王業(yè)流

[摘? 要] 數(shù)學(xué)知識具有概括性、抽象性的特點，學(xué)生只有具備數(shù)學(xué)抽象思想方法，才會提取有效的信息，建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題，認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì). 數(shù)學(xué)抽象是指能夠從具體的情境中提煉數(shù)學(xué)模型建構(gòu)知識的能力，教師要通過問題引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識的抽象性，體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程，不斷探索問題的本質(zhì)，提升學(xué)生的抽象思維能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)抽象;理性認(rèn)識;本質(zhì)

數(shù)學(xué)抽象是從具體的事物和現(xiàn)象中概括出數(shù)學(xué)原理、方法、思想. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程始終貫穿著數(shù)學(xué)抽象思想方法. 首先，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、定理、規(guī)則、公式等，需要通過數(shù)學(xué)抽象能力進(jìn)行概括和推導(dǎo);其次，在解決實際問題的過程中，只有通過數(shù)學(xué)抽象才能與數(shù)學(xué)知識建構(gòu)聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)模型，在知識遷移中解決問題. 數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的橋梁，只有具備數(shù)學(xué)抽象思想方法才能認(rèn)識事物的本質(zhì)特征，體會數(shù)學(xué)的魅力. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，發(fā)展抽象思維能力是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本要求. 數(shù)學(xué)教學(xué)如果僅僅滿足于知識的傳授和講解，讓學(xué)生停留在模仿解題的階段，未能進(jìn)行深度思考，深化思維認(rèn)識，就不利于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展. 筆者在教學(xué)實踐中不斷探尋培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的方法，產(chǎn)生了一些體會和思考，下面以“一次函數(shù)與二元一次方程”為例，談一談如何在教學(xué)實踐中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力.

教學(xué)過程

1. 溫故知新，提出問題

師：（通過多媒體展示x+y=3）大家觀察一下這個式子屬于哪一類方程.

生1：這個式子屬于方程中的二元一次方程.

師：對這個二元一次方程進(jìn)行恒等變形，比如得到y(tǒng)=-x+3，這時它又是一個什么式子呢？

生2：變成了一次函數(shù).

師：此時，現(xiàn)在我們知道了一個式子可以同時有兩個不同的概念，既可以是方程，又可以是函數(shù)，雖然這是兩個完全不同的概念，但是它們之間有沒有什么關(guān)系呢？

設(shè)計意圖? 以學(xué)過的簡單等式創(chuàng)設(shè)情境，通過設(shè)計問題導(dǎo)入新課，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入新課學(xué)習(xí)狀態(tài)，以情境作為新課探究的起點. 讓學(xué)生通過情境感受到數(shù)學(xué)知識之間存在聯(lián)系和邏輯順序，激發(fā)學(xué)生探究新知的好奇心，并在數(shù)學(xué)知識中滲透了數(shù)學(xué)抽象思想.

2. 提煉類比，歸納新知

（1）二元一次方程與一次函數(shù)

師：二元一次方程x+y=3有幾個解？任意取一個解，如x等于1，y等于2時，對應(yīng)的點的坐標(biāo)（1，2）在函數(shù)y=-x+3的圖象上嗎？

生3：我們可以把函數(shù)y=-x+3的圖象畫出來，通過觀察圖象就知道點（1，2）是否在函數(shù)y=-x+3的圖象上. 換言之，方程x+y=3的解是直線y=-x+3上的點的坐標(biāo).

師：剛才的解答中得到了方程x+y=3的一個解，那么方程x+y=3還有其他的解嗎？這個規(guī)律還適用嗎？

生4：我們可以通過舉例進(jìn)行說明，再找方程x+y=3的一個解，當(dāng)x等于-1，y等于4時，對應(yīng)的點的坐標(biāo)就是（-1，4），我們可以看到這個點同樣在對應(yīng)函數(shù)的圖象上.

師：同學(xué)們，通過剛才的研究，我們有沒有發(fā)現(xiàn)二元一次方程和一次函數(shù)之間有著怎樣的聯(lián)系呢？

（學(xué)生通過觀察、思考和交流，得到了直觀的結(jié)論）

生5：通過剛才列舉的兩個例子，我們知道二元一次方程的解就是一次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo).

（2）一次函數(shù)與二元一次方程組

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們了解的是哪兩者之間的關(guān)系？

生6：二元一次方程與一次函數(shù)之間的關(guān)系.

師：那么你們覺得接下來還需要了解一次函數(shù)與什么之間的關(guān)系呢？

生7：還有二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系.

師：我們可以通過剛才的探究方法來研究二元一次方程組的解與一次函數(shù)的關(guān)系.

