胡素芬

[摘 ?要] 學生“會而不對，對而不全”的情況經(jīng)常出現(xiàn)在動點問題和多解問題的教學中. 初三復(fù)習面臨時間緊任務(wù)重的矛盾，教師在設(shè)計講評課中需要兼顧進度和效率. 在符合一定特點的條件下重視輔助圓的教學不僅可以畫出圖形，以形助數(shù)找到解題切入點進行不重不漏的分類討論，還能夠了解變與不變的辯證統(tǒng)一，體會數(shù)學思想，促進理性思考.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合;分類討論;轉(zhuǎn)化思想

原題呈現(xiàn)

（2020年上海市崇明一模數(shù)學卷第18題）如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，D是AC的中點，點E在邊AB上，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A′處. 當A′E⊥AB時，A′A的長為______.

思路點撥

我們不妨過點D作DH⊥AB，垂足為H，連接AA′.

解：當點A′在AB的左邊時，如圖2所示，過點D作DH⊥AB，垂足為H，連接AA′. 由三角形的翻折不變性可知∠AED=∠A′ED ==45°. 在Rt△ADH中，sin∠DAH=，所以DH=，同理可得AH=.

在等腰直角三角形EDH中，DH=EH=，所以AE=AH+EH=.

最后在等腰直角三角形E AA′中，A′E=AE=，所以AA′=.

另一種情況，如圖3所示，當點A′在AB的右側(cè)時，AE=AH-EH=，AA′=.

教學分析

考生在考場上面對這道填空壓軸題感到困難，原因有二：一是此題是一道三角形翻折的問題，屬于圖形三種基本運動之一，將翻折運動理解為軸對稱問題，本身存在一定的難度;二是因為對稱軸DE經(jīng)過的點D是AD邊上的中點，屬于位置確定的點，雖然需要翻折的△ADE中的點A和點D的位置確定，但是點E卻是斜邊AB上的動點，由于點E的位置不確定，所以對稱軸DE也一直處于運動變化的狀態(tài)，無法確定點A′的位置造成了第二層難度. 由于兩層難度的疊加讓學生無從下筆.

1. 輔助圓有利于畫出準確的圖形

由于圓具有美妙的對稱性，圓中的相關(guān)元素會產(chǎn)生豐富的數(shù)量關(guān)系，可以幫助我們尋找各種角度的數(shù)量關(guān)系和線段之間的聯(lián)系. 因此圓是各地區(qū)中考的必考內(nèi)容，主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)、有關(guān)計算以及點與圓、線與圓和圓與圓的位置關(guān)系. 每年的各地中考都會考查圓的相關(guān)證明以及求線段長度或者角度的問題，有時也以閱讀理解、條件開放、結(jié)論開放探索題作為新的題型. 在中考數(shù)學有關(guān)圓的眾多題型中，有一類頻繁出現(xiàn)的題但是有的題目從給出條件上來看跟圓沒有一點兒關(guān)聯(lián)，但是在分析問題的過程中若能依據(jù)問題的條件，運用輔助圓的思想來進行問題分析就能夠很快畫出恰當?shù)膱D形，然后結(jié)合圓的定義和特征，從而啟發(fā)分析問題的思路.

需要用到隱形圓的問題大致分為三類：一是動點到定點的距離等于定長，也就是說在題目中遇到共頂點的相等線段，可以根據(jù)圓的定義添加輔助圓來凸顯線段、角之間的關(guān)系. 二是定弦定角，也稱定邊對定角，基本作圖方法是作三角形的外接圓. 三是四點共圓的相關(guān)問題，其特殊情況是幾個直角三角形若有公共的斜邊，那么這些直角三角形的頂點共圓. 它的本質(zhì)其實是直角三角形的頂點到斜邊中線的距離都相等，依然是利用圓的定義構(gòu)造輔助圓.

本題就屬于第一類：動點到定點的距離等于定長. 根據(jù)題目的已知條件中特殊點條件“點D是AC的中點”可知DC=DA，以及翻折條件“將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A′處”可知DA=DA′，所以可以確定定點D以及定長CD=4，于是以點D為圓心、CD的長為半徑作出輔助圓.

