李麗 馬思思
【摘要】化歸是數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中最基本、最常用的思想方法之一.培養(yǎng)學(xué)生的化歸思維能力,可以使學(xué)生更好地解決較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題.因此,教師應(yīng)該掌握一定的教學(xué)策略,讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的化歸思想方法,并運(yùn)用其正確地解決一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題.本文主要闡述了數(shù)學(xué)化歸的概念界定、原則、策略,以及一些具體的案例分析.
【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);化歸思想;化歸原則;方法
1?概念界定
數(shù)學(xué)化歸思想是指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),通過(guò)變換條件使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而解決問(wèn)題的一種方法.具體來(lái)講,就是可以將復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題;將未解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題變?yōu)橐呀?jīng)解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題,并加以解決原問(wèn)題.
2?化歸原則以及相關(guān)案例分析
2.1?簡(jiǎn)單化原則
簡(jiǎn)單化原則就是把一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化,使之轉(zhuǎn)化為比較熟悉而且容易解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題.通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行求解,從而解決復(fù)雜問(wèn)題,或者為解決復(fù)雜的問(wèn)題獲得一些啟示和依據(jù).
2.2?標(biāo)準(zhǔn)形式化原則
標(biāo)準(zhǔn)形式化原則是指在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,由教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型的思維來(lái)解決數(shù)學(xué)的問(wèn)題.如果學(xué)生遇到?jīng)]有解決或者等待解決的問(wèn)題,可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型的方式,將實(shí)際的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)理論上的問(wèn)題,最終解決原問(wèn)題.
2.3?熟悉化原則
將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題.當(dāng)學(xué)生對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法毫無(wú)思路,且題目也比較陌生,此時(shí)可以通過(guò)化歸的思想方法,將這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)過(guò)的,而且相對(duì)來(lái)說(shuō)比較熟悉的問(wèn)題,降低了學(xué)生解決問(wèn)題的難度,學(xué)生可以順利地解決原問(wèn)題.
從上式可以看出,在原式的展開(kāi)式值中,只有C66(2x-3x2)6的展開(kāi)式中含有x12的項(xiàng),所以含有x12的項(xiàng)為(-3x2)6=36x12=729x12,其系數(shù)為729,即(1+2x-3x2)6的展開(kāi)式中,含x12的項(xiàng)的系數(shù)為729.
3?化歸方法以及相關(guān)案例分析
在目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中,運(yùn)用化歸思想主要有以下幾種方法:
3.1?化繁為簡(jiǎn)
當(dāng)遇到一個(gè)比較陌生而且很難解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),學(xué)生可以尋找方法使之轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題.
實(shí)現(xiàn)該方法的途徑有很多種,其中分解(即將問(wèn)題分成若干個(gè)小問(wèn)題,或?qū)D形、圖式分離成若干個(gè)容易討論的簡(jiǎn)單圖形和簡(jiǎn)單圖式)、降維、分類(lèi)、特殊化等是最常使用的途徑.
例4?求凸多邊形的內(nèi)角和.
將一般的多邊形分割成三角形來(lái)求內(nèi)角和,一般地,推廣到n邊形,則可以分割成(n-2)個(gè)三角形,從而推導(dǎo)出n邊形內(nèi)角和是(n-2)×180°.這就是通過(guò)化歸方法,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)化歸目標(biāo).
3.2?分解法
數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容是抽象的、難以理解的,所以這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分解法,將整合起來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一一分解開(kāi)來(lái),將復(fù)雜的、難懂的問(wèn)題,拆分成簡(jiǎn)單易懂的知識(shí)點(diǎn),再逐一對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行分析、探索,最終解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題.
分析?本題中,原式的多項(xiàng)式的系數(shù)一共有6個(gè),所以我們可以把題目中多項(xiàng)式中的項(xiàng)全部進(jìn)行合理分組,以此來(lái)達(dá)到分解的目的,這樣可以使得該題運(yùn)算步驟更加簡(jiǎn)單,從而易于進(jìn)行運(yùn)算.但是分組的方法也有很多種,所以對(duì)于不同的問(wèn)題要有不同的分組方式.
3.3?正難則反
人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)候,往往都是根據(jù)題目中的已知條件來(lái)進(jìn)行推理,并得到所要求解的問(wèn)題結(jié)論的.長(zhǎng)此以往,人們就習(xí)慣了凡是只要遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題,就都從正面進(jìn)行思考.實(shí)際上,雖然許多數(shù)學(xué)方面的問(wèn)題從正面思考相對(duì)來(lái)說(shuō)比較容易,但有些數(shù)學(xué)問(wèn)題從正面入手則是非常困難,很難進(jìn)行解決.所以,當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的正面限制條件比較弱的時(shí)候,它的反面的限制條件反而強(qiáng),此時(shí)從反面入手推演則非常奏效.
3.4?特殊化策略
在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中,對(duì)于一些不容易解答的問(wèn)題,我們可以從簡(jiǎn)單的特殊形式入手,如我們可以從特殊的情形、特殊值等來(lái)進(jìn)行考慮,從而發(fā)現(xiàn)該類(lèi)問(wèn)題的一般的通用規(guī)律,進(jìn)而解決原問(wèn)題.
3.5?一般化策略
在解決一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),如果它很難進(jìn)行解決,我們可以把該問(wèn)題看作某個(gè)一般問(wèn)題的特殊情形,進(jìn)而可以采取一般系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)思想方法.
例?試比較19981999與19991998的大小.
若眼光僅僅局限于具體的數(shù),那么這個(gè)問(wèn)題就很難進(jìn)行求解.但是如果我們能從自然數(shù)系的整體角度去看待這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,則該問(wèn)題就可以變成一個(gè)一般的問(wèn)題.“試比較nn+1與(n+1)n的大小”,那么原問(wèn)題就是這個(gè)一般問(wèn)題的的一種特殊的情況.然后由部分初值的研究,我們可以提出一種假說(shuō),接下來(lái)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)我們所提出的這個(gè)假說(shuō)進(jìn)行驗(yàn)證,通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證得該假說(shuō)是正確的,最后再退回當(dāng)n=1998的特殊情況,就可以得出19981999與19991998的大小,問(wèn)題得到了解決.這就是運(yùn)用數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的一般化策略.
4?小結(jié)
目前,初中數(shù)學(xué)中仍然存在著許許多多的問(wèn)題,尤其是對(duì)于一些較難的數(shù)學(xué)題目,學(xué)生不容易解決.對(duì)于這種難度的數(shù)學(xué)問(wèn)題,如果想讓學(xué)生順利解決,我們就需要在課堂教學(xué)過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)化歸思想能力,讓學(xué)生采取化歸的思想方法,使得解決不了的、比較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為學(xué)生易于解決的、熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題,這樣原數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程的難度落在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi),從而更加容易解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.本文總結(jié)了培養(yǎng)學(xué)生化歸思想方法需要遵守的一般原則,以及在實(shí)際課堂教學(xué)中可以運(yùn)用到的一些培養(yǎng)學(xué)生化歸能力的教學(xué)策略和具體的教學(xué)案例分析.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們可以參考以上的教學(xué)策略,在實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力,進(jìn)而提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.
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數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2021年28期