周寧

[摘? 要] 文章以“利用函數(shù)對(duì)稱性求值”課例說(shuō)明，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中如何以“能力立意、問(wèn)題導(dǎo)向”開展微專題復(fù)習(xí)以及如何實(shí)現(xiàn)教師深度教學(xué)和學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提升教師的教育教學(xué)水平和學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 能力立意;問(wèn)題導(dǎo)向;深度教學(xué);深度學(xué)習(xí);函數(shù)對(duì)稱性

[?]問(wèn)題提出

進(jìn)入高三二輪復(fù)習(xí)，很多教師會(huì)以微專題的形式展開復(fù)習(xí)教學(xué)，以期提高復(fù)習(xí)的有效性. 但是在專題內(nèi)容的選擇上，只是以知識(shí)、題型、解題技巧為主題，忽視了對(duì)知識(shí)本質(zhì)、內(nèi)在邏輯的聯(lián)系以及思想方法的重視，可能在一些陳題上會(huì)有效果，但是在如今以能力、素養(yǎng)為立意的高考命題導(dǎo)向下，這種復(fù)習(xí)行為顯然有些不思進(jìn)取、故步自封. 筆者學(xué)習(xí)了黃炳鋒老師提出的“五環(huán)節(jié)”（能力測(cè)評(píng)、診斷分析、典例精析、課堂小結(jié)、目標(biāo)檢測(cè)）教學(xué)法并加以實(shí)踐，以“能力立意、問(wèn)題導(dǎo)向”進(jìn)行微專題復(fù)習(xí)，在教學(xué)設(shè)計(jì)中力求讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解、對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟以及對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情操體驗(yàn)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

本文以高三復(fù)習(xí)微專題“利用函數(shù)對(duì)稱性求值”為例，探求如何通過(guò)“五環(huán)節(jié)”進(jìn)行深度教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

[?]教學(xué)過(guò)程

1. 能力測(cè)評(píng)

教師：請(qǐng)同學(xué)們花十分鐘時(shí)間完成例1.

例1 （2017年全國(guó)卷Ⅲ理數(shù)第11題）已知函數(shù)f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零點(diǎn)，則a=（? ）

A. - B.

C. D. 1

筆者在巡視中發(fā)現(xiàn)學(xué)生作答都是馬上對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，然后就無(wú)從下筆了，于是筆者決定引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題再認(rèn)識(shí)，領(lǐng)悟問(wèn)題考查的知識(shí)內(nèi)容和思想方法，從而提升其思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

教師：為什么要求導(dǎo)？

生1：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后畫函數(shù)圖像.

教師：很好，函數(shù)有唯一零點(diǎn)可以從函數(shù)圖像中觀察到，但是發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)的解析式很復(fù)雜，無(wú)法利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，這個(gè)方法走不通. 但是方向是沒(méi)錯(cuò)的，問(wèn)題在于如何發(fā)現(xiàn)圖像的大致形狀. 請(qǐng)大家再觀察函數(shù)的解析式，是否能發(fā)現(xiàn)其特殊性？

生2：y=x2-2x的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱.

教師：“函數(shù)圖像有對(duì)稱軸”與“函數(shù)有唯一零點(diǎn)”有關(guān)系嗎？

生2：如果函數(shù)有唯一零點(diǎn)，且圖像關(guān)于x=m對(duì)稱，那么x=m就是函數(shù)的零點(diǎn).

教師：所以下一步我們?cè)撊绾翁幚恚?/p>

生2：猜測(cè)y=ex-1+e-x+1也關(guān)于x=1對(duì)稱，這樣f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）的圖像就關(guān)于x=1對(duì)稱，可得f（1）=0，就可以求出a的值了.

設(shè)計(jì)意圖：以問(wèn)題為導(dǎo)向，通過(guò)能力測(cè)評(píng)的試題暴露學(xué)生現(xiàn)存的問(wèn)題：對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題認(rèn)識(shí)不清，導(dǎo)致解題沒(méi)有方向，機(jī)械化、隨意性，導(dǎo)致問(wèn)題無(wú)法順利求解. 激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，從而引出本節(jié)課的主題，明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

2. 診斷分析

教師：要能夠順利求解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，先要認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，因此讀題后有必要思考三個(gè)問(wèn)題：

（1）這是一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

（2）解決這類問(wèn)題的一般思想方法是什么？

（3）條件和問(wèn)題具體是什么？怎么聯(lián)系起來(lái)？

對(duì)于例1，這三個(gè)問(wèn)題的答案是什么？

預(yù)設(shè)：（1）含參函數(shù)有唯一零點(diǎn)求參數(shù)取值;

（2）函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想;

（3）解析式（代數(shù)）→圖像（幾何）→代數(shù).

