羅建華

摘? 要：在很多人眼里，數(shù)學是一門枯燥乏味的課程，如果把美麗和數(shù)學相提并論，許多人會持不同意見。數(shù)學漂亮嗎？數(shù)學美嗎？這樣的問題將接踵而至。事實上，如果能冷靜下來，去細細品味那些枯燥公式、煩瑣證明之后的本質規(guī)律，就能體味到一種獨特的美，那是不同于生活中常見美的數(shù)學所特有的美：邏輯上的嚴謹性、結構上的協(xié)調性、理論上的抽象性、應用上的廣泛性以及其方法之優(yōu)美與奇特、其形式之間的對稱與和諧、其內容的豐富與深刻等等，無不給人以美的感受、美的刺激、美的熱愛。美育，又稱美感教育，是培養(yǎng)人們認識、發(fā)現(xiàn)、體驗、欣賞和創(chuàng)造美的能力的一種教育方法，可以促進受教育者獲得美的理想、美的品質、美的修養(yǎng)和美的情感。一方面，中小學數(shù)學教育是為學生建立一個基本的邏輯體系，另一方面是為了學生做到主動學習、喜愛學習，最后形成終身學習的習慣，這才是中小學數(shù)學教育的立足點與支撐點。

關鍵詞：對稱美;統(tǒng)一美;數(shù)學教學

一、數(shù)學中的對稱美

（一）創(chuàng)設美的情境，讓學生感受數(shù)學的對稱美

在課堂上用課件放出美麗的軸對稱圖形，可比干巴巴地講課生動、形象多了，并且通過多媒體的放映，可以創(chuàng)立一個美的情境，讓學生置身于美中，全身心地感受到對稱美，在美境中得到成長。比如在學習軸對稱這一章時，教師可以這樣說：同學們，在這個世界上存在著許多軸對稱圖形，你們認為它是美的嗎？當然是美的，正是因為有了這些美麗的軸對稱圖形，世界才會變得如此五彩繽紛、豐富多彩！好了，就讓走近軸對稱圖形，去揭開她那神秘的面紗。（動畫呈現(xiàn)：有美麗迷人的泰姬陵、莊嚴肅穆的金字塔、雄偉壯麗的富士山和歷史悠久的巴黎圣母院等名勝古跡;有圓、矩形、橢圓、等腰三角形、正五邊形等各種圖形;還有漂亮的小蜜蜂，可愛的青蛙，美麗的蝴蝶等各種小動物……）隨著時間的推移，學生的情緒調動了起來，發(fā)出此起彼伏的贊嘆聲。學生已經(jīng)完整地感受到了對稱圖形的美，師：“正因為有了這么多對稱與不對稱，才讓的世界變得如此五彩繽紛、美麗動人?！蓖ㄟ^這些美麗的畫面，讓學生欣賞到對稱美，并產(chǎn)生追尋美的渴望。

師：剛才老師展示了那么多的軸對稱圖形，想必同學們已經(jīng)對軸對稱圖形有了深刻的認識，不知道你們能不能畫出一幅老師最喜歡的軸對稱圖形？

經(jīng)過前面的鋪墊，學生基本上理解了軸對稱原理，現(xiàn)在進行創(chuàng)作不僅可以鍛煉他們的動手能力，還可以進一步鞏固加深對知識的理解，教師在下面巡查，也可以查漏補缺。

本節(jié)課將要結束時，學生自主創(chuàng)作出來許多作品，如楓葉、彩虹、氣球等等。在本節(jié)課的作品展示環(huán)節(jié)，通過學生自己向全班介紹作品，加深了學生對對稱的理解，也表現(xiàn)了數(shù)學對稱美的文化內涵。

（二）探索美的秘密，創(chuàng)立美的等式

探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造三部曲不僅是人類的求知過程，也是一種常用的教學手段，例如可以在先在黑板上寫出一些對稱等式，讓學生仔細觀察，再提出一個問題，其實答案就隱藏在等式之中，等到學生苦苦探索，最終得到規(guī)律答案，并利用規(guī)律創(chuàng)造新的等式。多媒體出示：

33×22=22×33? 13×62=26×31? 14×82=28×41

25×52=25×52? 34×86=68×43? 46×96=69×64

師：請同學們仔細觀察上面的6個等式，你覺得美嗎？為什么？你能找出它的規(guī)律嗎？

前面兩問比較容易，學生一下子就答出來了。可是對于最后一問，全班都陷入了沉默，見此情況教師決定給幾分鐘討論。學生經(jīng)過激烈的討論最終發(fā)現(xiàn)了算式的秘密：1、每個算式都關于等號對稱;2、兩個個位、十位互換的兩位數(shù)的乘積等于兩個原兩位數(shù)的乘積。