（小組進(jìn)行討論交流，然后展示結(jié)果）

小組匯報：二元一次方程組的解，也就是兩個二元一次方程的公共解，我們畫出了對應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象，它們相交的點的坐標(biāo)就是二元一次方程組的解;接下來，我們驗證了相交點的坐標(biāo)是否為這兩個二元一次方程的公共解，于是明白了二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系.

師：非常好，從剛才的解答過程中我們不僅探究了兩者之間的關(guān)系，而且學(xué)會了一種新的解二元一次方程組的方法，這種方法在數(shù)學(xué)上叫圖象法.

師：下面同學(xué)們把剛才解答二元一次方程組的過程總結(jié)一下.

學(xué)生總結(jié)出利用圖象法求解二元一次方程組的步驟：首先是轉(zhuǎn)化，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的兩個一次函數(shù);其次將兩個一次函數(shù)的圖象畫出來進(jìn)行觀察;再次通過觀察找到兩條直線的交點的坐標(biāo)，確定二元一次方程組的解.

師：我們仿照前面總結(jié)二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系來總結(jié)二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系.

（學(xué)生經(jīng)過觀察和討論，非常輕松地得到了二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系）

設(shè)計意圖? 這一環(huán)節(jié)通過設(shè)置符合學(xué)生的認(rèn)知水平、貼近學(xué)生實際的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、探究和解決，使學(xué)生親身體驗如何去探討兩者的關(guān)系，體會分析問題的思路，以及經(jīng)歷知識發(fā)現(xiàn)的過程. 教學(xué)中教師通過設(shè)計層層遞進(jìn)的問題，幫助學(xué)生更好地概括一次函數(shù)與二元一次方程以及二元一次方程組的關(guān)系;同時，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題中運用的數(shù)學(xué)方法，體會數(shù)形結(jié)合思想.

3. 鞏固提升，深化認(rèn)識

問題1：有兩個探測氣球分別用來探測海拔的高度，其中1號探測氣球位于海拔5米的高度，以每分鐘1米的速度上升;2號探測氣球位于海拔15米的高度，以每分鐘0.5米的速度上升.

（1）請你將兩個探測氣球所在位置的海拔高度y（單位：m）與上升的時間x（單位：min）之間的函數(shù)關(guān)系表示出來.

（2）兩個探測氣球能不能在某一個時刻處于同一高度？如果可以，請你分別計算出兩個探測氣球所在的海拔高度和上升時間.

學(xué)生討論交流，教師進(jìn)行點撥，審題后運用所學(xué)知識逐步進(jìn)行解答. （解答過程略）

問題2：如圖1所示，根據(jù)上述的解題過程，若從函數(shù)的觀點來看方程組y=x+5，

y=0.5x+15，可以得到哪些結(jié)論？得到的結(jié)論可以進(jìn)行推廣嗎？

通過剛才的探討，學(xué)生知道了每個二元一次方程組都對應(yīng)著兩個一次函數(shù)，即兩條直線，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想. 從“數(shù)”的角度來說，求解二元一次方程組相當(dāng)于求自變量為何值時對應(yīng)的兩個一次函數(shù)的值相等;從“形”的角度來說，二元一次方程組的解就是確定兩個一次函數(shù)相交的點的坐標(biāo).

設(shè)計意圖? 將數(shù)學(xué)知識在具體問題中的應(yīng)用抽象概括得到的定理推廣到一般問題的應(yīng)用中，是一個類屬性同化的過程，也是一個從高層次進(jìn)行抽象概括的過程. 問題1以探測氣球升空為背景，通過函數(shù)知識解決問題，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想并加深學(xué)生對二元一次方程組的理解. 通過新知運用，強(qiáng)化學(xué)生對一次函數(shù)與二元一次方程組關(guān)系的認(rèn)識，加深學(xué)生對這一知識的印象.

4. 課堂小結(jié)，梳理知識

在探究問題的基礎(chǔ)上，教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的研究過程，然后進(jìn)行課堂小結(jié).

從函數(shù)的角度，說一說今天涉及的二元一次方程和二元一次方程組的聯(lián)系，并且說一說你知道的解二元一次方程組的新方法. 在探究一次函數(shù)與二元一次方程以及二元一次方程組關(guān)系的過程中，運用了哪些思想方法？

設(shè)計意圖? 總結(jié)本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法，鞏固解題思路，主要包括以下內(nèi)容：第一，總結(jié)一次函數(shù)與二元一次方程以及二元一次方程組之間的關(guān)系;第二，學(xué)習(xí)用圖象法解二元一次方程組;第三，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法. 在教學(xué)過程中，教師不止著眼于解決問題，還立足于數(shù)學(xué)抽象思想方法的滲透，強(qiáng)調(diào)引領(lǐng)學(xué)生在探究過程中獲得結(jié)論，用不同的數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)概念和原理，梳理知識點之間的關(guān)系.

