李松

[摘? 要] 初三復(fù)習(xí)課是統(tǒng)領(lǐng)初中所學(xué)內(nèi)容，建構(gòu)知識(shí)體系，提升應(yīng)用知識(shí)技能的關(guān)鍵手段. 在復(fù)習(xí)課中教師要以問(wèn)題激發(fā)學(xué)生思考，以聯(lián)想啟發(fā)學(xué)生思維，提高學(xué)生綜合能力，催生初三復(fù)習(xí)課新的生長(zhǎng)點(diǎn).

[關(guān)鍵詞] 問(wèn)題引領(lǐng);聯(lián)想啟發(fā);專(zhuān)題復(fù)習(xí)

初三復(fù)習(xí)課是提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)能力的重要途徑，也是建構(gòu)知識(shí)體系，深化數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的重要手段. 復(fù)習(xí)的過(guò)程不是簡(jiǎn)單地重復(fù)和記憶，是利用頭腦中已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，去提取信息、建構(gòu)體系、發(fā)現(xiàn)和更新問(wèn)題，產(chǎn)生新的知識(shí)結(jié)構(gòu). 初三復(fù)習(xí)課的有效性直接影響著學(xué)生在中考中的發(fā)揮，其重要性顯而易見(jiàn).

如何才能上好初三復(fù)習(xí)課，提高上課的效率，使學(xué)生在復(fù)習(xí)課中收獲新的知識(shí)、總結(jié)思想方法、觸發(fā)新的生長(zhǎng)點(diǎn)，從而提高綜合素養(yǎng). 復(fù)習(xí)課必須規(guī)避原有的“炒冷飯”或“習(xí)題課”的誤區(qū)，復(fù)習(xí)課上出新意，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，才能使學(xué)生避免“聽(tīng)起來(lái)懂、看起來(lái)會(huì)、做起來(lái)錯(cuò)”的現(xiàn)狀. 一直以來(lái)數(shù)學(xué)教師都在探索初三復(fù)習(xí)課的教學(xué)模式和教學(xué)方法，筆者認(rèn)為初三復(fù)習(xí)課不能上成“新課重教”，要以問(wèn)題串的形式引領(lǐng)學(xué)生將知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，拓寬學(xué)生的視野，發(fā)展思維品質(zhì).

筆者以“相似三角形專(zhuān)題復(fù)習(xí)課”為例，談一談如何在復(fù)習(xí)課中激發(fā)學(xué)生的想象力，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，并能調(diào)動(dòng)思維積極尋找解題的路徑，以供大家互相交流學(xué)習(xí).

教學(xué)過(guò)程

1. 故事導(dǎo)入，點(diǎn)燃學(xué)習(xí)激情

2021年第62屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）競(jìng)賽中，中國(guó)國(guó)家隊(duì)再創(chuàng)輝煌，以208分的總成績(jī)獲得團(tuán)隊(duì)總分第一名. 6名國(guó)家隊(duì)隊(duì)員全部獲得金牌，再次登上IMO頂峰，獲得第22次世界第一. 在歷屆國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，中國(guó)的學(xué)生表現(xiàn)十分優(yōu)異，經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，這些獲獎(jiǎng)學(xué)生都有一個(gè)通性，即在學(xué)習(xí)中善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出問(wèn)題，但是反觀日常的學(xué)習(xí)中，很少有學(xué)生能夠主動(dòng)提出問(wèn)題.

師：同學(xué)們，你們?cè)鯓涌创@種現(xiàn)象？

生1：我覺(jué)得我們每天的作業(yè)太多了，忙著寫(xiě)作業(yè)都來(lái)不及了，還要應(yīng)付各種考試，根本沒(méi)有什么時(shí)間去思考什么問(wèn)題.

生2：也不是說(shuō)我們只喜歡解題，是因?yàn)槲覀內(nèi)鄙偃グl(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的機(jī)會(huì)，日常學(xué)習(xí)中沒(méi)有給我們創(chuàng)造這樣的環(huán)境.

師：從科學(xué)的發(fā)展過(guò)程來(lái)看，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要，聽(tīng)了同學(xué)們的發(fā)言，老師的感觸也非常深，在課堂上應(yīng)把更多的空間留給你們. 今天我們這節(jié)課希望同學(xué)們能夠多多發(fā)揮創(chuàng)造性，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.

