姚宇雯

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，特別是在習(xí)題教學(xué)的時(shí)候，解題就是一個(gè)思考的過程，解題過程反應(yīng)出來的就是思維的歷程。我們從不同的方面來考慮題目，從不同的途徑反復(fù)考察同一細(xì)節(jié)，以不同的方式組合這些細(xì)節(jié)，從不同的角度來處理它們遇到障礙或錯(cuò)誤，但每一次的沖破障礙都是一種進(jìn)步。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是應(yīng)該多嘗試、不要怕錯(cuò)誤，思維的鍛煉才是解題的根本目的。

關(guān)鍵詞：習(xí)題教學(xué); 解題思維 ;思維發(fā)展

《禮記·學(xué)記》：“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)。強(qiáng)而弗抑則易，開而弗達(dá)則思。”數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中教師要激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。教師在課堂上進(jìn)行習(xí)題教學(xué)時(shí)，最重要的是引導(dǎo)學(xué)生用正確的方法去思考，鍛煉和發(fā)展學(xué)生的思維能力。在不斷的引導(dǎo)和探索中，學(xué)生們才能學(xué)會(huì)獨(dú)立自主地思考，從而產(chǎn)生一些自主的想法，獲得一些新的突破。G.波利亞在怎樣解題中談到尋求有用的思路時(shí)可以從不同的方面來考慮題目，從不同的途徑反復(fù)考察同一細(xì)節(jié)，以不同的方式組合這些細(xì)節(jié)，從不同的角度來處理它們，一個(gè)有用的念頭也許是一個(gè)決定性的念頭，它能在一瞥之間就為你指向通往追蹤目的的途徑。本文以浙教版八下正方形的一道作業(yè)題為例談教師在引導(dǎo)學(xué)生們進(jìn)行探究的過程中，如何來發(fā)展和鍛煉學(xué)生的思維能力，讓他們能夠在解題中獲得創(chuàng)新和提升。

一、提出問題

已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，這兩條邊交正方形的邊BC和DC（或者是這兩條邊的延長(zhǎng)線），交點(diǎn)為M和N。

如圖1所示，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到某一角度時(shí)，BM=DN，此時(shí)，容易得到BM+DN=MN.

問題：（1）如圖2所示，當(dāng)∠MAN旋轉(zhuǎn)到某一位置，且BM≠DN，那么線段BM、DN、MN之間又有怎么樣的數(shù)量關(guān)系呢？寫出猜想，并證明你的結(jié)論。

（2）當(dāng)∠MAN旋轉(zhuǎn)到另一位置時(shí)，如圖3所示，同樣的，線段BM、DN、MN之間又有怎么樣的數(shù)量關(guān)系呢？寫出猜想即可。

二、引導(dǎo)探究

這道題目既是一道證明題，也是一道規(guī)律探究型題目，有一定的難度。在引導(dǎo)學(xué)生們思考的時(shí)候，必須要充分結(jié)合已知條件，又要讓學(xué)生們發(fā)揮想象，做一些大膽的猜想。首先我是做了一個(gè)大致的提示，如“題目中為什么要把這種特殊情況告訴我們，當(dāng)BM=DN時(shí)，容易得到BM+DN=MN.”這樣就可以提示學(xué)生們從特殊情況開始探究，并按照這樣的方式去探究另外兩種情況，而探究的方向同樣是找出線段之間的數(shù)量關(guān)系，極有可能還是和差的關(guān)系。

有了這個(gè)大致的方向之后，學(xué)生們就開始從判斷這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系入手，把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成了線段的和差問題。我讓學(xué)生們從研究圖1開始，先證明一次，理清這類證明題的總體思路，那么就可以把這種思路運(yùn)用到另外兩種情形。于是提問：對(duì)于探究線段之間的和差關(guān)系，我們通常用什么方法來解答呢？學(xué)生答：通過截長(zhǎng)補(bǔ)短，把線段放在一個(gè)可比較的環(huán)境下進(jìn)行比較。接下來學(xué)生們對(duì)圖1的情況進(jìn)行證明。

