)D.

（1）求證：①△PDF的面積S=（1/2）PD2：②EA=FD；

（2）如圖2所示，EA，F(xiàn)D的延長線交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)N，連接MN，求MN的取值范圍.

該題凸出考查正方形的性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)、直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形等相關(guān)知識，是一道具有較強(qiáng)思維含量的四邊形綜合題. 根據(jù)支架式教學(xué)的內(nèi)涵特征，可以從以下五個環(huán)節(jié)（即搭建腳手架、進(jìn)入情境、獨(dú)立探索、協(xié)作學(xué)習(xí)、效果評價）引導(dǎo)學(xué)生試著解決該題，獲得獨(dú)立解決問題的技能.

搭建腳手架——分解重難點(diǎn)

學(xué)生獨(dú)立解題時的能力和教師指導(dǎo)下的潛在發(fā)展水平之間存在一定差異，這種差異就是最近發(fā)展區(qū). 按照最近發(fā)展區(qū)的要求，圍繞當(dāng)前問題中的難點(diǎn)與核心部分，將復(fù)雜的問題有效分解. 幾何問題的突破關(guān)鍵是添加輔助線，提煉模型. 幾何圖形中添加輔助線通常是“有跡可循”的，根據(jù)條件尋找題目中隱含的基本模型，注重對基本圖形的提煉與變化，便是本題的切入點(diǎn).

常見的支架形式有問題支架、情境支架、范例支架、建議支架等，而問題支架是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中最常見的支架，為此通過搭建以下幾個問題支架，有效分解復(fù)雜的問題，降低問題的難度，輔助學(xué)生完成解答.

問題支架1：證明線段相等，常用的方法是構(gòu)建全等三角形.

問題支架2：本著“承上啟下”的原則，弄清問題間是“平列關(guān)系”還是“遞進(jìn)關(guān)系”.

問題支架3：“特殊的點(diǎn)，特別的愛”，深度關(guān)注第（2）問中的附加條件“點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)”，并加以智慧運(yùn)用，可巧妙轉(zhuǎn)化問題“MN的取值范圍”.

進(jìn)入情境——深度理解

高質(zhì)量的問題情境能有效啟發(fā)學(xué)生思考. 三個問題支架建立在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，源于題目本身，又對解決問題起著驅(qū)動作用，是學(xué)生深度理解問題所需要的. 像這類大型解答題，如果沒有問題支架的幫扶，很多學(xué)生會感到無所適從. 而現(xiàn)在通過問題支架的引領(lǐng)，有效分解復(fù)雜的問題，消除學(xué)生的畏懼心理，能產(chǎn)生真正吸引學(xué)生的力量，使學(xué)生走進(jìn)解決問題的情境中來，感受一些教師所經(jīng)歷的思維過程，在心理上增加學(xué)生解決問題的信心和勇氣.

獨(dú)立探索——逐步攀升

在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生本身就是一個積極的探索者. 讓學(xué)生自己獨(dú)立去思考、去探索、去發(fā)現(xiàn)，做學(xué)習(xí)的主人，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動權(quán)，這是每一位教師都應(yīng)該做的最有意義的引導(dǎo). 針對問題的復(fù)雜性，開始先由教師啟發(fā)引導(dǎo)，然后再讓學(xué)生自己分析. 根據(jù)問題的難度情況，起初的分析步調(diào)可以小一些，引導(dǎo)和幫助可以多一些，隨后逐漸減少幫助，愈來愈多地放手讓學(xué)生自己探索分析，獲取自己的認(rèn)知成果，嘗試跨越最近發(fā)展區(qū).

對于問題（1）的第①問“求證：△PDF的面積S=（1/2）PD2 ”，根據(jù)三角形的面積公式，可以通過添加輔助線“PD邊上的高FH”，將原問題轉(zhuǎn)化為“證明PD=FH”.學(xué)生借助自己的解題經(jīng)驗，依據(jù)題意中的∠FPC=90°，構(gòu)建全等模型之內(nèi)弦圖，完全有能力自己解決這個問題.