師：剛剛得到了對稱等式的特征，你們能不能根據(jù)它的規(guī)律創(chuàng)造出一些類似的算式？

聽到這話，學生們躍躍欲試，不一會兒就創(chuàng)造出很多對稱等式，現(xiàn)出示一部分：

35×53=35×53? 55×77=77×55? 123×642=246×321

12×84=48×21? 13×93=39×31? 112×422=224×211

數(shù)學美育的魅力在于讓學生通過探索發(fā)現(xiàn)，不斷發(fā)現(xiàn)對稱美的秘密，并依據(jù)規(guī)律創(chuàng)造出對稱美。這樣不僅鍛煉了學生發(fā)現(xiàn)美的能力，還激發(fā)了他們探索美的熱情。

從回文數(shù)中得到啟發(fā)，巧解等差數(shù)列，回文數(shù)是指正序讀、反著讀都是一樣的整數(shù)，例如：1001、343、78987等。在回文數(shù)的整數(shù)乘法中，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象：

通過仔細觀察發(fā)現(xiàn)出規(guī)律，并巧算出：回文數(shù)在數(shù)學算式上的巧妙應用正是反映了對稱美，從而引起學生濃厚的興趣。

對稱美是宇宙萬物中的一個永恒定律，就像有白就有黑，有陽就有陰一樣，現(xiàn)代物理學中有個理論說有正物質就有反物質，假設現(xiàn)實生活中所看到、感受到的一切客觀事物都是正物質，那么宇宙中也存在看不見、感受不到的等量的反物質，這樣宇宙才均衡，就像一樣，說起來有些不可思議，但是在做某些難題時，這種設想?yún)s顯得巧妙、易懂。如在學習中對程度比較好的學生上等差數(shù)列求和時，大都用公式：“（首項+末項）×項數(shù)÷2”來教學，可這一公式對于成績較差學生要掌握和理解有一定困難。

有一道數(shù)學題叫作“懶人跑步減肥”，有個180斤的胖子想要減肥，于是他開始跑步，第一天他跑了10公里，后來每天都要比前一天少跑一些，每天少跑的距離是相等的，最后一天只跑了1公里，他一共跑了一個月（30天），問這個胖子一個月總共跑了多少公里？這道題難就難在不知道他每天具體跑了多少公里，也不知道每天比前一天少跑了多少公里，而且每天跑的距離不一定都是整數(shù)，唯一知道的是第一天和最后一天跑的距離。但是學過對稱，這個題目只要換個角度運用對稱的原理就可以巧妙地解答出來了：假設有一個瘦子他想通過跑步鍛煉身體，已知他第一天只跑了1公里，以后的每天都比前一天多跑一些距離，每天增加的距離是相等的，最后一天他跑了10公里，總共跑了一個月（30天），與前面的那位胖子的情況正好相反，也就是對稱。顯知胖子和瘦子一個月跑的距離是完全相等的，并且他們每天增加或減少的距離也是相等的，所以可以算得兩人每天一共跑了11公里，那么，一個月一共跑了11×30=330公里，即每人跑了330÷2=165公里。這道題的難點不過是沒有直接給出每1天跑的距離，其實完全不必糾結，完全可以利用對稱的原理，將這種等差數(shù)列求和化為類似回文數(shù)的對稱求和方式。學會運用對稱的思維來理解等差數(shù)列求和可比干巴巴地講求和公式要生動形象多了。

（三）從軸對稱圖形中發(fā)現(xiàn)對稱原理的運用

在學習了軸對稱圖形后，最常見的習題就是畫出軸對稱圖形的另一半。其實軸對稱圖形為人們研究數(shù)學問題提供了某些啟示，例如在博弈論中也經(jīng)常用到對稱理論，有一道經(jīng)典的題目：

一張桌面上擺了一排糖果，共計41個，有兩個小朋友比賽看誰能拿到最后的糖果就算贏，游戲規(guī)則是每人每次只可以拿一顆，最多拿兩顆，但是拿兩顆糖果時必須是相鄰的，即中間沒有其他的糖果，證明：先拿的人一定有辦法使對方輸。這題表面上看挺難的，以為從排列組合的角度來看，分法太多了，但是如果從對稱的角度來看卻十分容易。當先拿走了最中間的那一顆（第二十一顆糖果）后，左、右兩邊都各剩二十顆糖果，只要對方拿一邊的糖果，你就拿另一邊的糖果，而且位置、個數(shù)都和對方對稱，只要對方拿多少，你也拿多少，因為是對稱的，所以最后一次肯定是你的，因此先拿的人肯定是贏家。如果糖果是40粒，即偶數(shù)個時，只要你第一次拿走了中間的兩粒，使左、右兩邊各剩19顆糖果，就能保證必勝。