由于D是AC的中點，我們注意到在點E的運動變化過程中，DA=DC=DA′=4，看到這3條線段有一個公共點D，而且這3條線段的長度相等，此時我們可以將隱藏在共端點的3條相等線段背后的圓畫出來，這個圓就是以點D為圓心，4為半徑的圓D，也就是說點A′的運動軌跡就是圓D. 所以在這道題目的畫圖過程中，第一個輔助圓相對比較容易確定. 但是如圖4所示，構(gòu)造出第一個輔助圓后，只能確定點A′一定在☉D上，但是僅憑這個條件依然無法確定點A′的位置. 從翻折運動的角度來分析這個問題，點A′的位置不確定是因為對稱軸DE的位置不確定，而對稱軸DE的位置不確定是因為點E的位置不確定，于是關(guān)鍵是需要確定點E的位置. 根據(jù)題目條件中出現(xiàn)的“當A′E⊥AB時”，我們將兩條線段互相垂直的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成角度的數(shù)量關(guān)系，即∠A′EA=90°. 同時我們注意到翻折運動的本質(zhì)是翻折前和翻折后的圖形成軸對稱. 翻折前后的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，這樣一來，就可以明確∠A′ED=∠AED =45°. 在△ADE的六個元素中，存在三個確定的元素：邊AD、∠AED和∠A. 通過解三角形ADE求出線段AE的長度后，就可以求出線段AA′的長度. 觀察△ADE的結(jié)構(gòu)特征，顯然它不是一個直角三角形，所以過點D作DH⊥AB，垂足為H，將一個鈍角三角形通過添高轉(zhuǎn)化成兩個直角三角形來分析、研究. 所以接下來過點D作DH⊥AB，垂足為H，再以點H為圓心、DH的長為半徑作第二個輔助圓，如圖5所示，第二個輔助圓☉H與AB邊的交點就是點E，確定了點E的位置后再連接DE，最后過點E作EA′⊥AB，交☉D于點A′，連接DA′ 和AA′，也就是說，通過作出點A關(guān)于直線DE的對稱點就確定了點A′的位置.

2. 輔助圓有利于找到解題的切入點

圖形對于解題思路的建構(gòu)發(fā)揮著輔助和催化作用. 幾何圖形承載了線段、角度等圖形元素位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的因果關(guān)系，變化的幾何圖形又能夠體現(xiàn)圖形元素之間的變化與不變的對立統(tǒng)一關(guān)系. 在圖形運動的題目中，與運動有關(guān)的角度大小或者線段的位置往往不確定，解題思路難以形成. 根據(jù)本題題目的條件構(gòu)造兩個輔助圓，就能夠?qū)㈦[性條件轉(zhuǎn)化為顯性條件，就能夠起到化難為易，刪繁就簡的解題效果. 在確定圖形之后，本著“以形導(dǎo)數(shù)”和“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合的基本思想，觀察圖形、分析條件、尋找解題的切入點，運用圓的性質(zhì)特點對于角度和線段進行計算. 豐富畫圖經(jīng)驗和清晰的直觀過程將學生引向明確. 輔助圓的產(chǎn)生不僅有利于學生簡化思考過程、迅速找到解題切入點，而且有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)——幾何直觀.

講解這道題時，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學生從審題開始，將題目條件中的文字語言和數(shù)字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，培養(yǎng)學生逐步養(yǎng)成見文字想圖形的數(shù)形結(jié)合思維習慣. 分析問題的過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學生將給定的圖形與基本圖形進行對比，在數(shù)形結(jié)合和圖形的分解中發(fā)現(xiàn)DA=DC=DA′，尋找基本圖形——動點到定點的距離等于定長，于是構(gòu)造第一個輔助圓，找到解決問題的切入點. 這為這道題的順利解答提供了思維路徑. 教師還應(yīng)引導(dǎo)學生從確定的已知條件出發(fā)，積極參與到解題活動中，鼓勵他們盡可能地找到幾何圖形中線段和角度的各種特征，并且通過觀察、描述，歸納出符合這類輔助圓的模型的共同特征——共端點的3條線段相等. 此時，學生能夠體會和感悟到輔助圓的妙用.