教學(xué)反思與體會

數(shù)學(xué)抽象能力是運用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行空間和數(shù)量的整合加工的能力. 教育心理學(xué)家稱之為反省抽象，指通過數(shù)學(xué)語言將數(shù)學(xué)理論的形成過程進(jìn)行表述. 數(shù)學(xué)抽象具有數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特點，與其他學(xué)科有所區(qū)別：第一，數(shù)學(xué)抽象只存在數(shù)量和空間形式間的關(guān)系，而把其余的關(guān)系都舍去了;第二，數(shù)學(xué)抽象是逐步提高、層層遞進(jìn)的，數(shù)學(xué)中形成的抽象程度比其他學(xué)科形成的抽象程度要大很多;第三，數(shù)學(xué)本身就是圍繞著抽象的概念、定理、公式以及它們之間的關(guān)系而展開的. 學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到數(shù)學(xué)難懂，而教師覺得很難激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，究其原因就是數(shù)學(xué)具有高度的抽象性和概括性. 數(shù)學(xué)教師教學(xué)時要從具體的問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識形成的過程，從具象到抽象，實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在體驗的過程中提高抽象思維能力.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象

課程開始，教師通過將復(fù)雜的問題進(jìn)行簡約化處理，初步把握事物在數(shù)量和圖形方面的本質(zhì)屬性，在直觀的基礎(chǔ)上使復(fù)雜的問題呈現(xiàn)出邏輯條理化，培養(yǎng)學(xué)生具備初步的抽象能力. 為了直觀地呈現(xiàn)事物的要素，教材給出了貼近學(xué)生實際生活的情境、符合知識規(guī)律的情境以及一般知識產(chǎn)生的情境等，這些情境要素具有感知優(yōu)勢，能夠刺激大腦，并與大腦中的其他要素分離，從而將事物的本質(zhì)特征抽離出來. 本課案例中，將材料呈現(xiàn)給學(xué)生形成正向刺激，使學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)和提出問題，并能夠分析和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思想方法.

2. 建構(gòu)認(rèn)知，具備數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的過程，也是從具體內(nèi)容到符號表達(dá)的過程. 教師將具體問題中的部分內(nèi)容除掉，通過圖形、文字、符號等將事物簡約地表達(dá)出來，使學(xué)生開始具備數(shù)學(xué)抽象思想. 用數(shù)學(xué)符號表達(dá)數(shù)學(xué)知識是學(xué)生抽象思維形成的關(guān)鍵，只有在已有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行新知建構(gòu)，才能不斷完善知識體系，理解數(shù)學(xué)知識. 從這個意義來說，學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)對于新知的學(xué)習(xí)具有關(guān)鍵性的作用，因此教師要基于學(xué)生已有的知識，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)開展教學(xué)設(shè)計. 原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新知的學(xué)習(xí)具有決定性作用，首先是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性，即舊知與新知之間的聯(lián)系，如果舊知被用來學(xué)習(xí)新知的利用率低，或者與新知之間的聯(lián)系較少，那么勢必會影響到新知學(xué)習(xí)，不利于學(xué)生對新知的理解. 其次是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和清晰性，如果原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不固定或不清晰，那么其難以成為新知學(xué)習(xí)的著力點，而且在新知學(xué)習(xí)過程中容易導(dǎo)致新舊知識混淆，難以區(qū)分知識點的不同. 以上兩個特性說明了實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的意義，為了使學(xué)生具備數(shù)學(xué)抽象思想，教學(xué)中教師要著力塑造和完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3. 概括類比，深化數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象由符號階段進(jìn)一步推廣到一般化的問題和場景中，通過推理、假設(shè)等方法建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生掌握一類問題的特征和解決規(guī)律. 教師需要對教學(xué)材料進(jìn)行有意義的加工，使原來抽象的知識在學(xué)生心中成為能夠看得見摸得著的東西，使學(xué)習(xí)的價值進(jìn)一步彰顯. 那么如何對抽象的知識進(jìn)行改造，使抽象的知識變得“實體化”呢？教師可以通過概括和類比的方法，對比同一性質(zhì)的對象內(nèi)在的相似性，以及結(jié)構(gòu)上的一致性. 概括類比一般可以通過以下步驟進(jìn)行：首先根據(jù)某一特征將相似的對象集合在一起，確定合適的對象;其次將類比對象的屬性列舉出來;再次根據(jù)列舉出的基本屬性進(jìn)行有規(guī)律性猜想;最后通過數(shù)學(xué)知識驗證這個猜想. 由此，我們可以看到歸納類比思想在啟發(fā)學(xué)生探索解題過程中具有非常重要的作用，同時也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的重要方法.

綜上所述，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的必備素養(yǎng). 教學(xué)中教師要通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行情境探究，探索問題本質(zhì)，逐步培養(yǎng)學(xué)生從具體內(nèi)容中抽象概括數(shù)學(xué)知識的能力，助力學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升核心素養(yǎng).