陳維烈

摘 要：人教版數學六年級下冊的數學廣角“鴿巢問題”，以前定義為奧數內容，是不進入課本的，如今進入課本，教師就不能回避了，得引導孩子去學。“鴿巢問題”的理論本身并不復雜，而如何正確理解“鴿巢原理”的“數學證明”是難點，同時讓學生理解“鴿巢原理”這種“存在性問題表達方式”也是一個難點，也就是說學生難以理解“總有一個鴿巢里至少有幾只鴿子”的情況，學生總覺得“鴿巢里的鴿子數”還可以更少。下文將闡述如何借力預習單與微課，突破這課的教學難點，從而達到培養(yǎng)學生問題解決策略的目的。

關鍵詞：學習單 ; 微課 ; 突破難點;“鴿巢原理”

在開啟你的學習之旅前，請了解一段有趣的數學文化。我校高年級數學組正在開展《基于學生真問題的分享式教學模式》的校本課題研究。所以我們特別注重課前預習單的設計，預習單既要簡潔明了，還要能激發(fā)學生自主學習的興趣，所以教師制作了一段關于“鴿巢”問題怎樣發(fā)現的微課，并發(fā)到班級微信群里，引領學生完成預習單。課前完成預習單與課堂上的及時思考相比，思考時間長，思考比較深入。在思考中，“思而不得”就會產生問題，這些問題才是“真問題”。

一、情境導入，理解“至少”

數學課堂上最應該做的事情是激發(fā)興趣。教師借助撲克牌，設計操作活動激發(fā)學生的興趣，在具體的表象和比較中，從而理解“5張牌至少有2張花色相同。”這句話中“至少”的含義。理解“至少”的含義后設疑，激發(fā)學生對學習“鴿巢”問題的欲望，為下邊探究“所以然”做鋪墊。

二、組內交流

首先PPT呈現：把4支鉛筆放進3個筆筒，總有一個筆筒至少有2支鉛筆。為什么呢？例如：學生通過獨立學習，有了疑惑是好事，就看教師怎么處理更有效。在創(chuàng)設情境導入后，這時組織討論，能達到四個目的：一是方法相同的同學派一人講解自己的思路，其他同學補充，可以讓自己的思路更清晰，更全面;二是從同伴那里獲得不同的方法;三是提出自己的困惑，向同伴請教，簡單問題可以在組內得到解決;四是梳理組內還沒解決的問題，是本節(jié)課的核心“真問題”，需要借力老師才能解決。

三、問題解決

（一）理解原理

“鴿巢”問題的理論本身并不復雜，而如何正確理解“鴿巢原理”的“數學證明”是難點，同時讓學生理解“鴿巢原理”這種“存在性問題表達方式”也是一個難點，也就是說學生難以理解“總有一個鴿巢里至少有幾只鴿子”的情況，學生總覺得“鴿巢里的鴿子數”還可以更少。此處教師呈現學生的作品，組織學生碰撞交流，在比較中直觀地理解了“鴿巢原理”是研究鴿子數最多的那個鴿巢的鴿子數的最少數。

（二）思維提升

部分學生對列式計算這種方法難以理解，教師沒有采用講解的方式，而是讓其他學生來解惑，提問和解惑的主體都是學生。教師只是在關鍵處提問，幫助學生總結方法。

四、問題延伸

教師通過一組對比練習的呈現，使學生初步感知“鴿巢”問題只是一個 “模型”，雖然問題的情境在變化，但問題的本質——數量之間的關系是不變的。學生在解決這些問題的過程中逐漸形成“鴿巢”問題的“數學形式”及其解題策略體系，開始初步建構關于“鴿巢”問題的數學模型。

五、前后呼應

人教版義務教材六年級下冊安排的“數學廣角”滲透的是有關鴿巢原理的一些基本思想方法。教材將此內編排為三個例題對鴿巢原理進行闡述，讓學生逐步加深對“鴿巢原理”的理解。學生總覺得“鴿巢里的鴿子數”還可以更少。怎么突出教學重點，突破教學難點呢？

（一）課前了解學情，為“真學習”做準備

為了達到“真學習”的目的，筆者精心設計了預習單和制作了微課。通過檢查預習單，發(fā)現只有兩個學過奧數的學生運用假設法列式計算證明結論的正確性。絕大部分學生運用數的分解法、圖示法解釋這個結論。在“我的疑惑”一欄，學生主要提了這幾個問題：

A、為什么不說“總有一個筆筒至少有1支筆”？

B、哪些問題屬于“鴿巢”問題？

C、如果鉛筆數很多，是不是也是“總有一個筆筒至少有2支筆”？

這些問題正囊括了這堂課的重難點?？梢姶蠖鄶祵W生只“知其然，不知其所以然”。這些問題來自學生本身，此時要做的事就是引導學生步步釋疑。

（二）情境導入，引導理解“至少”

《2011版課標》指出：盡管每堂數學課有既定的目標，也有各自的重心所在，但整體來看，在數學課堂教學中，我們最應該下功夫的“點”和最需要做的事情之一就是“激發(fā)學生的興趣”。于是開課環(huán)節(jié)，例如：以“玩魔術”導入，讓孩子在去掉大小王后，從52張撲克牌中任意抽取5張。故意說：我猜“至少有2張牌花色相同”，并板書“至少2張牌花色相同”，同時問學生相信嗎？學生一下子興趣來了，紛紛要上臺驗證教師寫的結論。學生上臺驗證后發(fā)現的確“至少有2張花色相同”。這樣的設計，一是使教師和學生進行自然的溝通交流;二是調動和激發(fā)學生學習的主動性和探究欲望;三是為今天的探究埋下伏筆，初步理解“至少”的含義。

（三）多次對比，領悟本質

著名教育家烏申斯基認為：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切?！毙W數學的教學內容既有聯系又有區(qū)別，在教學中充分運用對比的方法，有助于突破教學難點，加強對新知本質的領悟。第一次對比是學生有序地用圖示法驗證結論，一個按從多到少的順序放，一個按從少到多的順序放，在比較中，培養(yǎng)學生有序思維，同時也直觀地表達了“總有一個筆筒至少有2支筆”的本質。第二次對比是列式計算法和圖示法的比較，學生在比較中認識到列式計算法的優(yōu)越性。第三次對比把5支筆放進3個筆筒，總有一個筆筒至少放進幾支筆？一種用“商+1”，一種用“商+余數”，在對比教學中，學生領悟到求至少數與余數的大小無關，不管余數是幾，都是用“商+1”。第四次對比是呈現三個具體情境：“（1）11本書放進4個抽屜，總有一個抽屜至少放進了幾本書？（2）張伯伯喜歡養(yǎng)鴿子，他做了5個鴿籠，每個鴿籠住2只鴿子。他一共養(yǎng)了幾只鴿子？（3）高速路口同時有250輛車通過5個收費口，總有一個收費口至少通過幾輛車子？”讓學生判斷誰是“鴿巢”問題，并深化了“鴿巢”問題的本質——都是多個物體進入少個空間的問題。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.數學課程標準（2011版） .北京：北京師范大學出版集團，2012.02.