證明過程：過點(diǎn)A作AH⊥MN于點(diǎn)H，如圖4所示。

∵ABCD是正方形，且BM=DN

∴△ABM≌△AND （SAS）

∴AM=AN，∠1=∠2=22.5°

∵AH⊥MN于點(diǎn)H ∴MH=NH，∠3=∠4=22.5°（三線合一）

∴△BAM≌△HAM 、△DAN≌△HAN （AAS）

∴MB=MH，ND=NH

整理得MN=MH+NH=MB+ND

上面是一種“截長(zhǎng)”的方法，除此之外還有其他的方法嗎？學(xué)生們通過思考，又給出了另一種“補(bǔ)短”的方法，大致過程如下：

先延長(zhǎng)MB至E，使得BE=DN，連接AE（如圖5所示），根據(jù)SAS容易證得△ABE≌△AND，得AE=AN，∠3=∠2，因?yàn)椤?+∠2=90°-∠MAN=45°，所以∠EAM=∠1+∠3=45°=∠NAM，同樣，用SAS可證得△EAM≌△NAM，綜上所述，可得MN=EM=EB+BM=DN+BM.

上面的兩種證法分別是通過“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”的方法把沒有聯(lián)系的線段放到了一起進(jìn)行比較，思路非常清晰?！敖亻L(zhǎng)”和“補(bǔ)短”也是常用的兩種證明線段數(shù)量關(guān)系的方法。通過對(duì)圖1中的特殊情況進(jìn)行證明，接下來繼續(xù)研究另外兩種一般的情況，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生們直接把方法移植過去，某個(gè)學(xué)生采用的是“補(bǔ)短”的方法，如圖6所示，先延長(zhǎng)MB至E點(diǎn)，使得BE=DN，可以得到△ABE≌△AND（SAS），所以AE=AN，∠3=∠2，又因?yàn)椤?+∠2=90°-∠MAN=45°，所以∠EAM=∠1+∠3=45°=∠NAM，同樣的方法易證得△EAM≌△NAM，所以MN=EM=EB+BM=DN+BM.

這個(gè)過程可以說是跟原來那個(gè)一樣的，也比較好理解。當(dāng)這個(gè)問題解決了之后，本想結(jié)束這道題的探究，然而，有個(gè)學(xué)生很好奇地問道：前面那個(gè)特殊圖形是用了兩種方法來證明，那這個(gè)也能用兩種方法嗎？這里只用了一種方法，是否也能用“截長(zhǎng)”的方法在中間添加一條輔助線呢？雖然這種方法我也沒有嘗試過，但我也不能拒絕學(xué)生的這種探究要求，反而應(yīng)該鼓勵(lì)，讓學(xué)生們能夠大膽猜想，不斷嘗試。因?yàn)槲抑溃挥羞@樣才能讓學(xué)生們發(fā)揮出潛能，積極去思考，鍛煉和提高學(xué)生的思維能力。

三、嘗試創(chuàng)新

對(duì)于這道題是否有另外一種解法，我也不能確定，只能一邊思考一邊引導(dǎo)學(xué)生們思考，我相信只要思考的方向正確，是可以做出來的。于是我們就參考特殊情形證明過程中的另外一種證明方法，用“截長(zhǎng)”的方法來嘗試證明這個(gè)結(jié)論。

學(xué)生們先自行探究并嘗試證明，如圖7所示，過點(diǎn)A作AH⊥MN于H，再證兩組三角形全等，先證明△ABM≌△AHM，接著要證明△ANH≌△AND，最后就可以得到結(jié)論。思路是理順了，但是，過程中卻發(fā)現(xiàn)問題了。學(xué)生們反應(yīng)，第一組三角形全等就證明不出來。從圖中可以看到，在這組三角形中，有兩個(gè)直角∠D=∠AHN=90°，AN是公共邊，還缺一個(gè)條件，不能證得三角形全等。另一組也是一樣的，證明不到全等。學(xué)生們陷入苦思，還是找不到方法。

