陸燕 陳算榮

[摘 ?要] 勾股定理被視為幾何學(xué)的寶藏，是數(shù)學(xué)中聯(lián)系數(shù)與形的第一定理，在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛. 為落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，研究者結(jié)合核心素養(yǎng)的相關(guān)內(nèi)涵，對(duì)勾股定理這一經(jīng)典內(nèi)容進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)重構(gòu)，以期通過(guò)該定理的教學(xué)落實(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 勾股定理;數(shù)與形;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在新課改浪潮盛行的今天，“核心素養(yǎng)”一詞無(wú)疑成為課堂教學(xué)的“頭條新聞”，我們正在經(jīng)歷從知識(shí)核心時(shí)代向素養(yǎng)核心時(shí)代的轉(zhuǎn)變，“知識(shí)本位”的教育將逐步退出歷史舞臺(tái)，“學(xué)生為本”的教育應(yīng)運(yùn)而生[1]. 但在今天的數(shù)學(xué)課堂中，許多教師簡(jiǎn)單地將“核心素養(yǎng)”與“考高分”畫上了等號(hào)，存在著許多教學(xué)方法應(yīng)用不當(dāng)?shù)南麡O現(xiàn)象，極大影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

核心素養(yǎng)視角下對(duì)課堂教學(xué)的?認(rèn)識(shí)

基于核心素養(yǎng)視角的課堂教學(xué)，教師需要從以下三個(gè)方面去改進(jìn)自己的數(shù)學(xué)課堂. 一是教師要改變重記憶、輕理解的教學(xué)方法，填鴨式的教學(xué)只會(huì)導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械般地將知識(shí)運(yùn)用于題目的解答中，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知浮于表面，學(xué)生的思維沒(méi)有得到真正的提高，更談不上核心素養(yǎng)的落實(shí). 二是教師要改變重知識(shí)、輕能力的傳統(tǒng)教學(xué)理念，努力突破當(dāng)前應(yīng)試教育大環(huán)境所帶來(lái)的弊端，應(yīng)將重心由對(duì)分?jǐn)?shù)的一味追求向發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)變. 三是教師要改變重形式、輕實(shí)質(zhì)的教學(xué)模式，部分教師在教學(xué)中雖有讓學(xué)生探究的意識(shí)，但只是為探究而探究，并沒(méi)有將探究落到實(shí)處，學(xué)生無(wú)法從探究活動(dòng)中提高自己的能力[2].

勾股定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，它是解直角三角形的依據(jù)，同時(shí)在生活中有著廣泛的應(yīng)用，是中考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)之一，更是落實(shí)和發(fā)展核心素養(yǎng)的重要課題素材. 基于此，對(duì)《勾股定理》這一經(jīng)典內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)重構(gòu)，以期供一線教師探討. 勾股定理的重構(gòu)設(shè)計(jì)重點(diǎn)突出直觀想象、合情推理和數(shù)學(xué)抽象三大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)，采取問(wèn)題串的形式，讓學(xué)生結(jié)合問(wèn)題情境，由特殊到一般，進(jìn)而歸納總結(jié)出直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)勾股定理的過(guò)程，燃起對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的濃厚情感.

核心素養(yǎng)視角下勾股定理教學(xué)

設(shè)計(jì)重構(gòu)

1. 生活情境導(dǎo)入

問(wèn)題1：木棒能放進(jìn)木箱嗎？

現(xiàn)有一根長(zhǎng)40 cm的木棒，將其放入一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為30 cm、20 cm、10 cm的木箱，能否成功放入？

教學(xué)策略：（如圖1所示）大部分學(xué)生根據(jù)生活常識(shí)知道應(yīng)按AB方向放置木棒，但運(yùn)用已學(xué)知識(shí)無(wú)法求出AB的長(zhǎng). 在此情景下，教師就勢(shì)引出課題，求AB的長(zhǎng)需要學(xué)習(xí)新的知識(shí)“勾股定理”.

