仲海峰

摘要：通過對“角的認識”教學(xué)中“什么是角？”“角的大小與什么有關(guān)？”“怎樣表示平角？”等幾個常見疑難問題的思考，獲得感悟：數(shù)學(xué)概念教學(xué)要自覺淡化對外在形式、復(fù)雜技巧等細枝末節(jié)的關(guān)注，集中精力揭示、把握概念的本質(zhì)。由此可以發(fā)現(xiàn)“風(fēng)景”在對錯之外，理解錯誤有時也叫“暫時性正確”，認識符號中蘊含著數(shù)學(xué)意象。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念教學(xué);數(shù)學(xué)本質(zhì);角的認識

小學(xué)階段研究的平面圖形中，角是最為特殊的一個：不具有封閉性。在判斷角的大小的時候，學(xué)生常常會將其和長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等封閉圖形的大小混為一類，產(chǎn)生認知偏差。本文通過對蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“角的認識”教學(xué)中幾個常見疑難問題的思考，談?wù)劰P者對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的感悟。

一、什么是角？——“風(fēng)景”在對錯之外

認識角，除了認識它的形狀，還要理解它的內(nèi)涵，這是比較角的大小的基礎(chǔ)。為了幫助學(xué)生理解角的內(nèi)涵，不少教師在教學(xué)中都會設(shè)計“讓學(xué)生指一指物體上的角在哪兒”的活動。比如——

師（課件出示三角尺圖片）這是我們常用的三角尺，你能指出三角尺上的角在哪兒嗎？

（一位學(xué)生走到屏幕前，用手指指著三角尺的頂端。）

師（輕輕按下手中遙控筆的按鈕，學(xué)生手指之處出現(xiàn)一個小圓點，如圖1）你說的是這兒嗎？

（學(xué)生點頭。教師微笑，再次按下手中的遙控筆，課件上的三角尺漸漸隱去，只留下一個小圓點。學(xué)生一看，慌忙將指在小圓點上的手指收回。）

師同學(xué)們，他剛才指的是角嗎？

生不是。他指的是角的頂點。

師那角在哪兒呢？誰再來指一指？

（另一位學(xué)生走到屏幕前，沿著三角尺的邊“描”出角的輪廓，軌跡如圖2 中的箭頭所示。）

師她指得對嗎？

（部分學(xué)生點頭，大部分學(xué)生沒有表示。）

師（同步演示，如圖3）指角時，我們一般從角的頂點出發(fā)，先引出一條線，再引出另一條線。

這里，學(xué)生“指角”時，指著角的頂端，錯了嗎？課后訪談表明：學(xué)生指的實際上不是教師所想的角的頂點，而是“角前端尖尖的那一小部分”。這樣指角指出了角最重要的部分，值得肯定。學(xué)生沿著角的邊“一筆畫”描出角的樣子呢？這樣指角清楚、明了地表示出了角的樣子，也值得表揚。教師從頂點出發(fā)引出兩條邊呢？這樣指角表示出了角的兩條邊無限延長的特點，滲透了四年級要學(xué)習(xí)的“角的邊是射線”的知識，同樣值得提倡。此外，還可以借助手指、鉛筆等，從一條邊出發(fā)旋轉(zhuǎn)到另一條邊，將角的大小具體形象地表達出來;像《幾何原本》那樣將角定義為“兩條線之間的位置關(guān)系”。

在小學(xué)階段，表達角的概念的方式很多，不同的方式可以幫助學(xué)生從不同的角度出發(fā)、在不同的程度上理解“兩條邊張開的大小”這一角的本質(zhì)，都不應(yīng)是“標準姿勢”。教學(xué)時，教師不要過多地關(guān)注學(xué)生指角的對錯，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注各種表達的可取之處，在比較和分析中逐步領(lǐng)悟角的本質(zhì)。也就是說，“風(fēng)景”在對錯之外。

二、角的大小與什么有關(guān)？——錯誤有時也叫“暫時性正確”

理解角的大小與兩條邊張開的大小有關(guān)，是“角的認識”教學(xué)的重難點之一。為了突破重點、分解難點，不少教師在教學(xué)中都會讓學(xué)生操作活動角，從中體會：將兩邊張開，角變大;將兩邊合攏，角變小。但是到了課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，比較圖4中兩個角的大小時，依舊會有很多學(xué)生認為∠2>∠1。他們怎么也想不通：∠2看上去明顯比∠1大，為什么老師卻說它們相等呢？面對學(xué)生的困惑，教師一般都會不厭其煩地提醒：角的大小只與角兩條邊張開的大小有關(guān)，而與邊的長短無關(guān)。

