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        談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用技巧

        2021-12-16 06:52:32尤曉綿
        關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合法運用分析高中數(shù)學(xué)

        尤曉綿

        【摘要】步入高中,高一學(xué)生往往會有“措手不及”的感覺,如果老師不能夠及時調(diào)整學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),改變他們原有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,就很容易使學(xué)生難以理解相關(guān)知識點和題目的內(nèi)在原理關(guān)系,今后的學(xué)習(xí)會更加吃力.而數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中最為常用且實用的思維方法,它把代數(shù)與幾何問題相互柔和,相互貫通,對于一些抽象條件的理解分析有明顯幫助,同時能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣,鞏固提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

        【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合法;運用分析

        引?言

        高中新的學(xué)習(xí)理念方法要求教師應(yīng)以進(jìn)一步培育和提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo),引導(dǎo)學(xué)生掌握一些關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思維方法,將看似抽象且難以理解的數(shù)學(xué)問題形象化.在方法的講授和運用時,教師要注重學(xué)生個體情況的差異,結(jié)合題目實際給出多元解決方案,鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新和發(fā)散思維,同時讓學(xué)生對于每個章節(jié)的知識重點有更加全面系統(tǒng)的認(rèn)識.

        一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展數(shù)形結(jié)合應(yīng)用技巧的價值

        進(jìn)入高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后,知識內(nèi)容更加呈現(xiàn)體系化、層次化和抽象化特征.高中數(shù)學(xué)知識更加抽象,很多公式定理都是由符號、字母或者其他形式做了代替,高度的凝練和簡潔,直觀性的內(nèi)容少之又少,這就讓很多從初中剛剛進(jìn)入高一的同學(xué)感到學(xué)習(xí)難度的上升.特別是一些在初中基礎(chǔ)較為薄弱的同學(xué),突然接觸到理解層次要求較高的數(shù)學(xué)知識,心中難免會打退堂鼓;而對于前期基礎(chǔ)較為扎實,學(xué)習(xí)情況良好的學(xué)生,如果一時不能轉(zhuǎn)換思維,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很可能中途受挫,影響其后續(xù)的積極性,學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就會大打折扣,很不利于在以后長期的學(xué)習(xí)中建立足夠的應(yīng)對能力.在高一階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中會涉及不等式的基礎(chǔ)知識,而不等式、曲線方程、二次函數(shù)等內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)課程中比較抽象、難度較大的知識點,單一的理論學(xué)習(xí)對于學(xué)生的邏輯、歸納、轉(zhuǎn)換能力要求都很高,老師這時就應(yīng)當(dāng)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中關(guān)鍵的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到實際教學(xué)過程中,能夠把一些數(shù)字、字母等代號公式通過較為直觀的幾何圖形和函數(shù)圖像向同學(xué)們展示,讓他們更容易判斷出變量之間的關(guān)系,從而找到解題的突破口,降低了的題目的破解難度;而更重要的是為學(xué)生找到了一種可以應(yīng)對當(dāng)前學(xué)習(xí)困境的有效方法,極大地增強(qiáng)了其學(xué)習(xí)信心.在運用該方法的過程中,還有很多技巧,如果運用得當(dāng),能夠減少大量的運算,非常奇妙,這對于青春期的高中生來說,既迎合了他們的求知欲,也能提升他們的學(xué)習(xí)興趣.

        在興趣提升方面,老師既要注重方法的講授,也要關(guān)注課堂氛圍的創(chuàng)建,通過較為活躍的課堂氛圍來吸引學(xué)生,把單一的“老師講課學(xué)生聽課”轉(zhuǎn)換為相互的交流與探討,以此增強(qiáng)學(xué)生的主動性,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動力.以高中一年級數(shù)學(xué)A冊中的二次函數(shù)內(nèi)容為例,結(jié)合例題來看 ,設(shè)f(a)是一個二次函數(shù),當(dāng)a=2的時候,f(a)存在最小值.求a2系數(shù)對應(yīng)的取值范圍[1].這道題可以運用二次函數(shù)的定理來解答,也可以結(jié)合圖形進(jìn)行判斷.因為二次函數(shù)存在最小值,那么根據(jù)圖形的形狀,很容易確定其是開口向上的拋物線,那么其值的范圍就可以瞬間鎖定.可見,及時運用圖形與函數(shù)對應(yīng)的方法,可以讓更加容易理解的圖形“說話”,對于一些需要大量計算而最后只需要做大概的定性判斷的問題,使用這種方法能夠簡化較多的計算過程,縮短運算時間,極大地提升解題的效率,更能夠培養(yǎng)學(xué)生善于創(chuàng)新和靈活處理問題的習(xí)慣,增強(qiáng)他們的破題和簡化運算能力.