對于問題（1）的第②問“求證：EA=FD”，由于兩條線段之間沒有聯(lián)系，直觀性不強(qiáng)，學(xué)生解決起來有一定難度. 教師可以根據(jù)學(xué)生的實際水平，將此問題分解成一些小的問題支架，幫助學(xué)生更好地探索. 比如，類比第①問中的∠FPC=90°的應(yīng)用，處理∠EPB=90°；設(shè)PD=x，試著證明△AEQ≌△FDH（見圖3）. 在探索過程中要給予學(xué)生充足的思考時間，鼓勵學(xué)生勇敢地沿著支架慢慢攀升，一邊攀升一邊內(nèi)化支架，理解問題，特別是對隱性知識的挖掘和基本模型的提煉有進(jìn)一步的體悟.

對于問題（2）“求MN的取值范圍”，對學(xué)生而言區(qū)分度強(qiáng)、難度大，需要教師提供問題支架，以保證學(xué)生即使不能獨(dú)立完成任務(wù)，也可以使學(xué)習(xí)過程順利地進(jìn)行下去. 比如，問題支架2提出的“承上啟下”的原則，是指借助EA=FD推導(dǎo)全等三角形，進(jìn)一步猜想△EMF的形狀并嘗試證明；問題支架3中的“特殊的點(diǎn)，特別的愛”，即通過附加條件“N是EF的中點(diǎn)”，結(jié)合△EMF的形狀，把問題“求MN的取值范圍”轉(zhuǎn)化為“求EF的取值范圍”，進(jìn)一步根據(jù)經(jīng)驗，在直角三角形中用勾股定理求線段的長度來解決問題. 這些問題支架使學(xué)生的探索活動得以持續(xù)進(jìn)行，使學(xué)生原本看起來不可能完成的任務(wù)有了成功的可能，增加學(xué)生的解題信心的同時，提高學(xué)生的認(rèn)知水平.

問題解決中的大大小小的“支架”類似于程序中的轉(zhuǎn)換功能，每一層支架都是在轉(zhuǎn)換思想，把未知轉(zhuǎn)向已知，把復(fù)雜轉(zhuǎn)向簡單. 若干個小問題在不斷裁剪、組合、轉(zhuǎn)換的過程中，層層遞進(jìn)，既豐富學(xué)生的思維，又為不同層次的學(xué)生展示自己的水平創(chuàng)造平臺，使學(xué)生在日后通過搭建支架的方法支持自己學(xué)習(xí)，完成問題解決.

協(xié)作學(xué)習(xí)——討論展示

通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)干預(yù)，在個人獨(dú)立探索的基礎(chǔ)上，為建構(gòu)知識展開必要的小組討論，進(jìn)一步為學(xué)生學(xué)習(xí)提供“小支架”. 在討論過程中多種意見相互矛盾，爭論激烈，原本不確定的答案變成確定，原本迷茫的思路變得清晰，原本“走投無路”的誤區(qū)變成“柳暗花明”的正道，原本眾說紛紜的觀點(diǎn)逐漸趨于一致. 這些觀點(diǎn)的交流、碰撞、爭辯，使學(xué)生統(tǒng)一思想，達(dá)成共識. 逐步解除之前設(shè)置的大小支架，內(nèi)化吸收，對當(dāng)前問題的體悟和理解更全面，使思維走向更深處.

如圖3所示：

（1）問題（1）的第①問“求證：△PDF的面積S=PD2”.思路展示：根據(jù)題意，PC繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PF，可知PC=PF且∠CPF=90°，從而構(gòu)造△CDP≌△PHF，所以PD=HF，所以△PDF的面積S=PD2.

（2）問題（1）的第②問“求證：EA=FD”. 思路展示：構(gòu)造△PEQ≌△BPA，得到EQ=AP，PQ=AB，然后證明線段AQ=PD=FH（這步很關(guān)鍵，也是這一問的難點(diǎn)所在），最后證明△AEQ≌△FDH，得到AE=FD.

（3）問題（2）“求MN的取值范圍”. 思路展示：由△AEQ≌△FDH，可得∠1+∠2=90°，故∠AMD=90°，得出△EFM是直角三角形.由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得MN=EF，將“求MN的取值范圍”轉(zhuǎn)化為“求EF的取值范圍”.