設(shè)計(jì)評(píng)價(jià) 課前以中國(guó)學(xué)生在國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽中取得的優(yōu)異成績(jī)的故事開(kāi)場(chǎng)，看似與課程無(wú)關(guān)，實(shí)則在思想上振奮了學(xué)生，創(chuàng)造了一個(gè)積極的氛圍. 這樣的開(kāi)場(chǎng)讓人眼前一亮，也讓學(xué)生意識(shí)到本課的主題，激發(fā)了學(xué)生的積極性，在接下來(lái)的學(xué)習(xí)中學(xué)生都能踴躍發(fā)言，積極開(kāi)動(dòng)腦筋，全身心投入學(xué)習(xí)的狀態(tài)中去.

2. 操作實(shí)踐，導(dǎo)入課題

師：（多媒體進(jìn)行展示）教師進(jìn)行提問(wèn)示范，現(xiàn)在需要在一個(gè)銳角△ABC中畫(huà)一個(gè)矩形，并且這個(gè)矩形需要滿足它的四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形的三條邊上. （教師同時(shí)也進(jìn)行操作）

（學(xué)生思考并動(dòng)手操作）

師：同學(xué)們可以前后觀察比較一下，你們畫(huà)的矩形都一樣大嗎？

生（眾）：不一樣.

師：剛才我看了一下，同學(xué)們和我畫(huà)的差不多（多媒體展示），但是也出現(xiàn)了一些和老師畫(huà)的不一樣的圖形，總體上老師概括了一下有五種（多媒體展示五種情況）. 你們覺(jué)得可以進(jìn)行分類(lèi)嗎？

生3：可以分為一類(lèi)是矩形一條邊在BC上，如圖1、圖2、圖3，另外一類(lèi)矩形的一條邊可以在AB或者AC上，如圖4、圖5.

師：你歸納的非常好，觀察的也很仔細(xì).

現(xiàn)在我們來(lái)觀察一下這些矩形，從位置上看它們有什么共同的特點(diǎn)？

生4：矩形四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形的邊上，而且都在三角形的內(nèi)部.

師：你們能給這些矩形取一個(gè)名字嗎？

生4：我們可以仿照曾經(jīng)學(xué)過(guò)的圓的內(nèi)接三角形取一個(gè)名字，叫三角形的內(nèi)接矩形.

師：太貼切了，而且仿照?qǐng)A的內(nèi)接三角形來(lái)命名，反映出你非常會(huì)類(lèi)比聯(lián)想，這也給我們發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題做出了很好的示范. 同學(xué)們同意這樣的命名方式么？

生（眾）：同意.

師：下面我們將以這個(gè)三角形的內(nèi)接矩形來(lái)展開(kāi)聯(lián)想. （板書(shū)課題）

問(wèn)題：如圖6，已知△ABC的面積是48，BC的長(zhǎng)度為12.

師：同學(xué)們想一想，根據(jù)已知條件可以求三角形的哪些未知要素呢？請(qǐng)你計(jì)算一下.

生：我們可以求三角形的高，如圖7，高AH的長(zhǎng)度為8.

繼續(xù)展示：△ABC的內(nèi)接矩形PQMN.

師：同學(xué)們觀察這個(gè)三角形的內(nèi)接矩形，你能根據(jù)已有的知識(shí)想到什么結(jié)論嗎？

生5：我想到了△APQ和△ABC是相似三角形.

師：所以這里利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的性質(zhì).

師：對(duì)于矩形來(lái)說(shuō)，我們需要研究矩形的長(zhǎng)和寬，你能確定如圖6所示中矩形PQMN的兩條邊長(zhǎng)嗎？

生（眾）：不能.

師：看來(lái)單單有三角形的面積和邊長(zhǎng)還不能確定矩形的邊長(zhǎng)，所以剛剛同學(xué)們畫(huà)出的矩形有大有小，那么我們還需要再添加一些條件.

（1）如果PQ的長(zhǎng)度為9，你能不能根據(jù)相似三角形的知識(shí)求出這時(shí)矩形的另一條邊PN的長(zhǎng)度.

