王遠(yuǎn)征

【摘要】高考肩負(fù)著選擇人才的重任，一道好的試題，既能檢測出考生對數(shù)學(xué)知識的理解掌握程度，也能很好地考查出考生所具有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，如數(shù)感、符號意識、幾何直觀、數(shù)學(xué)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意識等.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;向量運(yùn)算;思維品質(zhì);數(shù)學(xué)素養(yǎng)

題目若|a|=|b|=|c|=λ，且滿足a·b=0，a·c=2，b·c=1，則λ=.

此題短小精悍，是一道入口寬、解答方法多種多樣的計算題，能很好地考查學(xué)生思維的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性，考查出考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

向量是既有大小、又有方向的量，它將“數(shù)”與“形”兩者融為一體，是連接“數(shù)”與“形”的“橋梁”，是數(shù)形結(jié)合的典范.

涉及向量運(yùn)算，其解題途徑有兩種：一是代數(shù)計算，即建系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)計算;二是幾何方法處理，即因數(shù)思形，作出對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何性質(zhì)，多轉(zhuǎn)化為解三角形來求解.

思路1代數(shù)方法，構(gòu)造向量坐標(biāo)，實(shí)施“代數(shù)計算”

解法1由a·b=0，得

a⊥b.

又|a|=|b|=|c|=λ，

故可設(shè)a=（λ，0），b=（0，λ），c=（x，y），λ≥0，

結(jié)合c·a=2，c·b=1，

所以λx=2，λy=1，λ2=x2+y2，

解得λ=45.

解法2依題意a·b=0，|a|=|b|=|c|=λ，

則a⊥b，λ≥0.

設(shè)a=（λ，0），b=（0，λ），c=（λcosα，λsinα），

又c·a=2，c·b=1，

所以λ2cosα=2，λ2sinα=1，

解得λ=45.

思路2因數(shù)思形，構(gòu)造幾何圖形求解

解法3設(shè)a=（λ，0），b=（0，λ），λ≥0，

c=（x，y）=OC，

由a·b=0，知a⊥b.

圖1

又c·a=2，c·b=1，

所以λx=2，λy=1，

消去λ得y=12x，

則點(diǎn)C在直線y=12x上，且在圓x2+y2=λ2上，在平面直角坐標(biāo)系中，作出圖象，如圖1所示，

于是4λ2+1λ2=λ2，

解得λ=45.

解法4構(gòu)造三角形求解

由a·b=0，得a⊥b，

又|a|=|b|=|c|=λ，

可作圖OA=a，OB=b，OC=c，如圖2所示，

OA⊥OB，|OA|=|OB|=|OC|=λ，

由c·a=2，c·b=1，知

OC在OA、OB上的投影分別是2λ，1λ.

在Rt△COD中，由勾股定理得

圖2

4λ2+1λ2=λ2，

解得λ=45.

與其不斷刷題，還不如深入研究透徹一道題，弄清楚該問題的本質(zhì)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的深刻性、廣泛性、創(chuàng)新性和靈活性的訓(xùn)練，是有效提高我們數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，取得好成績的關(guān)鍵所在.