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        基于直觀想象 多維構(gòu)造解法

        2022-07-04 18:52:15魏宇亭
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

        魏宇亭

        [摘要]中考試題,既要考查學(xué)生“四基“四能”的掌握情況,更應(yīng)考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展?fàn)顩r.文章以2021年徐州市中考數(shù)學(xué)試卷第21題為例,從試題命制和批改等角度,論述培養(yǎng)學(xué)生以直觀想象為代表的核心素養(yǎng)的教學(xué)啟示.

        [關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);直觀想象;多維解法

        《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化,利用空間形式尤其是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)[1].從定義上看,該素養(yǎng)主要涉及幾何直觀和空間想象兩個(gè)方面.孔凡哲和史寧中教授指出,幾何直觀是在直觀感知的感性基礎(chǔ)之上所形成的理性思考的結(jié)果,是學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的幾何屬性的整體把握和直觀判斷的能力[2].可見,幾何直觀是解決數(shù)學(xué)問題的思考途徑,能幫助學(xué)生認(rèn)清問題的實(shí)質(zhì),理清解題思路,探索解題方向.筆者參加2021年徐州市中考數(shù)學(xué)試卷命題,隨后負(fù)責(zé)第21題的批閱與仲裁,該題既考查了學(xué)生對(duì)三角形、平行四邊形、圓等基本圖形性質(zhì)的綜合應(yīng)用,又從直觀識(shí)圖和優(yōu)選解法兩個(gè)角度考查了學(xué)生以直觀想象為代表的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展?fàn)顩r.現(xiàn)就該題的命制設(shè)想、基于直觀想象的多維解法及批改中發(fā)現(xiàn)的典型錯(cuò)誤,淺談對(duì)教學(xué)的啟示.

        試題及出處

        試題如圖1所示,AB為⊙O的直徑,C,D兩點(diǎn)在⊙O上,AC與OD交于點(diǎn)E,AE=EC,OE=ED,連接BC,CD.求證:

        (1)△AOE≌△CDE;

        (2)四邊形OBCD是菱形.

        【出處:2021年徐州市中考數(shù)學(xué)試卷第21題.】

        命題設(shè)想

        1.簡(jiǎn)而不庸,突出考查學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

        本題是一道基礎(chǔ)證明題,設(shè)計(jì)該題時(shí),旨在將三角形、平行四邊形、圓等基本圖形融入一題,提高試題的綜合性和各知識(shí)間的關(guān)聯(lián)度,且在構(gòu)圖上追求簡(jiǎn)潔、形態(tài)美觀,所給條件明確,利于學(xué)生基于直觀想象順利解題.在圖形的選擇上,題中三角形和平行四邊形均為特殊圖形,具有特殊性質(zhì),內(nèi)涵豐富.特殊圖形的綜合,圖形特性的雜糅,為學(xué)生鋪設(shè)了多維的解題思路,也制造了優(yōu)選解法的挑戰(zhàn),能突顯出學(xué)生以直觀想象為代表的核心素養(yǎng)的發(fā)展?fàn)顩r.圖形中含有30°、60°、90°和120°的特殊角,也預(yù)設(shè)了運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想的解題條件,拓寬了解題思路,所以本題雖簡(jiǎn)單但不平庸.

        2.多維解法,突出考查學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)

        章建躍博士曾指出“推理是數(shù)學(xué)的命根子”.可見培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性.學(xué)生的邏輯推理能力是中考命題的重要考查點(diǎn),本題很好地體現(xiàn)了相關(guān)的考查要求.在設(shè)問上,第(1)問證明兩個(gè)三角形全等,第(2)問證明四邊形為菱形,這兩個(gè)結(jié)論的證得,均建立在嚴(yán)謹(jǐn)推理的基礎(chǔ)上.學(xué)生對(duì)圖形性質(zhì)的熟悉程度,對(duì)符號(hào)語言的規(guī)范使用,以及對(duì)邏輯結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)架構(gòu),是決定本題高質(zhì)量完成的重要因素.題干與設(shè)問層次分明,兩問之間的連續(xù)性強(qiáng),兩個(gè)問題步步拔高,層層遞進(jìn),第(1)問的結(jié)論恰是第(2)問的條件,突顯了命題的整體性、連續(xù)性和有效性.數(shù)學(xué)各核心素養(yǎng)不是孤立存在的,本題完美地體現(xiàn)了直觀想象和邏輯推理之間的遞進(jìn)關(guān)系.如求證第(1)問,學(xué)生在直觀想象的基礎(chǔ)上會(huì)產(chǎn)生兩種思路,其一,基于圖形直觀,易發(fā)現(xiàn)∠AEO與∠CED是一組對(duì)頂角,結(jié)合已有條件,易構(gòu)成“SAS”的條件,從而完成求證;其二,根據(jù)已知條件“AE=EC,OE=ED”,基于直觀想象,易發(fā)現(xiàn)連接OC,AD后所形成的四邊形AOCD為平行四邊形.雖然思路二略顯笨拙,但也是學(xué)生基于直觀想象的收獲,應(yīng)被認(rèn)可.學(xué)生在直觀想象的基礎(chǔ)上確定求證思路,用規(guī)范的邏輯推理過程完成求證,能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)間的傳導(dǎo)和綜合應(yīng)用.