教師：解決例1的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像具有對(duì)稱軸，以及對(duì)稱軸的幾何特征與代數(shù)特征之間的聯(lián)系，因此我們有必要總結(jié)一下函數(shù)對(duì)稱性以及其代數(shù)特征與幾何特征. 請(qǐng)同學(xué)們完成表1和表2.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)例1解答過(guò)程中學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行診斷分析，引出考查中需要進(jìn)一步研究的具體問(wèn)題，構(gòu)建解決這類問(wèn)題所需要的知識(shí)方法體系.

3. 典例精析

例2 （2016年全國(guó)卷Ⅱ文數(shù)第12題）已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x）=f（2-x），若函數(shù)y=x2-2x-3與y=f（x）圖像的交點(diǎn)為（x，y），（x，y），…，（x，y），則x=（? ）

A. 0 B. m

C. 2m D. 4m

解析：由f（x）=f（2-x）得f（x）的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，又函數(shù)y=x2-2x-3的圖像也關(guān)于x=1對(duì)稱，故兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)必然也關(guān)于x=1對(duì)稱.不妨設(shè)x

變式：已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x）=-f（2-x），若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）圖像的交點(diǎn)為（x，y），（x，y），…，（x，y），且x=m，則g（x）=________（請(qǐng)寫出滿足題意的一個(gè)函數(shù)解析式）.

解析：由f（2-x）+f（x）=0可知，f（x）的圖像關(guān)于（1，0）對(duì)稱，若y=g（x）的圖像也關(guān)于（1，0）對(duì)稱，易得x=m. 所以g（x）的解析式可以是y=（x-1）3，y=，y=sinπx等.

例3 （2012年全國(guó)新課標(biāo)卷文數(shù)第16題）設(shè)函數(shù)f（x）=的最大值為M，最小值為m，則M+m=________.

解析：f（x）==1+，因?yàn)閥=是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于（0，0）對(duì)稱，故y=f（x）的圖像關(guān)于（0，1）對(duì)稱，由圖像性質(zhì)可知，=1，即M+m=2.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題幫助學(xué)生進(jìn)一步理解考查的知識(shí)點(diǎn)和思想方法，體會(huì)如何利用函數(shù)對(duì)稱性解決問(wèn)題以及函數(shù)對(duì)稱性可以解決哪些問(wèn)題，并通過(guò)開放性試題的設(shè)置來(lái)提高學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的代數(shù)特征與幾何特征的理解和認(rèn)識(shí). 特別是對(duì)例3的解答，如果對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的認(rèn)識(shí)不夠深刻，看到最值問(wèn)題就想到利用導(dǎo)數(shù)求解，那么此題將無(wú)法解決，跟例1暴露出來(lái)的問(wèn)題是相似的，通過(guò)這道題再一次強(qiáng)化學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的認(rèn)知.

4. 課堂小結(jié)

（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和思想方法？

（2）如何想到用函數(shù)對(duì)稱性解決問(wèn)題？用函數(shù)對(duì)稱性可以解決哪些問(wèn)題？

（3）總結(jié)具有對(duì)稱性的函數(shù).

（4）你能否通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，總結(jié)函數(shù)的其他性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生梳理本節(jié)課內(nèi)容，進(jìn)一步完善知識(shí)方法體系，讓學(xué)生理解函數(shù)對(duì)稱性的本質(zhì)特征，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.