設(shè)計(jì)意圖 ?從生活問(wèn)題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引出研究的對(duì)象，讓學(xué)生帶著問(wèn)題有目的地去學(xué)習(xí)新知. 此外，借助長(zhǎng)方體木箱這一立體圖形還有助于對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng).

2. 問(wèn)題導(dǎo)引探究

【活動(dòng)一：追溯歷史，形成猜想】

問(wèn)題導(dǎo)引：通過(guò)之前的學(xué)習(xí)，我們知道了任意一個(gè)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，并且研究了等腰、等邊三角形三邊之間的特殊數(shù)量關(guān)系，那么對(duì)于直角三角形，它的三邊之間是否也存在特殊的數(shù)量關(guān)系呢？

教學(xué)策略：用問(wèn)題導(dǎo)引學(xué)生進(jìn)入定理探究，該問(wèn)題并不著急讓學(xué)生給出正確答案. 教師緊接著呈現(xiàn)問(wèn)題情境2，引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題情境2中得到關(guān)于問(wèn)題1的一些啟發(fā).

問(wèn)題2：畢達(dá)哥拉斯與“地磚”的美麗相遇.

在兩千多年前，畢達(dá)哥拉斯無(wú)意間發(fā)現(xiàn)朋友家地磚的圖案（如圖2所示）似乎蘊(yùn)藏著某些特殊的規(guī)律，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的他立馬聯(lián)想到“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系. 然后他便開(kāi)始不斷地探索和求證自己的發(fā)現(xiàn)，最終得出了著名的畢達(dá)哥拉斯定理，這個(gè)定理就藏在圖3中，觀察圖3中深色部分的圖形，你能有所發(fā)現(xiàn)嗎？

教學(xué)策略：引導(dǎo)學(xué)生觀察深色部分中間的直角三角形的三條邊與正方形的關(guān)系，提示學(xué)生可以從三個(gè)正方形的面積與中間直角三角形三邊的關(guān)系出發(fā)，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖中直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 在此過(guò)程中，為了方便學(xué)生觀察和研究，教師將生活中的地磚圖案抽象成數(shù)學(xué)圖形，如圖4所示.

設(shè)計(jì)意圖 ?通過(guò)融入數(shù)學(xué)史素材，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)勾股定理的過(guò)程. 有趣的歷史材料一方面為冰冷的數(shù)學(xué)定理教學(xué)注入滾燙的新鮮血液，另一方面可以鍛煉學(xué)生從幾何圖形中歸納出數(shù)量關(guān)系的能力，潛移默化地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理素養(yǎng). 借助方格紙，學(xué)生很容易求出A和B的面積，至于C，它雖然是斜置的，但此時(shí)它占格規(guī)則，學(xué)生利用數(shù)方格的方法也極易求出它的面積.

問(wèn)題3：我們觀察圖4會(huì)發(fā)現(xiàn)中間的三角形為等腰直角三角形，那當(dāng)它是一般的直角三角形（如圖5所示）時(shí)，這一規(guī)律是否還成立呢？

教學(xué)策略：組織學(xué)生進(jìn)行小組合作討論，然后讓小組代表有序匯報(bào)自己的發(fā)現(xiàn). 學(xué)生會(huì)繼續(xù)采用數(shù)方格的方法，但隨即會(huì)發(fā)現(xiàn)此時(shí)C的占格不規(guī)則，無(wú)法準(zhǔn)確求出C的面積，產(chǎn)生了認(rèn)知沖突. 這時(shí)教師啟發(fā)：一個(gè)圖形的面積不能直接求，我們還有哪些間接的方法來(lái)求解？引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)已知，得出用割補(bǔ)法、旋轉(zhuǎn)法等去求C的面積.

設(shè)計(jì)意圖 ?遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，新知編排由簡(jiǎn)到難，從特殊到一般，并以學(xué)生探究為主，有助于發(fā)展學(xué)生類比遷移的能力.