類似的題目還有：在一張長方形桌上，兩個賭徒在用圓形籌碼賭博，只不過這次的游戲規(guī)則有些另類：兩個人輪流在桌子上擺籌碼，每人每次只能擺一個籌碼，并且兩個籌碼之間不能重疊，保證每一個籌碼不能超過桌面邊緣一絲一毫，兩個人誰先擺不下籌碼就算輸。無論他們嘗試多少次，總是先擺的甲獲勝，這時，乙不禁充滿了疑問，這是為什么呢？發(fā)現(xiàn)桌子的形狀是長方形，因為長方形是中心對稱圖形，所以利用中心對稱性，先擺的甲他只要保證把第一個籌碼放在桌面的中心，那么不管乙把籌碼擺在哪里，甲總可以把籌碼擺在和乙關于桌面中心對稱的地方。這樣，只要乙有地方擺，那么甲也有地方擺，所以最后輸?shù)囊欢ㄊ且摇?/p>

無論是“籌碼問題”，還是“糖果問題”，解答它們的思維方法都源于軸對稱圖形的基本特征，教師在教授軸對稱圖形性質特征時，可以部分引用這方面的知識，加深對軸對稱圖形知識的運用和深層理解，使學生樂于學習，發(fā)現(xiàn)對稱的美，領略到數(shù)學的魅力，激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)美、鑒賞美、創(chuàng)造美的能力，并培養(yǎng)學生高尚的審美情趣。

二、數(shù)學中的統(tǒng)一美

（一）結論的統(tǒng)一美

一個統(tǒng)一的結論可以揭示自然界的一些秘密，促進人類社會的發(fā)展進步，人類的發(fā)展史就是一個不斷追求統(tǒng)一結論的過程。而作為所有學科的基礎，人類發(fā)展的基石——數(shù)學更是如此，對數(shù)學現(xiàn)象的所有分析都形成了無數(shù)個統(tǒng)一的結論，然而這只是冰山一角，自然界中還有許多沒有發(fā)現(xiàn)的結論等著。數(shù)學教材中的每一個公式，每一個定理都是一類問題的統(tǒng)一結論，也是最高度的概括與總結。例如，矩形的四個角是直角。除了公式和定理具有統(tǒng)一性外，許多看似毫無關系的問題也能得出統(tǒng)一的結論。

問題1：仔細觀察圖片，分析圖中有多少條線段？

問題2：圖中共有多少條小于180度的角？

問題3：小明參加的乒乓球隊在賀龍體育館進行比賽，已知有n支乒乓球隊參與乒乓球賽，請問在賀龍體育館一共進行了多少次比賽？

上面的幾個問題，雖然無論從故事背景，還是內容實質都大不相同，可以說是風馬牛不相及，但都有一個統(tǒng)一的結論，即由于這種情況在數(shù)學中十分常見，所以教師應該格外重視，主動鍛煉學生的歸納總結能力，以后碰到此類問題就可以巧妙解答，這就是數(shù)學結論統(tǒng)一美的魅力所在。

（二）方法的統(tǒng)一美

數(shù)學中有許多常見的方法，它們的應用十分廣泛，如消元法、降次法、圖像法、代入法等，它們在數(shù)學解題中扮演著十分重要的角色。

例如，二元一次方程可以用消元法或代入法解出未知數(shù)，一元一次方程組也可以用圖像法得出答案。

舉個簡單的例子，在計算五邊形的內角和，可以輕易地想出以下幾種方法：

方法1：如圖3，連接AD兩點，再連接AC兩點，可以看到線段AD、AC將五邊形ABCDE分成三個三角形，因為一個三角形的內角和是180度，那么五邊形的內角和為180×3=540度。

