王婷婷
[摘? 要] 敏銳的觀察能力能避免人們被事物的表象所迷惑,并獲得透過(guò)表面現(xiàn)象看到事物內(nèi)在本質(zhì)或演變趨勢(shì)的能力. 形成良好的數(shù)學(xué)觀察能力,具有順利達(dá)成教學(xué)目標(biāo)、提高課堂教學(xué)效率、提升學(xué)生綜合素養(yǎng)等作用,具體的培養(yǎng)措施有:觀察式子結(jié)構(gòu)特征,探尋解題捷徑;觀察試題條件結(jié)論,搭建解題橋梁;觀察函數(shù)對(duì)應(yīng)圖像,探索問(wèn)題本質(zhì);觀察命題整體結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)靈活變通.
[關(guān)鍵詞] 觀察能力;作用;解題;能力;培養(yǎng)措施
大千世界,博大精深. 洞察問(wèn)題的本質(zhì)是學(xué)生永恒的追求,外觀于問(wèn)、內(nèi)識(shí)于心,是學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題并不斷超越自我的過(guò)程,觀察能力是聯(lián)系學(xué)生與問(wèn)題本質(zhì)的橋梁. 數(shù)學(xué)觀察是指在教學(xué)中,學(xué)生有意識(shí)地對(duì)數(shù)學(xué)事物的數(shù)形特征進(jìn)行感知、分析、抽象,并用對(duì)應(yīng)的數(shù)字、字母、符號(hào)或文字進(jìn)行表達(dá),其本質(zhì)是一個(gè)心理活動(dòng)的過(guò)程.
[?]數(shù)學(xué)觀察能力的作用
1. 順利達(dá)成教學(xué)目標(biāo)
心理學(xué)家哈根說(shuō)過(guò),“教學(xué)中,兒童具有注意一些線索而又無(wú)視另一些線索的心理傾向.”教學(xué)活動(dòng)是建立在明確的教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,學(xué)生一旦明確了學(xué)習(xí)任務(wù),在實(shí)際觀察中,則會(huì)不由自主地支配自身的感知覺(jué),將感知方向指向于特定對(duì)象,為目標(biāo)的達(dá)成奠定基礎(chǔ). 新課標(biāo)提出:“數(shù)學(xué)教育承載著引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,把握事物規(guī)律,形成正向世界觀等責(zé)任.”可見(jiàn),學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的視角觀察生活事物,增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感,是社會(huì)賦予學(xué)生的責(zé)任,也是重要的教學(xué)目標(biāo)之一.
2. 提高課堂教學(xué)效率
同一節(jié)課,不同學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同程度的認(rèn)知,這是課堂教學(xué)效率的體現(xiàn). 不得不承認(rèn),學(xué)生與學(xué)生之間,的確存在著顯著的個(gè)體差異,有些學(xué)生因觀察能力滯后,對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象及教學(xué)活動(dòng)缺乏洞察力,而有些學(xué)生則能靈敏地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì),學(xué)習(xí)效率自然很高. 顯然,缺乏觀察能力的學(xué)生,無(wú)法及時(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)與圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系,在知識(shí)的建構(gòu)上呈現(xiàn)出了慢半拍的節(jié)奏. 因此,提高學(xué)生的觀察能力,是提高教學(xué)效率的重要突破口之一.
3. 提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
當(dāng)前,在新課改的推進(jìn)下,每門(mén)學(xué)科都以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為教學(xué)宗旨. 觀察能力的提升對(duì)學(xué)生運(yùn)算、邏輯思維、想象、數(shù)據(jù)處理以及交流等能力的提升,都具有顯著的促進(jìn)作用. 不論是數(shù)據(jù)關(guān)系的處理,還是圖形的識(shí)別,都離不開(kāi)觀察能力的支撐. 當(dāng)然,這種觀察能力并非單純地用眼睛去觀察,更重要的是用大腦進(jìn)行思考與分析;觀察對(duì)象也不一定是直觀的形象,還可能是抽象的文字等. 因此,觀察能力的培養(yǎng)是促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的基礎(chǔ).
