李發(fā)光

【摘要】一題多解的訓(xùn)練可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心，一道數(shù)學(xué)題因思考的角度不同可得到多種不同的解法，這有利于拓寬解題思路，提高學(xué)生分析問題的能力，有助于學(xué)生發(fā)散思維的形成，增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí).

【關(guān)鍵詞】一題多解;思維能力;核心素養(yǎng)

一直以來，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)被視為衡量數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的主要標(biāo)準(zhǔn).隨著我國教育模式的改革和發(fā)展，對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)更是新課標(biāo)中的重要要求之一.那么，如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)？一題多解的訓(xùn)練可以有效地培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面我們選取一道函數(shù)不等式的證明問題，采用一題多解的教學(xué)方式來談?wù)勗鯓犹嵘龜?shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)多向思維，學(xué)會(huì)克服思維定式，尋找多種解題方向，引領(lǐng)學(xué)生思維發(fā)展，形成良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)思維能力.

試題呈現(xiàn) 已知函數(shù)f（x）=ex-ae2x，當(dāng)a<0時(shí)，證明：f（x）>e2lnx.

證明 方法一 ?要證明ex-ae2x>e2lnx.

因?yàn)閍<0，所以ae2x<0，

只需證ex>e2lnx，即只需證ex-e2lnx>0.

設(shè)g（x）=ex-e2lnx，

則g′（x）=ex-e2x，g″（x）=ex+e2x2>0，

所以函數(shù)y=g′（x）在（0，+∞）上是增函數(shù).

又因?yàn)間′（1）=e-e2<0，

g′（2）=e2-e22=e22>0，

所以存在唯一的x0∈（1，2），

使得g′（x0）=ex0-e2x0=0，

即ex0=e2x0，lnx0=-x0+2，

所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g′（x）<0，

當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g′（x）>0，

所以函數(shù)g（x）在（0，x0）上是減函數(shù)，在（x0，+∞）上是增函數(shù)，

因此函數(shù)g（x）有最小值，

最小值為g（x0）=ex0-e2lnx0=e2x0-e2·（-x0+2）=e2x0+e2x0-2e2>2e2-2e2=0，

因此g（x）>0，即ex-e2lnx>0，

綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，f（x）>e2lnx.

點(diǎn)評(píng) 方法一利用參數(shù)a的取值范圍進(jìn)行放縮，利用差值函數(shù)法證明形如f（x）>g（x）的不等式，主要步驟是：

（1）構(gòu)造新函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）;

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)h（x）的單調(diào)性、最值.但對(duì)函數(shù)h（x）求導(dǎo)后，若h′（x）=0是超越形式，人工無法求其零點(diǎn)，但通過零點(diǎn)存在定理可以證明零點(diǎn)是存在的，我們便稱之為隱零點(diǎn)，利用隱零點(diǎn)是證明不等式的一種重要手段;

（3）通過h′（x）或h′′（x），得到h（x）的性質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)證明不等式f（x）>g（x）.

方法二 要證明ex-ae2x>e2lnx，只要證exx-ae2>e2lnxx，

設(shè)g（x）=exx-ae2（x>0），

則g′（x）=（x-1）exx2，

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）<0，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）>0，

所以函數(shù)g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，

因此函數(shù)g（x）有最小值，

當(dāng)x=1時(shí)，取得最小值，最小值為g（1）=e-ae.

設(shè)h（x）=e2lnxx（x>0），

則h′（x）=e2（1-lnx）x2，

當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）>0，

當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）<0，

所以函數(shù)h（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù)，

因此函數(shù)h（x）有最大值，

當(dāng)x=e時(shí)，取得最大值，最大值為h（e）=e.

因?yàn)閍<0，所以g（1）=e-ae>h（e）=e，所以g（x）>h（x），

綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，f（x）>e2lnx.

點(diǎn)評(píng) 方法二利用“一分為二”的思想，在證明不等式f（x）>0（或f（x）<0）時(shí)，將原不等式分解為g（x）>h（x）（或g（x）h（x）max（或g（x）max

方法三 要證明ex-ae2x>e2lnx.

因?yàn)閍<0，所以ae2x<0，

只需證ex>e2lnx，即只需證ex-2-lnx>0.

設(shè)函數(shù)g（x）=ex-（x+1），則g′（x）=ex-1，

當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）<0，

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）>0.

所以函數(shù)g（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，

因此函數(shù)g（x）有最小值，

當(dāng)x=0時(shí)，取得最小值，最小值為g（0）=0，

所以g（x）=ex-（x+1）≥0，

即ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

因此當(dāng)x>0時(shí)，ex-2≥x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立.

設(shè)函數(shù)h（x）=lnx-（x-1），則h′（x）=1x-1，

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）>0，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）<0

所以函數(shù)h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，

因此函數(shù)h（x）有最大值，當(dāng)x=1時(shí)，取得最大值，最大值為h（1）=0，

所以h（x）=lnx-（x-1）≤0，

即lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

所以ex-2-lnx>（x-1）-（x-1）=0，

綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，f（x）>e2lnx.

點(diǎn)評(píng) 方法三利用”放縮法”證明不等式， “放縮”指的是將不等式的一側(cè)放大或縮小，將不等式的結(jié)構(gòu)優(yōu)化為合理的結(jié)構(gòu)，然后獲得解決.放縮的依據(jù)是幾個(gè)常用的不等式：ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立;lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，sinx≤x（x≥0）當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立等.

方法四 要證明ex-ae2x>e2lnx.

因?yàn)閍<0，所以ae2x<0，

只需證ex>e2lnx，即只需證ex-e2lnx>0.

設(shè)g（x）=ex-e2lnx=（ex-e2x+e2）+（e2x-e2-e2lnx），

令h（x）=ex-e2x+e2（x>0），則

h′（x）=ex-e2

當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h′（x）<0，

當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）>0

所以函數(shù)h（x）在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，

因此函數(shù)h（x）有最小值，

當(dāng)x=2時(shí)，取得最小值，最小值為h（2）=0.

令u（x）=e2x-e2-e2lnx，則u′（x）=e2-e2x.

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，u′（x）<0，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，u′（x）>0

所以函數(shù)u（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，

因此函數(shù)u（x）有最小值，

當(dāng)x=1時(shí)，取得最小值，最小值為u（1）=0.

綜上，h（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立，

u（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，

所以g（x）=h（x）+u（x）>0，

因此，當(dāng)a<0時(shí)，f（x）>e2lnx.

點(diǎn)評(píng) 方法四利用了“異構(gòu)”的思想，“異構(gòu)”是指一個(gè)恒成立化為多個(gè)恒成立問題，異構(gòu)的關(guān)鍵是拆分配對(duì)組合需要較高的變現(xiàn)技巧，此類問題可以用凹凸反轉(zhuǎn)，必要性探路，或常規(guī)方法構(gòu)造函數(shù)分類討論來解答.

結(jié)語

總之，一題多解的教學(xué)模式確實(shí)是一種有效的提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的途徑.通過對(duì)題目的全方位分析，尋求多種解題策略，是一種知識(shí)到能力的演變，是學(xué)生思維質(zhì)量的升華.

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[3]何雪冰，基于核心素養(yǎng)的“一題多解”教學(xué)思考[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2021（06）：13-16.