        試題多維解法薈萃

        1.對(duì)于第(1)問,基于直觀想象的求證思路分析

        【維度1:基于對(duì)頂角相等的直觀想象】

        如圖2所示,根據(jù)題干條件“AC與OD交于點(diǎn)E”,學(xué)生基于直觀想象,運(yùn)用對(duì)頂角相等的性質(zhì),易得∠AEO=∠CED,再與題干條件“AE=EC,OE=ED”組合,由“SAS”可得△AOE≌△CDE.

        【維度2:基于發(fā)現(xiàn)平行四形AOCD的直觀想象】

        如圖3所示,根據(jù)題干條件“AE=EC,OE=ED”,連接OC,AD后,可證得四邊形AOCD為平行四邊形.于是可得AO=CD.再根據(jù)“SSS”可得△AOE≌△CDE.

        2.對(duì)于第(2)問,基于直觀想象的多維證法賞析

        試題匯聚了含30°角的直角三角形、菱形、圓等特殊圖形,基于直觀想象,第(2)問可產(chǎn)生多維解題思路.筆者整理后,繪制了如圖4所示的解題路徑圖.可見,在多維的求證思路中,簡(jiǎn)捷與繁雜共存.解題時(shí),學(xué)生要甄別優(yōu)選,這能在高階思維層面培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用直觀想象優(yōu)選對(duì)象的素養(yǎng).

        【維度1:用定義法證明四邊形OBCD是菱形】

        證法1因?yàn)椤鰽OE≌△CDE,所以O(shè)A=DC,∠OAC=∠DCE.所以AB∥CD.因?yàn)锳,B兩點(diǎn)在⊙O上,所以O(shè)A=OB.所以O(shè)B=DC.所以四邊形OBCD是平行四邊形.因?yàn)锽,D兩點(diǎn)在⊙O上,所以O(shè)B=OD.所以平行四邊形OBCD是菱形.

        證法3因?yàn)椤鰽OE≌△CDE,所以∠OAC=∠DCE.所以AB∥CD.如圖5所示,連接OC.因?yàn)锳,C兩點(diǎn)在⊙O上,所以O(shè)A=OC.又因?yàn)锳E=EC,所以O(shè)E⊥AC,即∠AEO=90°.因?yàn)锳B為⊙O的直徑,所以∠ACB=90°.所以∠AEO=∠ACB.所以O(shè)D∥BC.所以四邊形OBCD是平行四邊形.因?yàn)锽,D兩點(diǎn)在⊙O上,所以O(shè)B=OD.所以平行四邊形OBCD是菱形.

        【維度2:構(gòu)造“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”的判定條件】

        證法4如圖6所示,連接OC,AD,因?yàn)椤鰽OE≌△CDE,所以O(shè)A=CD,∠OAC=∠DCE.所以AB∥CD.所以四邊形OCDA為平行四邊形.因?yàn)锳,C兩點(diǎn)在⊙O上,所以O(shè)A=OC.所以平行四邊形OCDA是菱形.所以∠OAD=∠OCD.因?yàn)镺A=OB,所以O(shè)B=CD.又AB∥CD,所以四邊形OBCD是平行四邊形.所以∠CDB=∠ABD.連接BD交OC于點(diǎn)F.因?yàn)锳B是⊙O的直徑,所以∠ADB=90°.所以∠ABD+∠OAD=90°.所以∠OCD+∠CDB=90°.所以∠DFC=90°.所以O(shè)C⊥BD.所以平行四邊形OBCD是菱形.

        【維度3:構(gòu)造“四條邊相等的四邊形是菱形”的判定條件】

        OA=OB.因?yàn)锽,D兩點(diǎn)在⊙O上,所以O(shè)B=OD.所以O(shè)B=BC=CD=OD.所以四邊形OBCD是菱形.

        證法8如圖8所示,連接OC,AD.因?yàn)椤鰽OE≌△CDE,所以O(shè)A=CD,∠OAC=∠DCE.所以AB∥CD.所以四邊形OCDA為平行四邊形.因?yàn)锳,C兩點(diǎn)在⊙O上,所以O(shè)A=OC.所以四邊形OCDA是菱形.所以O(shè)A=AD.因?yàn)锳,D兩點(diǎn)在⊙O上,所以O(shè)A=OD.所以O(shè)A=OD=AD.所以△AOD為等邊三角形.所以∠AOD=60°.因?yàn)镺A=OC,AE=EC,所以O(shè)E⊥AC,即∠AEO=90°.因?yàn)锳B為⊙O的直徑,所以∠ACB=90°.所以∠AEO=∠ACB.所以O(shè)D∥BC.所以∠B=∠AOD=60°.因?yàn)锽,C兩點(diǎn)在⊙O上,所以O(shè)B=OC.所以△OBC為等邊三角形.所以O(shè)B=BC.因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)在⊙O上,所以O(shè)A=OB=DO.所以O(shè)B=BC=CD=DO.所以四邊形OBCD是菱形.

