黃欲涵

[摘要]雙動點線段和問題在中考中十分常見，問題突破可采用“動靜轉(zhuǎn)化”的策略，通過做輔助線來構(gòu)造等線段，然后基于共線定理確定最值情形.該類問題的題型較為豐富，突破構(gòu)建時存在一定的差異，文章將以2021年連云港中考卷的一道線段最值問題為例，挖掘問題特征，探索解法，并開展關(guān)聯(lián)探究.

[關(guān)鍵詞]幾何;動點;線段和;最值

真題再現(xiàn)，深入解讀

考題（2021年江蘇省連云港市中考數(shù)學卷第8題）如圖1所示，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段MN在對角線BD上運動.若⊙O的面積為2π，MN=1，則△AMN周長的最小值是（）.

A.3B.4C.5D.6

解讀本題目以正方形與圓內(nèi)接為背景，構(gòu)建了△AMN，并探究其周長的最小值，其中MN為定值，故結(jié)合周長公式L=MN+AN+AM可知，實則就是求AN+AM的最小值，故本質(zhì)上為線段和最值問題.本題目有以下幾大特點，下面具體分析.

特征1——“兩動一定”

線段和AN+AM涉及三點，其中M和N均為正方形對角線上的動點，且運動軌跡一致，而點A為正方形的一個頂點，為定點，故問題可歸為“兩動一定”線段和最值問題.深入分析可知不符合“將軍飲馬”模型，故不可直接采用對稱轉(zhuǎn)化來破解.

特征2——動點關(guān)聯(lián)

點M和N均為DB上的動點，具有限制條件“MN=1”，即表示兩點之間的距離始終相等，是兩動點之間的聯(lián)系，這是與常規(guī)雙動點問題的最大區(qū)別.

特征3——隱含對稱

問題圖像以正方形和圓內(nèi)接為背景，且動點位于對角線上，這就造成復合圖形具有眾多的對稱性質(zhì)，如點A與C關(guān)于對角線DB對稱，連接CN和CM，則始終有CN=AN，AM=CM，該性質(zhì)為對稱轉(zhuǎn)化提供了條件.

思路分析，問題突破

上述動點最值問題的結(jié)構(gòu)鮮明，特征突出，問題突破要立足幾何特征，把握解法核心.對于線段最值問題，最有效的解法是線段轉(zhuǎn)換，構(gòu)建三點共線，利用“兩點之間，線段最短”來破解，下面具體探究.

連接MC，由對稱性可知AM=CM，再分別過點M和A作AN和MN的平行線，構(gòu)造圖2所示的平行四邊形ANME.再連接AC和CE，分析可知AN+AM=EM+CM≥EC，顯然當點C，M，E三點共線時，AN+AM的值最小，此時AN+AM的長等于CE.

AM）_min=3，所以△AMN周長的最小值為4.

評析上述問題突破過程的核心思想是動定轉(zhuǎn)化，首先通過作平行線構(gòu)建平行四邊形，利用其中的對稱特性將問題轉(zhuǎn)化為“兩定一動”問題，然后結(jié)合“點共線，求最值”的策略完成破解.其中平行四邊形的“等邊特性”是線段轉(zhuǎn)化、化“動”為“定”的基礎(chǔ)，“三點共線”是實現(xiàn)線段和最小的理論核心.

問題挖掘，本源探究

分析：顯然該例題與原考題的圖形結(jié)構(gòu)完全一致，可參考考題的構(gòu)形轉(zhuǎn)化思路來作圖.此處主要探究該類問題另一種“動定轉(zhuǎn)化”的思路，可將E和F視為頂點，而將A視為動點，則點A的“相對運動”軌跡應在與EF相平行的直線上，即BD的平行線上.又知E和F是對角線上的任意兩點，將其視為定點后可設(shè)定在特殊位置，如點E與正方形的頂點B重合，從而轉(zhuǎn)化為常規(guī)的“兩定一動”型問題.

評析上述在求解線段最值問題時同樣采用了“動靜轉(zhuǎn)化”的策略，所不同的是通過構(gòu)造圖形將“動點”與“定點”進行了相對轉(zhuǎn)化，然后利用“三點共線”來確定最值情形，解法的核心是一致的.

關(guān)聯(lián)探究，方法賞析

上述問題為線段和最值問題，動點之間的幾何關(guān)聯(lián)是其最突出的特征，該類問題在初中幾何中十分常見，構(gòu)建形式較為多樣，下面結(jié)合兩道例題進一步分析.