方法2：如圖4，在五邊形中心任取一點O，連接OA、OB、OC、OD、OE，將五邊形分成5個三角形，便可以求和，即180×5-360=540度。

方法3：如圖5，在五邊形的任意一邊，假設在AB邊上取一點P，P點任取，連接PC、PD、PE，將五邊形分成了4個三角形，便可求和，即180×4-180=540度。

觀察可知，上述的三種解法，都有兩點統(tǒng)一的特征：（1）都是每個頂點跟任意一點連接，這個點可以是頂點，也可以是五邊形內部的一點，甚至可以是五邊形一邊上的任意一點;（2）將求五邊形內角和的問題，轉化成求幾個三角形內角和相加的問題?？吹竭@里，有同學不禁想到如果任意一點是在五邊形的外面，那么還能構造出三角形來求五邊形的內角和嗎？其實是可以的，方法同上面三種解法一樣，在此不詳細論述。對不同的解題方法進行概括總結，得出統(tǒng)一的結論，有助于學生深刻地理解問題本質，拓展思路，鍛煉解題技巧，感受統(tǒng)一美的魅力。

（三）過程的統(tǒng)一美

在學習矩形、平行四邊形等數(shù)學圖形的過程中，學生將經(jīng)歷定義、性質、認識、應用四個環(huán)節(jié)，學習全等、相似等數(shù)學關系的時候也是經(jīng)歷了這四個環(huán)節(jié)。而在學習一元一次、二元一次等方程的過程都經(jīng)歷了概念、解法、應用的三個階段。知識點的研究過程可以統(tǒng)一，那么數(shù)學的解題過程也有統(tǒng)一美嗎？

例：如圖6，點A的橫坐標為10，縱坐標為0，OA是半圓C的直徑，點C為圓心，有一點B沿著半圓周運動，連結OB，連接AB，并延長AB至點D，使DB=AB。過點D作垂直于x軸的直線，交直線OB于點F，交x軸點E，連結CF。

（1）如果測得∠AOB=30°，那么弧AB有多長？

（2）假設DE=8，那么線段EF的長度是多少？

（3）當點B沿著半圓C運動時，求三角形ECF與三角形AOB能否相似。若能的話，試求出點E的坐標;若不能，請給出理由。

解：（1）略。

（2）當交點E在點A，C之間時，如圖7，連結OD。因為DB=AB，OB⊥AD，所以OA=OD=10。又DE=8，所以OE=6，所以AE=4。又因FOE與△ADE相似，則EF ∶ AE=OE ∶ DE，解得EF=3。

當交點E在點O的左側時，如圖8，連結OD。因為DB=AB，OB⊥AD，所以OA=OD=10。又DE=8，所以OE=6，所以AE=16。又因△FOE與△ADE相似，則EF ∶ AE=OE ∶ DE，解得EF=12。

（3）略。

注：發(fā)現(xiàn)在解答第二問的時候有兩種情況，在這兩種情況中的圖形差異很大，得出的結論也不一樣，但是解題過程卻出乎意料的一致。這種解題過程的高度統(tǒng)一在第三問中也存在著，第三題共有六種情況，除了兩種情況無解外，其他幾種情況的解題過程基本一致，這里就不廢話了。

從這道題中可以發(fā)現(xiàn)，圖形通過平移、旋轉等變換改變了位置和形狀，但是解題的過程卻是高度統(tǒng)一的，從這種統(tǒng)一上，學生可以得到思路的啟發(fā)，找到快速簡捷的解決問題途徑，這就是統(tǒng)一美的意義所在。

三、對未來數(shù)學教學模式的思考和建議

滲透數(shù)學美在數(shù)學不僅是教學過程中體現(xiàn)的數(shù)學之美無處不在，也刺激了課堂氣氛，吸引學生的學習興趣，使學生形成思維美感。

針對教材里潛藏的美學因素，教師應在課堂教學中揭示出來，讓學生自然地認識到數(shù)學的美。在如何揭示數(shù)學的潛力在教材，教師可以使用發(fā)現(xiàn)方法教從審美的角度來看問題，引導學生運用創(chuàng)造思維，擁有獲取新知識與審美特征的喜悅，通過必要的實踐中獲得感悟，再發(fā)現(xiàn)新的知識。學生通過這個過程培養(yǎng)了審美直覺能力，提高了實踐創(chuàng)造能力。

教師在課堂教學中要注重于引導學生的審美意識，適當?shù)貙?shù)學中美的因素呈現(xiàn)出來，讓學生體驗到數(shù)學的美感。

教師可以探索數(shù)學美的教科書，培養(yǎng)學生的感受美，欣賞美，讓學生可以用美學方法在數(shù)學創(chuàng)造美的能力。因此，在教學實踐中，學生可以更輕松，更快樂地學習數(shù)學知識，掌握數(shù)學技能，在自覺的、輕松的、活潑的氛圍中成長。

（責任編輯：淳? 潔）

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