在新授課中，某些定理適時縱深拓展，能夠引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)圖形中蘊含的大量其他相關(guān)結(jié)論，這有利于學生發(fā)展聯(lián)想思維，能增強知識之間的溝通. 正如新授課中重視對圖形的進一步研究，在確定本題的第一輔助圓之后繼續(xù)分析問題，我們發(fā)現(xiàn)只知道一個點A′的運動軌跡是無法確定點A′的具體位置的，于是根據(jù)題目的條件先確定對稱軸DE中點E的位置，連接DE后才能繼續(xù)根據(jù)軸對稱性進一步順利地確定點A′的位置. 教師引導(dǎo)學生根據(jù)添加第一個輔助圓的學習經(jīng)驗，繼續(xù)運用第二個輔助圓來幫助解題. 建議課堂教學進行到這里，教師引導(dǎo)學生進行回顧與反思，通過2次使用輔助圓的對比和歸納，學生對輔助圓會有一個初步的認識，這能讓他們體會到運用輔助圓解決問題所帶來的優(yōu)越性. 這樣，學生便學會了解題時要將圖形和數(shù)字巧妙結(jié)合，理解了使用輔助圓的數(shù)學原理，弄明白了其中的數(shù)量關(guān)系，總結(jié)出了使用輔助圓的題目特征，可見，他們將教師點撥和同學分享的知識和技巧不斷內(nèi)化和固化，大力提升了自身的數(shù)學思維水平. 在分析問題的過程中，如果學生能夠分散難點、解決問題，逐步達到將輔助圓作為一個思維單元運用到其他的解題過程中時，今后他們就能運用輔助圓解決類似的問題.

雖然填空壓軸題的切入點很多，但是將圖形與數(shù)據(jù)結(jié)合起來找到變化中的不變量，往往是最突出、最有效的一個切入點，接著尋找或者構(gòu)造平時幾何學習中歸納出的基本圖形，順藤摸瓜認真分析、研究下去，基本可以順利解決問題.

3. 輔助圓有利于不遺漏討論的分類

“會而不對，對而不全”，這是許多同學在解題時無法避免而又屢犯不止的錯誤，提高解題嚴密性，避免漏解的奧秘在于學會分類討論. 分類討論就是按照一定的標準，把研究對象分成幾個部分或幾種情況，然后逐個加以解決，最后予以總結(jié)，得出結(jié)論的思想方法，也就是化整為零、各個擊破的轉(zhuǎn)化策略. 什么題目需要進行分類呢？一般來說，當問題包含的因素發(fā)生變化，問題結(jié)果也相應(yīng)發(fā)生變化，我們就需要對這一關(guān)鍵因素分類討論. 為什么需要分類討論呢？人的思維一般從感性開始，經(jīng)過不斷地發(fā)展、實踐、檢驗和深化，最終得出概念清晰、邏輯嚴謹?shù)拇_定性結(jié)論，從而形成理性思維. 初中生的數(shù)學思維很大程度上屬于經(jīng)驗型思維，感性經(jīng)驗直接影響著邏輯思維. 分類討論是提升理性思維的良好載體. 怎樣進行正確分類？分類的基本要求是不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持同一的分類標準，多級討論，逐級進行.

通過深度閱讀題目和充分挖掘已知條件，從△AED的角度來看待這個問題其實就是一個三角形的形內(nèi)高和形外高的問題. 三角形的高的位置不像中線和角平分線那么“安分”，后兩者無論三角形的形狀如何發(fā)生變化肯定在三角形的內(nèi)部，而高的位置可以在三角形內(nèi)部、外部甚至于在三角形上. 所以圖形中出現(xiàn)垂直于邊AB的線段DH時，我們要從DH是△AED的形內(nèi)高或者形外高兩種不同的情況來進行分類討論.