問(wèn)題4：圖5中的直角三角形放在方格紙上，這些直角邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，它們的三邊之間已證明滿足“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，那么，對(duì)于更一般的、三邊長(zhǎng)為任意大小的直角三角形，其三邊是否還存在這個(gè)關(guān)系？

教學(xué)策略：在學(xué)生欲求而不得的情況下，教師及時(shí)輔以幾何畫板（如圖6所示），讓學(xué)生觀察：不同大小的直角三角形的三邊都存在著這樣的規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖 ?教師通過(guò)問(wèn)題情境或問(wèn)題導(dǎo)引逐層鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，猜想和驗(yàn)證勾股定理.

【活動(dòng)二：合作探究，證明定理】

問(wèn)題5：不利用網(wǎng)格和幾何畫板，還有其他方法證明勾股定理嗎？請(qǐng)同學(xué)們拿出提前準(zhǔn)備好的4個(gè)完全相同的直角三角形，你能嘗試用拼圖的方式證明這個(gè)定理嗎？

教學(xué)策略：給學(xué)生足夠的時(shí)間嘗試，教師也深入小組一起探討和嘗試，并鼓勵(lì)學(xué)生得到一種拼法后，嘗試是否有其他的拼法. 教師選擇展示以下兩種能夠證明勾股定理的拼法（如圖7所示），引導(dǎo)學(xué)生類比之前“轉(zhuǎn)化”的啟示，發(fā)現(xiàn)可以采用面積法來(lái)證明勾股定理.

設(shè)計(jì)意圖 ?通過(guò)拼圖游戲讓學(xué)生自己經(jīng)歷勾股定理的證明過(guò)程，將主動(dòng)權(quán)交還給學(xué)生，滿足了他們探究的欲望，讓他們真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì).

【活動(dòng)三：觀看幾何畫板下的勾股樹(shù)，感受數(shù)學(xué)迭代之美】

在證明完勾股定理之后，教師利用幾何畫板軟件向?qū)W生演示一個(gè)美妙的動(dòng)畫——勾股樹(shù)（如圖8所示）. 在驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程中，展現(xiàn)給學(xué)生勾股定理相關(guān)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)之美，讓他們體會(huì)到數(shù)學(xué)迭代的無(wú)窮魅力.

3. 育人價(jià)值挖掘

【活動(dòng)四：史料介紹——《九章算術(shù)》中的勾股定理】

問(wèn)題6：《九章算術(shù)》中有關(guān)勾股定理解題方法有以下描述：“勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，即弦. 又股自乘，以減弦自乘，其馀開(kāi)方除之，即勾. 又勾自乘，以減弦自乘，其馀開(kāi)方除之，即股. ”同學(xué)們能否嘗試用白話文或數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯這段話的意思？

教學(xué)策略：教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試，并根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行提純或完善.

設(shè)計(jì)意圖 ?在課堂教學(xué)中穿插數(shù)學(xué)史，一方面讓學(xué)生感受到勾股定理所蘊(yùn)含的豐富理論內(nèi)涵，體會(huì)古人的偉大創(chuàng)新精神，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚興趣;另一方面能夠加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想的理解，從而更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成.

4. 小結(jié)和課后拓展

【活動(dòng)五：開(kāi)放式小結(jié)】

問(wèn)題7：請(qǐng)同學(xué)們回顧整節(jié)課. 發(fā)現(xiàn)和探究勾股定理證明的過(guò)程，你從中獲得了哪些定理學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和情感體驗(yàn)？

教學(xué)策略：鼓勵(lì)學(xué)生積極表達(dá).

設(shè)計(jì)意圖 ?幫助學(xué)生積累定理學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟知識(shí)和技能學(xué)習(xí)之外的過(guò)程與方法、情感與態(tài)度等的學(xué)習(xí)價(jià)值.

課后拓展：勾股定理被視為幾何學(xué)中的寶藏之一，千百年來(lái)，人們提出了關(guān)于它的400多種證明方法，這其中包括普通的數(shù)學(xué)業(yè)余愛(ài)好者，著名的數(shù)學(xué)家，甚至有國(guó)家總統(tǒng). 請(qǐng)同學(xué)們課后去查閱資料，了解更多的證明方法，并對(duì)這些方法進(jìn)行歸納整理，寫一份勾股定理證明的總結(jié)報(bào)告.