（4）求線段EF的長度. 思路展示：過點(diǎn)F作FG⊥EQ，垂足為G. 設(shè)PD=x（0<x<4），則FH=AQ=x，AP=DH=EQ=4-x，故FG=QH=8，EG=EQ-FH=4-2x.在Rt△EFG中，由勾股定理得EF==.

（5）確定EF的取值范圍. 思路展示： 根據(jù)0<x<4，所以8≤EF<4，所以4≤MN<2.

思維成果共享的展示過程，既深化學(xué)生對問題全面正確的理解，又促進(jìn)學(xué)生對知識的深層認(rèn)知. 教師在肯定贊許這種解答過程的同時引導(dǎo)學(xué)生回顧完整的答案，重新斟酌，整合知識，從相互轉(zhuǎn)化的角度創(chuàng)新思考：對于線段MN的長度，還可以借助哪種方法求解？學(xué)生受到剛剛成功解答的鼓舞和教師的激發(fā)，課堂再次活躍起來，集思、討論、交流……拋開原有的思路，大膽嘗試新方法. 當(dāng)學(xué)生集體困惑時教師適時給出提示支架——采用解析幾何法，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)關(guān)鍵點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式表示EF的長度. 學(xué)生順著提示支架定能發(fā)現(xiàn)“建系”思路，從而進(jìn)一步創(chuàng)新解題方法，深化對答案的理解，提升知識間的綜合轉(zhuǎn)化能力.

（6）“建系”思路展示：如圖4所示，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系. 由AQ=PD=x，EQ=AP=4-x，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-x，8-x）；由FH=PD=x，DH=AP=4-x，得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（8-x，x+4）；由平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，得EF=……用代數(shù)法研究幾何圖形，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，再一次豐富了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生形成了勇于探索創(chuàng)新的精神，讓教學(xué)走在了發(fā)展的道路上.

效果評價——反思提升

對學(xué)習(xí)效果的評價可以是自評、他評或組評. 教師通過問題解決的全過程，引導(dǎo)學(xué)生充分反思，做出相關(guān)評價.

（1）自學(xué)能力的評價. 你能獨(dú)立解決本題到什么程度？在你獨(dú)立解題時是否關(guān)注過對隱含條件的挖掘，對幾何模型的提煉？對題目中的某個關(guān)鍵條件你是如何處理的？突破難點(diǎn)時是否有效利用了支架的輔助功能？有沒有多角度地創(chuàng)新解題思路？

（2）對小組學(xué)習(xí)做貢獻(xiàn)的評價. 有沒有參與小組的討論并展示自己的觀點(diǎn)？在聆聽的過程中有沒有吸收他人的觀點(diǎn)？小組內(nèi)的交流討論對你有哪方面的幫助？針對本題你為小組做了哪些貢獻(xiàn)？

（3）對本題知識建構(gòu)的評價. 通過本題的解決你真正理解并掌握了相關(guān)知識嗎？能否規(guī)范整理出解答過程？思維、運(yùn)算過程是否可以變得再簡捷些？解題開始時的困惑是心理上的障礙還是知識方法上的不足？通過問題的解決你獲得了哪些方面的收獲？這些收獲中對你幫助最大的是什么？這樣不斷地質(zhì)疑、反思、評價能使學(xué)生的解題過程更清晰，解題思路更明朗，解題方法更靈活，有效完成知識建構(gòu).

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實質(zhì)是面向問題解決的學(xué)習(xí)，需要教師準(zhǔn)確地分析學(xué)生的現(xiàn)有水平和潛在水平，帶領(lǐng)學(xué)生通過問題解決而達(dá)到新的發(fā)展水平. 支架式教學(xué)正是從學(xué)生思維的現(xiàn)有水平出發(fā)，利用支架有效等價轉(zhuǎn)化問題，提升學(xué)生的高階思維能力，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會利用各種途徑構(gòu)建支架來支持自己學(xué)習(xí)，使自己慢慢成長為具有自主學(xué)習(xí)能力的學(xué)習(xí)者.

作者簡介：朱敏敏（1979—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.