用圖形分解與組合的觀點來看待這個問題其實是將具有公共邊線段DH的兩個直角三角形——△EDH與△ADH進行兩個三角形共一條邊（邊DH）進行拼接組合的問題. 那么△EDH與△ADH可以組合在線段DH的同側(cè)，也可以組合在線段DH的兩側(cè).

從解△AED的角度來分析這個問題，結(jié)合剛才對三角形的形內(nèi)高和形外高的分析，我們可以通過形內(nèi)高DH將△AED切割成高DH兩側(cè)的Rt△EDH與Rt△ADH（如圖6所示），還可以通過形外高DH將△AED看成高DH同側(cè)的Rt△E′DH與Rt△ADH（如圖7所示）.

從圖形運動的角度來看待這個問題，我們還可以理解為將△EDH沿著線段DH在△ABC所在的平面內(nèi)翻折的問題. 那么△EDH沿著線段DH可以翻折到△AHD的內(nèi)部，也可以翻折到△AHD的外部.

無論從什么角度來分析這個問題，第二個輔助圓☉H的產(chǎn)生對于解決確定這個問題的答案都有關(guān)鍵性的作用. 正如本題分析過程中所表現(xiàn)出來的☉H和線段AB有兩個交點，所以決定對稱軸DE具體位置的點E有兩個，相應(yīng)符合題意的點A′也有兩個. 如果通過作出以點H為圓心，以線段DH的長度為半徑的圓與線段AB只有一個交點，那么決定對稱軸DE具體位置的點E有一個，相應(yīng)符合題意的點A′也有一個. 如果通過作出以點H為圓心，以線段DH的長度為半徑的圓與線段AB沒有交點，那么不存在對稱軸DE具體位置的點E，也不存在符合題意的點A′.

教學反思

1. 增設(shè)變式題組，感受變與不變

學生的數(shù)學學習內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實、有意義、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等活動. 數(shù)學教學的過程不僅是課本知識的傳授，更重要的是對學生數(shù)學能力的訓(xùn)練和數(shù)學觀點的培養(yǎng). 課堂教學中的例題無論選自教材上的例題和習題，還是試卷上的題目，在就題論題的講解和思想方法的歸納之后建議教師抓住幾個關(guān)鍵點，嘗試恰當改編，拓展追問，不斷豐富例題的教學價值，不斷增強例題的教學功能，促使學生的思維向多層次、多方向發(fā)散，有效提高課堂效果. 本著面向全體、潤物無聲、鼓勵挑戰(zhàn)的原則，教師結(jié)合題目的改編讓學生感受和領(lǐng)悟常見變式的策略：變條件、變結(jié)論、變解答過程以及復(fù)合式變式等類型編制變式訓(xùn)練題，對提高學生分析問題和解決問題的能力大有裨益.

變式1 ? 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，D是AC的中點，點E在邊AB上，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A′處. 當A′E⊥AB時，求A′A的長.

變式2 ?在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，點D是AC的三等分點，點E在邊AB上，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A′處，當A′E⊥AB時，求A′A的長.

變式3 ?在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，D是AC的中點，點E在邊AB上，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A′處. 當A′E⊥AB時，求翻折后重合部分圖形的面積.

變式4 ?如圖8所示，在△ABC中.∠ACB=90°，AC=4，BC=，點D在AB上，將△ACD沿CD折疊，點A落在點A1處，A1C與AB交于點E. 若A1D∥BC，求A1E的長.

變式5 ?如圖9所示，在△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，點D在BC邊上，把△ABC沿AD翻折使AB與AC重合，得△AB′D，求△ABC與△AB′D重疊部分的面積.