[?]培養(yǎng)措施
1. 觀察式子結(jié)構(gòu)特征,探尋解題捷徑
羅丹說(shuō):“能在被人司空見(jiàn)慣的事物上發(fā)現(xiàn)美的人,就是所謂的大師. ”當(dāng)學(xué)生面對(duì)相同的式子時(shí),因個(gè)體差異會(huì)看到不一樣的內(nèi)涵. 為了訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力,教師可以引導(dǎo)學(xué)生從式子的結(jié)構(gòu)特征出發(fā),進(jìn)行細(xì)致、全面、入微的觀察,以發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的最佳途徑;也可以根據(jù)式子的結(jié)構(gòu),確立明確的觀察點(diǎn),再由表及里、由點(diǎn)到面地進(jìn)行研究,從而獲得準(zhǔn)確的判斷,為解題服務(wù).
例1 已知集合P={1,2,3,…,2015},集合A為集合P的子集,在集合A的三個(gè)元素中,總有兩個(gè)元素存在a是b的整數(shù)倍,若
A
代表集合A的元素個(gè)數(shù),求
A
的最大值.
解析:集合A={1,2,22,23,…,210,3, 3×2,3×22,…,3×29}符合本題要求,此時(shí)
A
=21.
設(shè)A={a1,a2,a3,…,ak}?P,且a1 A 的最大值是21. 解決本題主要存在猜想與證明兩個(gè)環(huán)節(jié),從式子結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀察的要領(lǐng)是:①如果能發(fā)現(xiàn)式子的所有解,也就說(shuō)明本題除此無(wú)他;②如果能發(fā)現(xiàn)式子的部分解,就要用一定的手段找出看不到的解. 解題時(shí),除了以知識(shí)基礎(chǔ)為依托外,還要引導(dǎo)學(xué)生勇于大膽猜想,在猜想的基礎(chǔ)上進(jìn)行論證. 猜想雖不能直接解決問(wèn)題,卻能為解題提供幫助,而觀察過(guò)程則涵蓋了猜想與論證的過(guò)程. 2. 觀察試題條件結(jié)論,搭建解題橋梁 對(duì)于試題來(lái)說(shuō),觀察是溝通條件與結(jié)論的橋梁. 想要獲得結(jié)論,必須從問(wèn)題的條件中尋找相應(yīng)的依據(jù),條件為結(jié)論服務(wù),而結(jié)論又是條件的歸宿. 想要從已知條件中獲得未知的結(jié)論,就必須有一雙善于觀察的眼睛,將問(wèn)題的條件與結(jié)論結(jié)合在一起進(jìn)行分析、探究,這也是解題最常用的方法. 例2 已知α∈- ,,β∈- ,0,sinα-cos2β= - ,求sin -β 的值. 解析:根據(jù)題設(shè)條件可得sinα- =cos2β- ,也就是cos α- - =cos2β- ,再結(jié)合條件構(gòu)造函數(shù)f(x)=cosx- ,x∈[-π,0]. 因?yàn)閥=cosx于[-π,0]內(nèi)是遞增函數(shù),y= - 于[-π,0]內(nèi)也是遞增函數(shù),因此函數(shù)f(x)=cosx- 在[-π,0]內(nèi)是遞增函數(shù). 根據(jù)cos α- - =cos2β- ,得f α- =f(2β),因此sin -β =. 通過(guò)對(duì)條件的觀察與分析,構(gòu)造出函數(shù),再?gòu)膯握{(diào)性著手解題. 這種方法不僅將問(wèn)題的條件與結(jié)論聯(lián)系了起來(lái),還凸顯了觀察在解題中的重要作用. 如果學(xué)生之前有過(guò)類(lèi)似的解題經(jīng)驗(yàn),遇到本題就會(huì)很自然地想到這種解題方法,也就是說(shuō),學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)?zāi)艽龠M(jìn)觀察的有效性,為解決問(wèn)題提供幫助,也為思維的發(fā)展奠定基礎(chǔ). 3. 觀察函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖像,探索問(wèn)題本質(zhì) 眾所周知,數(shù)為形的基礎(chǔ),而形又是數(shù)的表達(dá)形式,數(shù)與形之間是“你中有我,我中有你”的關(guān)系. 