師：請(qǐng)同學(xué)們自己列式并進(jìn)行計(jì)算.

生6：=，即=，所以PN的長(zhǎng)度等于2.

師：你的解題過(guò)程中應(yīng)用了什么定理？

生6：應(yīng)用了相似三角形對(duì)應(yīng)的高的比等于相似比的性質(zhì).

設(shè)計(jì)評(píng)價(jià) 老師先提出問(wèn)題進(jìn)行示范，學(xué)生一邊動(dòng)手操作畫(huà)矩形一邊思考問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維. 通過(guò)學(xué)生聯(lián)想三角形的內(nèi)接圓給內(nèi)接矩形取名字，聯(lián)系了已學(xué)知識(shí)，又讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的趣味性，滲透了數(shù)學(xué)的知識(shí)遷移和類(lèi)比思想. 這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)讓人眼前一亮，獨(dú)具特色. 接下來(lái)教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形的一些性質(zhì)和定理，為啟發(fā)學(xué)生提問(wèn)題做好鋪墊. 在教學(xué)過(guò)程中從學(xué)生熟悉的問(wèn)題導(dǎo)入，讓學(xué)生由易到難、由淺入深的開(kāi)展學(xué)習(xí)，使學(xué)生提高了解題的能力，總結(jié)解題方法，為接下來(lái)進(jìn)一步的深入學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3. 提出問(wèn)題，引導(dǎo)探究

師：經(jīng)過(guò)上面的研究我們知道了只要確定矩形的一條邊，那么矩形的其他相關(guān)條件也就確定了. 因此接下來(lái)我們將條件進(jìn)行一些改動(dòng)：

（2）如果設(shè)PQ為x，請(qǐng)同學(xué)們發(fā)揮你的想象，可以根據(jù)已知條件提一些問(wèn)題嗎？

師：同學(xué)們?cè)谛〗M內(nèi)進(jìn)行交流，并組織好語(yǔ)言將問(wèn)題寫(xiě)下來(lái).

討論過(guò)后，每個(gè)小組都展示了自己的問(wèn)題.

第一小組：可以求矩形另一邊的長(zhǎng)度.

師：這時(shí)矩形的另一邊的長(zhǎng)度固定嗎？問(wèn)題可以直接解答？同學(xué)們看一看有沒(méi)有方法可以改進(jìn)？

第二小組：這時(shí)矩形另一邊的長(zhǎng)度是不固定的，所以我們經(jīng)過(guò)討論，用x的代數(shù)式表示矩形PQMN的另一條邊PN的長(zhǎng)度.

師：同學(xué)們注意提出問(wèn)題需要考慮嚴(yán)謹(jǐn)性和周密性.

第二小組：設(shè)矩形PQMN的面積為S，周長(zhǎng)為C，請(qǐng)寫(xiě)出S和C關(guān)于PQ的長(zhǎng)度x的函數(shù)解析式.

師：很好，同學(xué)們已經(jīng)在建立模型了，我們的提問(wèn)又上升了一個(gè)層次.

第二小組：還可以求x的取值范圍是什么？

學(xué)生紛紛笑起來(lái).

師：大家笑是因?yàn)閱?wèn)題太簡(jiǎn)單了嗎？這個(gè)問(wèn)題雖然不難，但是卻非常重要，因?yàn)樗『脧浹a(bǔ)了剛才函數(shù)解析式的不足，我們不應(yīng)該嘲笑這樣的問(wèn)題，我們應(yīng)該給他鼓鼓掌.

第三小組：用含有x的代數(shù)式表示矩形PQMN的對(duì)角線PM. 當(dāng)x為多少時(shí)，矩形PQMN是一個(gè)正方形？

師：你們是怎么想到的呢？

第三小組：因?yàn)橐岢龊途匦斡嘘P(guān)的問(wèn)題，矩形有一種特殊情況就是正方形，所以我們組想到在什么情況下矩形會(huì)變成正方形，就提出了這個(gè)問(wèn)題.