        上述8種證法均較有代表性.若再深入探究,尚有其他證法.學(xué)生基于直觀想象,從“形結(jié)構(gòu)”和“數(shù)形結(jié)合”兩方面均可完成求證,解題維度多樣.形象地說,試題為學(xué)生準(zhǔn)備了不同的入口,進(jìn)入后,均可發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的求證途徑.在多維的證法中有的簡(jiǎn)捷有的曲折,這需要學(xué)生對(duì)解法進(jìn)行優(yōu)選.在有限的時(shí)間內(nèi),學(xué)生要從眾多的解法中實(shí)現(xiàn)優(yōu)選,這拔高了對(duì)直觀想象能力的要求,而這恰是命題的亮點(diǎn).

        批改中的典型錯(cuò)誤對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

        1.注重概念教學(xué),強(qiáng)化“四基”“四能”的教學(xué)

        本題作為一道中檔題,預(yù)設(shè)難度不高,但在批改中發(fā)現(xiàn)了較多的錯(cuò)誤.錯(cuò)誤突出表現(xiàn)在,學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握不牢,直觀想象能力較差.如在第(1)問中,相當(dāng)多的學(xué)生不能在圖形中直觀發(fā)現(xiàn)∠AEO和∠CED是一組對(duì)頂角,從而構(gòu)成不了兩三角形全等的條件,解題思路被迫中斷.也有學(xué)生根據(jù)“AE=CE,OE=DE”直接得到AC⊥OD的結(jié)論,雖然AC與OD的確是垂直的位置關(guān)系,但根據(jù)上述兩條件直接得到該結(jié)論,理由不足,由此可見學(xué)生不能很好地掌握基本圖形的性質(zhì).還有學(xué)生由“AE=CE,OE=DE”得到四邊形OCDA為平行四邊形,從而得到∠OAE=4DCE,加上AE=CE,OE=DE后,堂而皇之地用“SSA”去證△AOE≌△CDE.因此,在教學(xué)中教師要注重生成概念的過程教學(xué),使學(xué)生體會(huì)蘊(yùn)含其中的思想方法和數(shù)學(xué)素養(yǎng),教學(xué)中還要發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力,如讓學(xué)生經(jīng)常思考圖形中的問題,如圖形的條件、圖形彼此間的關(guān)系、需要確定的結(jié)論等,嘗試用圖形來描述、理解并解決問題題可見,教學(xué)中教師有必要提高學(xué)生掌握“四基”“四能”的水平.

        2.在概念教學(xué)中厚植數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

        李邦河院士認(rèn)為:“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的,不是玩技巧.技巧不足道也![4]”由此可見數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心地位.但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中,只重視概念運(yùn)用,淡化概念的形成過程,甚至用解題技巧代替概念學(xué)習(xí)的現(xiàn)象大量存在,重解題、輕概念的現(xiàn)象使數(shù)學(xué)概念教學(xué)長(zhǎng)期處于扁平化、淺層次、低效率的層面,學(xué)生的解題思路狹窄,解題過程笨拙,難以達(dá)到高效、簡(jiǎn)捷、靈動(dòng)的層面,本題即是代表.在批改第(2)問時(shí)筆者發(fā)現(xiàn),學(xué)生缺少直觀想象,不能形成明確的證明思路,指向性混亂,錯(cuò)誤率較高.數(shù)學(xué)概念蘊(yùn)含著深厚的歷史文化背景、豐富的思想方法,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某橄?、推理和建模過程,讓學(xué)生經(jīng)歷概念的“形成”過程,從而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),體悟思想方法,錘煉思維品質(zhì),提高解題能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),這是改變“重解題、輕概念”的康莊大道.

        3.基于直觀想象,培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)選能力

        試題中兩小問的證法均不唯一,在多維度的證法中,簡(jiǎn)單與復(fù)雜并存,直觀與推理同在.本題除了考查學(xué)生對(duì)圖形基本性質(zhì)的掌握情況和基本的邏輯推理外,最具價(jià)值的是考查了學(xué)生建立在直觀想象上的優(yōu)選能力.從較多的解法中,眾多的圖形中,能夠迅速地確定解題的優(yōu)選思路,對(duì)學(xué)生的挑戰(zhàn)極高.學(xué)生要達(dá)到這樣的高度,需要教師在教學(xué)中要有目標(biāo)地讓學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn),要注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀識(shí)圖能力和說題能力,要深挖一題多解的教學(xué)內(nèi)涵,要對(duì)多維度的解題思路進(jìn)行評(píng)價(jià)、優(yōu)選,幫助學(xué)生建立基于直觀想象的優(yōu)選眼光,培養(yǎng)學(xué)生的極速優(yōu)選能力,這也是本題應(yīng)產(chǎn)生的教學(xué)價(jià)值.

        參考文獻(xiàn):

        [1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2018.

        [2]孔凡哲,史寧中.中國學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概論[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2021.

        [3]李霞.初中平面幾何的推理教學(xué)之研究[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2021(01):13-15.

        [4]李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2009,48(08):1-3.

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