        二、數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用形式簡析

        (一)根據(jù)數(shù)量條件創(chuàng)設(shè)圖形

        這在很多不等式的計算中應(yīng)用很大,把簡單的一元一次不等式用數(shù)軸來表示,同時反映了一個區(qū)間,又能和集合的知識聯(lián)系起來.一方面,教師運用圖形可以把題目的重點更加形象直觀地表達(dá)出來;另一方面,學(xué)生也可以更容易理解.比如,現(xiàn)在有兩個不等式,X+8>6和X-7<9,經(jīng)驗豐富的人很容易得到取值范圍是-2

        (二)結(jié)合圖形判斷數(shù)量關(guān)系

        圖形的特點是易于觀察,較為形象,容易理解,不過在高中數(shù)學(xué)教材中,很多圖形是較為繁雜的,有些圖形還含有很多隱藏的信息,學(xué)生一時難以察覺.這時就要靈活使用數(shù)形結(jié)合的方法,讓圖形轉(zhuǎn)換為數(shù)字語言,把隱匿的關(guān)鍵信息顯示出來,讓學(xué)生可以準(zhǔn)確地找到題目的切入點.我們?nèi)砸愿咭粩?shù)學(xué)A冊的二次函數(shù)為例,假設(shè)有函數(shù)f(t)=t2-2at+2,當(dāng)t的取值區(qū)間為 [-1,+∞]時,f(t)>a是永遠(yuǎn)成立的,則要求出a的取值范圍.對于這類題目來說,圖形可以畫出,但是根據(jù)已知條件難以對圖形中的具體特征和數(shù)值進(jìn)行歸類確認(rèn),但最后還是要歸位到傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)計算當(dāng)中.所以,我們就要根據(jù)圖形演示背后的數(shù)量關(guān)系,列出關(guān)系式,通過代數(shù)運算的相應(yīng)法則進(jìn)行運算,繼而求出答案.解答這類題目的關(guān)鍵在于未知數(shù)的代換和方程的消元與合并,因此教師要針對重點內(nèi)容對學(xué)生進(jìn)行詳細(xì)的講解.

        (三)數(shù)形相互轉(zhuǎn)化結(jié)合應(yīng)用

        某些數(shù)學(xué)問題的計算環(huán)節(jié)較多,程序也相對復(fù)雜,單純依靠簡單的某種數(shù)形轉(zhuǎn)化方式是很難解決根源性問題的,這就需要對該方法進(jìn)行一個綜合性的運用,讓數(shù)和形之間反復(fù)轉(zhuǎn)換,有機(jī)結(jié)合,達(dá)到綜合運用的目的.這種方法多在三角函數(shù)和復(fù)雜數(shù)軸問題上加以應(yīng)用.結(jié)合具體題目來看,如高一數(shù)學(xué)中提到二次函數(shù)的知識時,有這樣一道題目:當(dāng)曲線y2=1-x2,y>0,和y=k(x-2)+4交會于兩個點,這時問k的取值區(qū)間是多少.該題目就要綜合使用數(shù)形之間相互轉(zhuǎn)換的方法.具體的解題思維路徑如下,根據(jù)第一個曲線方程,我們?nèi)菀字浪暮瘮?shù)圖形是一個半圓形,那么第二個函數(shù)是一個一次函數(shù),它的截距不為零,肯定恒定經(jīng)過一個點,讓x=0時,y=4,即坐標(biāo)(2,4),這時就再根據(jù)函數(shù)的圖像判定取值區(qū)間,為