師：很好，這是一種從一般到特殊的研究方法，看來(lái)你們的數(shù)學(xué)研究理論已經(jīng)掌握的非常好了，可以進(jìn)行聯(lián)想提出問(wèn)題，讓我們?cè)賮?lái)聽(tīng)一聽(tīng)其他小組還有問(wèn)題嗎？

第四小組：當(dāng)x的值為多少時(shí)，矩形PQMN的面積最大呢？最大的面積是多少？

師：你們緊接著第二小組的問(wèn)題，求函數(shù)的最值問(wèn)題，將函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行了靈活地應(yīng)用.

第四小組：當(dāng)x的值為多少時(shí)，矩形PQMN的面積恰好是△ABC面積的一半？

第五小組：當(dāng)矩形的一條邊在三角形的邊上時(shí)，P、Q分別在什么位置，矩形PQMN的面積最大？

師：很好，你們小組進(jìn)一步研究了面積的問(wèn)題. 同學(xué)們講得都太好了，提出了這么多精彩的問(wèn)題，讓我們?cè)贋樽约汗墓恼? （學(xué)生集體鼓掌.）

師：下面我們把大家提出的問(wèn)題按照邏輯順序進(jìn)行重新排序.

學(xué)生交流討論，得到了如下的排序結(jié)果：

①用含有x的代數(shù)式表示矩形PQMN的另一條邊PN;②用x的代數(shù)式表示矩形對(duì)角線;③求x的值為多少時(shí)，矩形四條邊相等;④求矩形PQMN周長(zhǎng)C和面積S關(guān)于PQ的長(zhǎng)度x的函數(shù)解析式;⑤求x的取值范圍，并且解答矩形面積最大時(shí)，x的值;⑥當(dāng)x的值為多少時(shí)，矩形PQMN的面積恰好是△ABC的一半;⑦當(dāng)矩形的一條邊在三角形的邊上時(shí)，那么P、Q分別在什么位置可以讓正方形的面積最大.

師：考慮到課堂時(shí)間有限，問(wèn)題①和④由同學(xué)們自己解決，將問(wèn)題③和⑥的答案寫(xiě)在作業(yè)紙上，在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)都利用了相似三角形對(duì)應(yīng)高線之比等于相似比的性質(zhì).

設(shè)計(jì)評(píng)價(jià) 教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行提問(wèn)，首先設(shè)定了條件，設(shè)PQ為x，體現(xiàn)了教師對(duì)課堂的組織和指導(dǎo)作用，同時(shí)又尊重了學(xué)生的主體地位，將課堂還給學(xué)生，給學(xué)生思考的空間. 在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，教師提出的問(wèn)題具有開(kāi)放性，但同時(shí)又能把控課堂節(jié)奏，既放得開(kāi)又能收得住，使學(xué)生能夠跟隨教師充分調(diào)動(dòng)自己學(xué)習(xí)的積極性. 這樣的設(shè)計(jì)過(guò)程使學(xué)生的思維得到了拓展，回憶了舊知，同時(shí)將新舊知識(shí)相聯(lián)系，對(duì)解決問(wèn)題的方法有了新的感悟.

4. 變式練習(xí)，生成智慧

師：同學(xué)們剛才我們提出了一系列三角形內(nèi)接矩形的問(wèn)題，那么對(duì)于三角形內(nèi)接正方形，我們又可以提出怎樣的問(wèn)題呢？

變式1：如圖8，已知△ABC的面積為48，BC的長(zhǎng)度為12，如果△ABC內(nèi)有小正方形組成的矩形，小正方形一共有2個(gè)，那么可以求小正方形的邊長(zhǎng)嗎？

師：老師作了一個(gè)示范，你還能提出一些相關(guān)的問(wèn)題嗎？

生7：求并排放3個(gè)全等小正方形的邊長(zhǎng).

師：怎么解答呢？

生7：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和正方形四條邊相等的性質(zhì)，兩個(gè)全等的正方形拼成的長(zhǎng)方形長(zhǎng)是寬的3倍，可以列出一元一次方程：3

8-x

=x. 解方程可得出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，進(jìn)而求出正方形的邊長(zhǎng).

生8：如圖10，如果求并排放置n個(gè)全等小正方形的邊長(zhǎng)，即可列出方程：n

8-x

=x.