設(shè)計(jì)意圖 ?引導(dǎo)課后學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生獲取信息和重組信息的能力，把課內(nèi)學(xué)習(xí)自然延伸到課外.

核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)

計(jì)思考

1. 核心素養(yǎng)視角下的教學(xué)，教學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)是關(guān)鍵

本節(jié)課以問(wèn)題來(lái)貫穿整堂課的教學(xué). 毫無(wú)疑問(wèn)，問(wèn)題教學(xué)法是調(diào)動(dòng)學(xué)生好奇心，讓學(xué)生真正參與到課堂互動(dòng)的一種有效方式. 以學(xué)生熟悉的生活問(wèn)題引入，以所學(xué)的等腰、等邊三角形為基礎(chǔ)，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形的直角邊與斜邊的特殊數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行大膽地猜想，問(wèn)題的設(shè)計(jì)符合學(xué)生遞進(jìn)式的思維. 從借助網(wǎng)格猜想勾股定理的內(nèi)容到抽離網(wǎng)格驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和幾何直觀能力. 最后，通過(guò)給學(xué)生留下一個(gè)主題作業(yè)，鼓勵(lì)他們?nèi)チ私夤垂啥ɡ砀嗟淖C明方法，不僅可以鍛煉學(xué)生獲取信息的能力，還可以訓(xùn)練學(xué)生的語(yǔ)言文字表達(dá)能力，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科融合教育.

2. 核心素養(yǎng)視角下的教學(xué)，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是主線

對(duì)于勾股定理的教學(xué)，若直接給出定理的內(nèi)容及其證明方法，學(xué)生會(huì)覺(jué)得冰冷無(wú)趣，但若采用教師引導(dǎo)啟發(fā)下的適度探究，不僅能大大增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且在問(wèn)題導(dǎo)引下，不斷激發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生的思維得到不斷發(fā)展. 讓學(xué)生在教師的幫助下體驗(yàn)數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)勾股定理的過(guò)程，學(xué)生充分體驗(yàn)了利用轉(zhuǎn)化的思想將直角三角形的邊長(zhǎng)與正方形的面積關(guān)聯(lián)，整合運(yùn)用已有知識(shí)，有效解決問(wèn)題，達(dá)到有深度的學(xué)習(xí).

3. 核心素養(yǎng)視角下的教學(xué)，數(shù)學(xué)文化的弘揚(yáng)是精髓

探索勾股定理的過(guò)程中，本課例嘗試將數(shù)學(xué)史與課堂教學(xué)相融合，讓學(xué)生從畢達(dá)哥拉斯與地磚的美麗相遇中猜想勾股定理的內(nèi)容，再到利用《九章算術(shù)》對(duì)勾股定理的描述，讓學(xué)生鞏固勾股定理的內(nèi)容，感受古今中外數(shù)學(xué)家們努力鉆研的偉大創(chuàng)新精神，感悟數(shù)學(xué)文化的無(wú)窮魅力，并以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的動(dòng)力，落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù).

4. 核心素養(yǎng)視角下的教學(xué)，學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展是最終目標(biāo)

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探究新知的經(jīng)歷[3]. 因此教師既要教會(huì)學(xué)生基本的知識(shí)和技能，更要關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)基本思想和方法的感悟，以及基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累[4]. 當(dāng)學(xué)生學(xué)完勾股定理后，學(xué)生不僅能利用勾股定理去解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且能領(lǐng)悟到其中的數(shù)學(xué)思想方法，使“核心素養(yǎng)”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中真正地落地生根.

參考文獻(xiàn)：

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[2]陳算榮. 核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施的理論與實(shí)踐——基于《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》同課異構(gòu)的比較與評(píng)價(jià)[J]. 教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2019（05）：62-67.

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