此時(shí)又有學(xué)生提出新的思考角度，認(rèn)為在作輔助線的時(shí)候不作垂直，而是截取MH=MB，再連接AH。學(xué)生們對(duì)這種方法再一次進(jìn)行了嘗試，發(fā)現(xiàn)這種方法更加行不通，這樣只能得出第一組三角形的兩組對(duì)邊分別相等，同樣還是缺少一個(gè)條件，而另一組三角形只有公共邊這一個(gè)條件可用，證明的難度又加大了。學(xué)生們這樣連續(xù)遭受了兩次挫折，明顯感覺比較無奈和無助，感覺到他們想要放棄了，而我也正想宣布這道題無解，跳過這個(gè)問題，學(xué)習(xí)下一個(gè)內(nèi)容。

忽然有學(xué)生小聲的說是否可以用翻折的方式來找出這條輔助線。也就是將△ABM以AM為軸翻折，△AND以AN為軸翻折，如圖8所示。學(xué)生們心中頓時(shí)亮了起來了。因?yàn)椤螹AN=45°，所以∠1+∠2=∠3+∠4=45°，也就是說翻折之后的AB和AD能夠在一條直線上，到了這一步，可以說就非常簡(jiǎn)單了。通過三角形全等，可以證得∠AFM+∠AFN=∠B+∠D=180°，所以M、F、N三點(diǎn)共線，也就是MN=MF+NF=MB+ND.同學(xué)們?cè)诓粩嗟拇煺壑髮ふ业竭@樣一個(gè)巧妙的方法，都表現(xiàn)得非常開心，我也不禁為這班學(xué)生喝彩。

四、歸納總結(jié)

在平時(shí)的教學(xué)中，教師們天天說數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要發(fā)展學(xué)生的思維能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，大部分都只是在說，而沒有真正落實(shí)到位。而我認(rèn)為，像上面的課堂可以激發(fā)學(xué)生的潛能，鍛煉學(xué)生的思維。雖然這堂課中這道題目占用的時(shí)間比較長(zhǎng)，使得課堂沒有按照教學(xué)設(shè)計(jì)步驟進(jìn)行，但我認(rèn)為是非常值得的，我們平常說的培養(yǎng)學(xué)生的能力應(yīng)該就是這樣的方式。如果沒有學(xué)生的好奇，想要尋找另一種方法，就沒有后面精彩的探究，如果在遇到了一兩次挫折之后就放棄，同樣也看不到后面的精彩，學(xué)生的潛能也得不到激發(fā)。反思的過程中發(fā)現(xiàn)，這里面既要學(xué)生的積極參與，也要老師的積極配合。如果教師給的提示過多，就變成了講解，學(xué)生的思維得不到鍛煉，如果教師墨守成規(guī)，一味地按照教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行，可能就不愿意花時(shí)間去探討這個(gè)問題，直接就到了下一個(gè)環(huán)節(jié)，那么學(xué)生的各種好奇、各種猜想和潛能同樣不能發(fā)揮出來。因此，這個(gè)例子可以說給了我們一個(gè)啟發(fā)，只要引導(dǎo)適當(dāng)，給學(xué)生們一定的時(shí)間和思考空間，鼓勵(lì)他們勇于創(chuàng)新發(fā)展思維，學(xué)生從多方面多層次多角度進(jìn)行思考，學(xué)生的潛能是非常巨大的，而教師就是要做這個(gè)激發(fā)學(xué)生潛能的引導(dǎo)者。

參考文獻(xiàn)：

[1] 曾麗花.如何激發(fā)學(xué)生的有效思 考試周刊 2013年64期.

[2] G.波利亞怎樣解題 第30頁.