1.雙動點距離關(guān)聯(lián)

例1如圖5所示，在矩形ABCD中，已知AD=2，AB=4，AC為對角線，E和F分別為AB和CD上的動點，且EF⊥AC，垂足為M.現(xiàn)連接AF和CE，試求AF+CE的最小值.

分析：本題目同為雙動點線段最值問題，點E和F分別在平行線段上移動，運動過程始終有EF⊥AC.分析可知兩動點之間的距離始終相等，即EF長為定值，顯然與上述考題具有同類型的限制的條件，可采用對稱或平移轉(zhuǎn)化的方法來將所涉線段拼接.

解答：過點N作AF的平行線，再過點A作EF的平行線，設(shè)兩線交點為N，如圖5所示.由題意可知四邊形ANEF為平行四邊形，則有AN=AF，NE=AF，可知AF+CE=NE+CE≥NC，顯然當點N，E，C三點共線時，AF+CE的值最小，此時AF+CE的長等于NC.

點評上述問題中的垂直條件，實則隱含了兩動點之間的距離關(guān)聯(lián)，本質(zhì)上與考題特征一致，故可通過平移或?qū)ΨQ來實現(xiàn)“動靜轉(zhuǎn)化”.平移構(gòu)造所依托的是平行四邊形的性質(zhì)，而對稱構(gòu)造則是依托對稱特性，其核心均是等線段轉(zhuǎn)化.

2.雙動點線段限制

例2如圖6所示，邊長為3的等邊三角形，且AD⊥BC交BC于點D，E和F分別為線段AD和AC上的動點，且AE=CF，則BE+BF的最小值為.

分析：本題目中同為雙動點線段和最值問題，并設(shè)定了AE=CF，實則表示兩動點分別距定點A和C的距離相等，可歸為參考點之間的幾何關(guān)聯(lián).由于點E和F并非位于同一直線上，故無法直接完成“動靜轉(zhuǎn)換”，可構(gòu)造全等三角形來轉(zhuǎn)換線段，進而求線段和最值.

點評上述問題中，兩動點之間沒有直接的距離關(guān)聯(lián)，但對其運動軌跡做了限制，從動態(tài)視角來看可視為具有相同的速度.問題轉(zhuǎn)化的策略是一致的——“動靜轉(zhuǎn)化”，所不同的是上述通過構(gòu)造全等三角形，利用全等特性來實現(xiàn)等線段轉(zhuǎn)化.

解后反思，教學建議

1.關(guān)注問題特征，挖掘問題本質(zhì)

上述以一道雙動點線段和最值問題為例，探索了問題特征，挖掘了問題本質(zhì)，并開展解法探究.其中問題特征及本質(zhì)是思路構(gòu)建的基礎(chǔ)，也是問題突破的關(guān)鍵.問題特征需要多角度探索，充分定位，以上面動點最值問題為例，需要關(guān)注動定點的個數(shù)、動點的移動軌跡、動點之間的關(guān)聯(lián)，以及是否存在聯(lián)動條件.解題教學中，建議引導學生分步探究，從圖像背景人手，挖掘動點關(guān)聯(lián)，準確定位動點問題屬性.

2.總結(jié)解法思路，探究方法內(nèi)涵

幾何動點問題的類型較為多樣，不同類型題的破解方法有差異.以上述問題為例，由于雙動點之間的距離限制，造成動點存在聯(lián)動關(guān)系，故轉(zhuǎn)化過程要充分考慮該條件.該類問題突破的方法核心是“動靜轉(zhuǎn)化”，可通過平移、構(gòu)平行四邊形、全等圖形等方式實現(xiàn)等線段轉(zhuǎn)化.本質(zhì)上所依托的是“三點共線，線段最短”，這是該解法策略的內(nèi)涵所在.教學中，建議引導學生開展類比探究，呈現(xiàn)多類型動點線段和最值問題，分析構(gòu)建思路，總結(jié)方法異同，幫助學生積累經(jīng)驗.

3.拓展解法探究，激活學生思維

解法探究是教學的重要環(huán)節(jié)，在該環(huán)節(jié)中不僅要引導學生總結(jié)解法，還要激活學生的思維.故建議完成探究后合理進行拓展變式，包括對問題的變式及方法的拓展.如上述考題探究后對問題進行了關(guān)聯(lián)拓展，并深入分析了問題解法，形成了解題策略.教學中，建議立足問題，探索解法，并結(jié)合實例深入拓展.探究過程注意思維引導，讓學生充分思考，內(nèi)化吸收，同時注意引導學生創(chuàng)新思維，使學生從思想上獲得能力提升.