        四、實際教學(xué)中數(shù)形結(jié)合法的技巧應(yīng)用要點

        (一)從學(xué)習(xí)觀念意識入手逐漸提高方法運用的敏感度

        數(shù)形結(jié)合方法運用是核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的必備能力,而素養(yǎng)培育的關(guān)鍵在于意識的培養(yǎng).因此,教師在實際的教學(xué)中,要重點關(guān)注學(xué)生思維觀念的轉(zhuǎn)換和思路的啟發(fā),只有學(xué)生主動思考,才能給后來的方法正確使用做好鋪墊.在課堂教學(xué)中,老師要首先制定好相應(yīng)的教學(xué)計劃,把數(shù)形結(jié)合方法列為一項專題內(nèi)容或者是與其他的知識點講解相互融合,同時設(shè)定相應(yīng)的教學(xué)情境,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.確定具體的教學(xué)環(huán)節(jié)普及相關(guān)的數(shù)形結(jié)合方法的思想和用法,可以通過一些典型問題入手,讓學(xué)生先行思考,組織學(xué)生集中討論,看是否可以找出更加有效簡便的方法,讓同學(xué)積極發(fā)言,老師做好總結(jié)點評,對于已經(jīng)探索出數(shù)形結(jié)合方法的學(xué)生要積極鼓勵指導(dǎo),完善其思路方法;對其他學(xué)生可以讓他們充分思考后給出提示,這樣學(xué)生就有恍然大悟的感覺,也能感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奇妙性所在,對于以后數(shù)形結(jié)合方法的學(xué)習(xí)興趣也會提升.

        (二)緊扣教材核心,挖掘數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用的亮點

        在當(dāng)前的教材體系中,人教版的高中數(shù)學(xué)教材在很多內(nèi)容上都體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的思想.特別是在高一A冊的教材中,對于集合、不等式、一元二次函數(shù)、指數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等均有所體現(xiàn).因此,教師就要結(jié)合教材的知識點,深度挖掘其中的數(shù)形結(jié)合的方法內(nèi)涵和亮點,讓該階段的學(xué)生能夠熟練地掌握這一種典型的數(shù)學(xué)解題思維,并且可以靈活運用.在教學(xué)過程中,老師也要避免另一極端,即學(xué)生把數(shù)形結(jié)合當(dāng)成“萬能神藥”,把所有難以解答的題目都生搬硬套該方法,這樣容易造成邯鄲學(xué)步的尷尬局面.教師應(yīng)讓同學(xué)們認(rèn)識到除了數(shù)形結(jié)合方法外,假設(shè)法、賦值法、特殊值法、極限法等都是數(shù)學(xué)解題的好的思路和方法[3],要根據(jù)題目的實際考查點進(jìn)行合理選擇;同時要讓同學(xué)意識到數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是背后的數(shù)學(xué)思維的塑造,而不是簡單把方法照搬照抄.在教材題目的歸類挖掘中,教師之間也要相互協(xié)作,利用教學(xué)研討會、公開課等方式加強(qiáng)交流.

        (三)注重方法思維滲透,引導(dǎo)學(xué)生熟練運用

        教師在講授時,應(yīng)當(dāng)重點突出數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)勢和亮點,以及應(yīng)用的先決條件.比如,題目已知的條件或者后續(xù)的問題十分抽象,難以通過相應(yīng)的方法轉(zhuǎn)換成簡單易懂的數(shù)量關(guān)系,這時可以考慮使用該方法,讓其變得更為直觀,畫面感和代入感也更強(qiáng).又如,在不等式問題的研究上,很多一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系內(nèi)的幾條直線的交點和內(nèi)外部區(qū)域確定的問題,這樣就大大地簡化了關(guān)系式變形的步驟,更容易快速得出答案.以人教版教材數(shù)學(xué)為例,在不等式內(nèi)容中有如下例題:設(shè)有向線段AB的起點A和終點Q的坐標(biāo)分別是A(-1,1),B(2,2).加入有直線a:x+py+q=0和之前的線段有交點,問實數(shù)p的取值區(qū)間是多少.這是一道幾何問題,也可以轉(zhuǎn)換為簡單的不等式求解.思路如下:把a(bǔ)的直線方程化為函數(shù)式,y+1=-qp(x-0),那么可以看出這條直線恒經(jīng)過點c,同時這個直線的斜率是-qp,當(dāng)該條線和另一條直線相交時,通過圖形函數(shù)容易看出,當(dāng)直線和AB相平行的時候,A直線a的斜率最小,當(dāng)穿過c點時,斜率最大,而l只能在該區(qū)間內(nèi)活動,即kac

        結(jié)束語

        綜上所述,高中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合方法是破解一些層次較多、直接計算困難較大的數(shù)學(xué)題時使用的一種較為實用的方法,它對于解題效率提升、解題思維開闊、解題正確率提升都有著極大的促進(jìn)作用,同時可以幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,提高學(xué)習(xí)的主動性,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.教師在教學(xué)中應(yīng)注重技巧的運用,結(jié)合實際情況,合理運用,從而達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]戴玉娟.試析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合法的運用[J].新課程(中學(xué)),2015(5):139.

        [2]杜路敏.淺析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運用和實施[J].學(xué)周刊,2013(22):141.

        [3]徐童童.談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].中華少年,2018(13):230.

        [4]呂群英.數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探討[J].高考,2017(15):128.

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