這里，“角的大小與邊的長短無關(guān)”實際上存在著科學(xué)性錯誤：角的邊是射線，射線怎么會有長短呢？但是，很多教師還是堅持用這句話來幫助學(xué)生理解角的大小。他們的理由很簡單：找不到更能如此直接、有力地糾正學(xué)生親眼所見的“∠2>∠1”這個錯覺的方法。

對此，筆者的觀點是：這個世界上，不是非對即錯，還有一種所謂的錯誤也叫“暫時性正確”。二年級學(xué)生沒有學(xué)過射線，在他們的眼里，角的邊僅僅是直直的線段。和他們強調(diào)角的邊無限長，超出了他們的認知范疇。對他們而言，“角的大小與邊的長短無關(guān)”這句話可以視為“暫時性正確”。

對于“暫時性正確”，很多人一下子不容易接受。其實，這樣的例子在小學(xué)階段還有很多。如：（）+7<10，（）里可以填。二年級學(xué)生在橫線上填“2、1、0”，顯然沒有填全，還可以填小數(shù)、負數(shù)等;但已經(jīng)是他們能得到的所有結(jié)果了，不僅正確，甚至還要加“☆”。

當然，“退”是為了更好地“進”。不要求二年級學(xué)生理解“角的邊是射線”，目的是讓他們集中精力理解“兩條邊張開的大小”這一角的本質(zhì)。等到四年級學(xué)生學(xué)習(xí)了射線，教師應(yīng)該幫助他們進一步理解：角的兩條邊雖然有的畫得長，有的畫得短，但是它們的相對位置（張開的大?。┛赡苁且粯拥?。我們將兩條邊的相對位置（張開的大?。┮粯拥慕欠Q為同類角。同類角長短不一的邊可以用射線來抽象概括，最終用同一個圖形來表示。

三、怎樣表示平角？——符號中蘊含著數(shù)學(xué)意象

小學(xué)階段認識圖形，一個重要的學(xué)習(xí)目標是能夠識圖、畫圖。因此，學(xué)生認識了角這一圖形后，不少教師都會組織學(xué)生進行辨析。比如——

（教師出示練習(xí)：圖5中的圖形表示的是角嗎？學(xué)生解決時，對第二個圖形是不是表示角，頗有爭議。）

師第二個圖形表示角嗎？

生不是角。

生是一個特殊的角。

師意見不一致了。我們講道理，以理服人。

生直線上有一個小圓點，這個小圓點是角的頂點，因此，第二個圖形表示一個平角。

生我認為第二個圖形表示的就是直線，因為直線是由無數(shù)個點組成的，那個小圓點原來就在直線上。

生我覺得第二個圖形表示的是兩條射線，這兩條射線有一個公共的端點，而且它們在一條直線上。

……

在直線上點一個小圓點是否表示平角？貌似無聊的爭論卻蘊藏著基本的數(shù)學(xué)道理：數(shù)學(xué)是借助符號來表達數(shù)量關(guān)系和空間形式的，每一個符號中都蘊含著一種數(shù)學(xué)意象。例如：用直直的線表示兩端無限延伸的直線;在直直的線一端點上小圓點，表示這條線從小圓點處出發(fā)，向遠處延伸，也就是射線;在直直的線另一端也點上小圓點，表示這條線到此為止，不可以再延長了，也就是線段。因此，在直直的線中間點上小圓點，這個小圓點不是裝飾，它表達的含義是兩條射線的公共端點（如圖6所示）。

既然在直線上點一個小圓點不表示平角，那么，怎樣表示平角呢？這個問題需要回到角的本質(zhì)來回答。角的本質(zhì)是“兩條邊張開的大小”。我們可以借助小圓弧這一符號，形象、清楚地表示“角兩條邊張開的大小”。因此，平角的表示如圖7所示。

對此，教師在教學(xué)中可以基于活動角的操作，引導(dǎo)學(xué)生思考：可以用什么符號表示角“兩條邊張開的大小”？得出用小圓弧這一數(shù)學(xué)符號來抽象表示。

綜上可見，“角的初步認識”教學(xué)中幾個疑難問題的解決其實都指向角的本質(zhì)。李邦河院士告誡我們：數(shù)學(xué)“玩”的不是技巧，而是概念。數(shù)學(xué)概念教學(xué)要自覺淡化對外在形式、復(fù)雜技巧等細枝末節(jié)的關(guān)注，集中精力揭示、把握概念的本質(zhì)。由此可以發(fā)現(xiàn)“風(fēng)景”在對錯之外，理解錯誤有時是“暫時性正確”，認識符號中蘊含著數(shù)學(xué)意象。