數(shù)形結(jié)合思想貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始末,有很多問(wèn)題需要依賴(lài)數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化來(lái)解決. 因此,既要學(xué)會(huì)觀察數(shù)量關(guān)系中存在的形,也要洞察圖形中蘊(yùn)藏的數(shù)量關(guān)系. 高中數(shù)學(xué)解題中,我們常遇到的是通過(guò)函數(shù)圖像的觀察,揭示問(wèn)題的本質(zhì),達(dá)到解題的目的. 例3 若將函數(shù)f(x)=-(x∈[0,2])的圖像,繞著坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)θ(θ是銳角),此時(shí)得到的曲線仍然為函數(shù)圖像,求θ的最大值. 解析:從二次函數(shù)的單調(diào)性出發(fā),觀察f(x)=-(x∈[0,2])的圖像,可知其在[0,1]內(nèi)是增函數(shù),在[1,2]內(nèi)是減函數(shù). 假設(shè)函數(shù)f(x)位于x=0處的切線斜率是k,則k=f′(0). 因?yàn)閒′(x)==,所以k=f′(0)==tan30°,由此可確定切線的傾斜角是30°. 如圖1所示,要使旋轉(zhuǎn)θ后的圖像仍是函數(shù)圖像,那么旋轉(zhuǎn)后的圖像切線的傾斜角最大為90°,若超過(guò)90°,旋轉(zhuǎn)后的圖像與y軸會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)的曲線不是函數(shù)圖像. 因此本題最大的旋轉(zhuǎn)角度為90°-30°=60°. 類(lèi)似問(wèn)題還有很多,當(dāng)我們遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí),應(yīng)先明確函數(shù)圖像是基于函數(shù)解析式而來(lái)的,它們之間不僅是對(duì)應(yīng)的關(guān)系,還是相輔相成的關(guān)系. 解題時(shí),我們可以從數(shù)形結(jié)合思想著手進(jìn)行觀察,探索問(wèn)題的本質(zhì). 4. 觀察命題整體結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)靈活變通 隨著新課改的推進(jìn),當(dāng)前的命題越來(lái)越新穎、豐富,這對(duì)學(xué)生的思維靈活性提出了更高的要求. 其實(shí),所有的命題都是從基本概念、定義與性質(zhì)衍生而來(lái)的,具有萬(wàn)變不離其宗的規(guī)律. 當(dāng)學(xué)生解題時(shí)出現(xiàn)了思維上的障礙,可以考慮從命題的整體結(jié)構(gòu)上進(jìn)行觀察與分析,有可能會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)與突破. 例4 如圖2所示,正方體ABCD-ABCD中的點(diǎn)M,E分別是棱BC,BB的中點(diǎn),點(diǎn)N是正方形CBBC的中心點(diǎn),直線l是平面AMN和平面BED的交線,求直線l和正方體的底面ABCD所成角的度數(shù). 解析:從正方體的性質(zhì)著手進(jìn)行觀察與分析,可知MN,BE都與平面ABCD垂直,因此平面AMN,DBE均垂直于平面ABCD,所以l與平面ABCD也是垂直的關(guān)系,所成角為90°. 從常規(guī)思路出發(fā),一般都是先找出平面AMN和BED的交線l,再求所成角的度數(shù),但這種方式很煩瑣. 根據(jù)“兩個(gè)相交平面與第三平面垂直,那么交線與第三平面也為垂直的關(guān)系”的性質(zhì),能將本題化繁為簡(jiǎn). 由此可見(jiàn),觀察命題整體結(jié)構(gòu),具有靈活變通解題方法的重要作用. 實(shí)踐證明,良好的觀察能力能讓一個(gè)人變得更加嚴(yán)謹(jǐn)、睿智. 學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力水平的高低,對(duì)解題能力具有直接影響. 作為教師,應(yīng)在教學(xué)中不斷地提升學(xué)生的觀察能力,為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).