5. 目標(biāo)檢測(cè)

（2016年全國(guó)卷Ⅱ理數(shù)第12題）已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=2-f（x），若函數(shù)y=與y=f（x）圖像的交點(diǎn)為（x，y），（x，y），…，（x，y），則（x+y）=（? ）

A. 0 B. m

C. 2m D. 4m

[?]深度教學(xué)的幾點(diǎn)思考

1. 深度教學(xué)要基于主題的選取

為了能夠促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，教學(xué)主題的選取不是為了讓學(xué)生解決單一的知識(shí)問(wèn)題，而是要能夠產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)方法橫向以及縱向的關(guān)聯(lián)，在思維邏輯上具有同一性，在學(xué)習(xí)方式上具有生成性，在教學(xué)設(shè)計(jì)上具有一致性，使得學(xué)生能夠以批判性思維進(jìn)行知識(shí)方法的建構(gòu)，更能以知識(shí)遷移的運(yùn)用來(lái)提高數(shù)學(xué)能力，體現(xiàn)該主題的核心價(jià)值. 通過(guò)構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，幫助學(xué)生獲得學(xué)科思維方法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)這類相似知識(shí)方法體系的理解，從而達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目標(biāo).

如本節(jié)課對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的復(fù)習(xí)與函數(shù)的單調(diào)性、最值、周期性等性質(zhì)在知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程、思想方法的提煉上保持著一致性，使得學(xué)生在認(rèn)知觀念和知識(shí)體系上形成邏輯連貫性，從而建構(gòu)起解決這類問(wèn)題的知識(shí)方法體系.

2. 深度教學(xué)要面向問(wèn)題的解決

由于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不夠完善，認(rèn)知水平也有待提高，所以學(xué)生不太可能自主完成數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí). 因此復(fù)習(xí)時(shí)通過(guò)問(wèn)題讓學(xué)生形成認(rèn)知沖突，從而激發(fā)其求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生探究問(wèn)題的積極性和主動(dòng)性. 這一切的前提是要有優(yōu)質(zhì)的問(wèn)題進(jìn)行引導(dǎo). 因此復(fù)習(xí)中對(duì)數(shù)學(xué)試題的選擇要把握好高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)、疑難點(diǎn)，要具有深入研究的價(jià)值和較高的思維，問(wèn)題的解決能夠充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本思想方法，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的多角度理解加深對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，為學(xué)生深度學(xué)習(xí)提供條件.

“五環(huán)節(jié)”教學(xué)模式中通過(guò)“能力測(cè)評(píng)”環(huán)節(jié)暴露學(xué)生對(duì)該教學(xué)主題的淺層思維，發(fā)現(xiàn)存在的問(wèn)題，在“診斷分析”中通過(guò)層層設(shè)問(wèn)促使學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深度剖析，從而以批判性思維對(duì)知識(shí)方法重新建構(gòu)，在“典例精析”中強(qiáng)化對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解，通過(guò)設(shè)置結(jié)構(gòu)不良試題來(lái)發(fā)展學(xué)生綜合分析、解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生把握知識(shí)方法的深度，促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

3. 深度教學(xué)要深化數(shù)學(xué)的理解

很多情況下學(xué)生進(jìn)行的是淺層學(xué)習(xí)，一個(gè)很重要的原因就是對(duì)數(shù)學(xué)的理解只是基于表層，忽視對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí). 為讓學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)，首要就是理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵：可以在數(shù)學(xué)知識(shí)背景、幾何直觀、符號(hào)公式中感受數(shù)學(xué)的“感性美”，在邏輯推理中理解數(shù)學(xué)的“理性美”，通過(guò)這兩種美的認(rèn)知體會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，如本節(jié)課中對(duì)稱性的代數(shù)特征與幾何特征之間的聯(lián)系;也可以通過(guò)數(shù)學(xué)思考培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方法，擴(kuò)充認(rèn)知結(jié)構(gòu)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).通過(guò)深化對(duì)數(shù)學(xué)的理解，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

4. 深度教學(xué)要教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)

深度教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)是教會(huì)學(xué)生擁有自主學(xué)習(xí)的能力，擁有探求數(shù)學(xué)知識(shí)世界的渴望，擁有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，教學(xué)中要幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)和整合，能夠運(yùn)用類比、發(fā)展的思維去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，在問(wèn)題的探究中培養(yǎng)團(tuán)結(jié)協(xié)作、科學(xué)理性的精神，掌握數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般方法，在“反思”與“再認(rèn)識(shí)”中加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，這樣才能真正學(xué)會(huì)深度學(xué)習(xí).

[?]結(jié)語(yǔ)

無(wú)論是深度教學(xué)還是深度學(xué)習(xí)，都要求“深刻理解數(shù)學(xué)”. 在這個(gè)過(guò)程中，教師以“深刻的思想啟迪學(xué)生”，學(xué)生以“深刻的學(xué)習(xí)開創(chuàng)未來(lái)”.