變與不變是世界永恒的規(guī)律，一方面：變是必然的，不變是不可能的;另一個方面：變是必需的，不變就不可能存在. 在眾多變式題組中變化的是背景三角形的形狀，不變的是背景三角形的邊和角的關(guān)系都能夠確定;變化的是各種結(jié)論要求，不變的是沿三角形內(nèi)某直線翻折;變化的是點D的位置，不變的是點D始終在背景△ABC的邊上;變化的是翻折后產(chǎn)生的新的線段與原有線段的位置關(guān)系，不變的是根據(jù)線段的位置關(guān)系均可推導(dǎo)角度關(guān)系. 當然翻折的背景還可以改變成其他三角形或者平行四邊形，翻折的折痕可以使圖形內(nèi)一條特殊線段，也可以是幾何圖形本身的邊，探索的問題可以是線段長度、角度大小，也可以是指定圖形的面積或周長等. 學生觀察這種題目的變化感受“變與不變”，方能體悟到變化和不變的關(guān)系;學生通過解題逐漸領(lǐng)悟在變化的題目中找到不變的方法，方能感知變式訓(xùn)練和歸納小結(jié)的重要性，也更能體會數(shù)學學習讓自己的學習能力更具生機活力的重要性.

2. 重視數(shù)學思想，提高教學立意

在數(shù)學學習的過程中，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題，通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化”的思想方法. 化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心，是以數(shù)學的觀點對所要解決的問題進行變形，就是在解決數(shù)學問題時，不是對問題進行直接分析，而是通過變形把要解決的問題，化歸為某個已經(jīng)解決的問題，從而求得原問題的解決. 它的基本形式有：化未知為已知，化難為易，化繁為簡，化曲為直等等. 轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)學學習中占有十分重要的地位，數(shù)學問題的解決，總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化等. 各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，數(shù)學思想中符號化就是將文字問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號，數(shù)形結(jié)合其實就是“數(shù)”與“形”的互相轉(zhuǎn)化，類比思想其實就是用“舊能力”轉(zhuǎn)化為“新能力”，建模思想和應(yīng)用意識是數(shù)學問題與實際生活問題的互相轉(zhuǎn)化，創(chuàng)新意識是現(xiàn)在向未來轉(zhuǎn)化. 轉(zhuǎn)化的思想方法不僅貫穿了所有的數(shù)學教學內(nèi)容和解題過程，而且直接影響學生的數(shù)學觀和學習觀.

在圓這一章的學習過程中，學生感受到最基本的解題策略就是“化曲為直”，將圓的相關(guān)問題轉(zhuǎn)化成三角形和四邊形問題. 然而這道崇明一模卷的第18題所代表的動點翻折問題中添加輔助圓，就將三角形問題轉(zhuǎn)化成圓來研究. 構(gòu)造輔助圓的解題關(guān)鍵要善于發(fā)現(xiàn)隱藏在條件中與圓有關(guān)的信息，抓住題目特征，拓寬解題思路. 由于特殊的圖形背景呈現(xiàn)的條件，學生對于輔助圓從看不見到看見隱約閃現(xiàn)的圓，從看見隱約閃現(xiàn)的圓到看見直線型圖形背后自帶圓形光環(huán). 通過添加輔助圓可以增強直線型和圓形的內(nèi)在聯(lián)系，通過圓的有關(guān)性質(zhì)找到解題途徑. 所以如圖10所示，這種轉(zhuǎn)化無疑是為圓以及其他曲線型到三角形以及其他直線型的轉(zhuǎn)化建立了平等關(guān)系、形成閉環(huán)，拓寬了轉(zhuǎn)化渠道，豐富了轉(zhuǎn)化方向，開闊了解題視野，推進了培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的進程.

輔助圓的出現(xiàn)不僅有利于幫助學生畫出準確的圖形，迅速找到解題的切入點，有利于養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，而且能夠引導(dǎo)學生不重復(fù)不遺漏的解決復(fù)雜圖形中動點的存在性問題. 所以，大膽聯(lián)想構(gòu)造出與題目相關(guān)的輔助圓，通過輔助圓讓幾何圖形中的特殊數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系顯性化，將直線性問題轉(zhuǎn)化為曲線型問題來解決，不失為一種特殊而行之有效的解題方法. 數(shù)學是理性的學科，數(shù)學教育以理性思維育人. 每一個例題都有著不可替代的教學價值，在教學設(shè)計中挖掘其中的育人元素，在課堂教學中關(guān)注學生的學習進程，在提問追問中引發(fā)學生的理性思考！