師：說(shuō)得太精彩了，這是一次成功的聯(lián)想和推理，現(xiàn)在我們把圖形作了如下改變.

變式2：如圖9，已知△ABC的面積為48，BC的長(zhǎng)度為12，如果縱向放置2個(gè)全等的正方形組成的矩形內(nèi)接于△ABC，那么小正方形的邊長(zhǎng)是多少？

師：怎么求這個(gè)邊長(zhǎng)呢？

生9：設(shè)PQ的長(zhǎng)度為x，則可利用方程8-x=2x求解.

生10：老師，可以拓展到n個(gè)正方形的縱向擺放，即可列出方程8-x=nx，進(jìn)而求小正方形的邊長(zhǎng).

師：同學(xué)們的問(wèn)題太精彩了，觀察圖11，我們改變每一層正方形的大小，我們還可以利用相似三角形的性質(zhì)來(lái)求小正方形的邊長(zhǎng).

設(shè)計(jì)評(píng)價(jià) 兩道變式訓(xùn)練的難度不大，但是使學(xué)生從觀察過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了基本的建模思想，突出了本課聯(lián)想的主題，學(xué)生提出問(wèn)題的過(guò)程實(shí)際是調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行綜合運(yùn)用的過(guò)程，首先提出問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題，發(fā)揮了學(xué)生的創(chuàng)新思維[1].

5. 拓展延伸，開(kāi)闊視野

師：我們還可以觀察內(nèi)接正方形的大小思考：

變式3：如圖12，在銳角△ABC中，BC的長(zhǎng)度為12，△ABC的面積為48，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是AB和AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且PQ與BC平行，以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)，作正方形PQMN，你能提出什么問(wèn)題嗎？

學(xué)生思考交流，展示自己的問(wèn)題.

6. 小結(jié)提升，引導(dǎo)反思

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小結(jié)和反思，歸納本課知識(shí)點(diǎn).

總評(píng)

這是一節(jié)開(kāi)放性的課堂，讓學(xué)生充分展開(kāi)了想象的翅膀，但是課堂始終圍繞著教學(xué)目標(biāo)展開(kāi)，并沒(méi)有松散，這對(duì)教師的教學(xué)基本功和教學(xué)能力都是一次重大的考驗(yàn). 整節(jié)課流暢自然又生動(dòng)有趣，充分激發(fā)了學(xué)生探索的欲望，讓課堂充滿創(chuàng)意性. 通過(guò)聯(lián)想的方法讓學(xué)生既將所學(xué)知識(shí)交織成知識(shí)面，起到了復(fù)習(xí)鞏固的作用，又啟發(fā)了學(xué)生的智慧，發(fā)展了學(xué)生的思維能力[2].

本課以問(wèn)題承載課堂，充分發(fā)揮了教師的引導(dǎo)作用，落實(shí)了以學(xué)生為中心的理念，給學(xué)生創(chuàng)造了充分的思考空間，讓學(xué)生通過(guò)自己的發(fā)現(xiàn)提出問(wèn)題并解決問(wèn)題，經(jīng)過(guò)變式訓(xùn)練進(jìn)一步鞏固學(xué)生的認(rèn)識(shí). 從三角形內(nèi)接矩形進(jìn)行聯(lián)想，由三角形內(nèi)接矩形再到三角形內(nèi)接正方形，從靜態(tài)拓展到動(dòng)態(tài)，不斷升級(jí)問(wèn)題，鍛煉學(xué)生的思維，學(xué)生的情感在師生的互動(dòng)中產(chǎn)生碰撞，給復(fù)習(xí)課堂注入了新的活力.

總之，本節(jié)課思路清晰，獨(dú)特的教學(xué)設(shè)計(jì)，為學(xué)生思維的發(fā)展搭建了廣闊的平臺(tái)，學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中提升了綜合應(yīng)用知識(shí)的能力，點(diǎn)燃了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情.

參考文獻(xiàn)：

[1] 鐘建林. 什么樣的三角形可以分成兩個(gè)等腰三角形[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2003（07）：24-26.

[2] 項(xiàng)志成. 初中數(shù)學(xué)德育實(shí)踐研究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（35）：41-42.