俞宏毓 朱向陽

摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是不斷數(shù)學(xué)化的過程。教師教學(xué)可以根據(jù)布魯納的“從實(shí)物操作到表象操作再到符號(hào)操作”認(rèn)知理論，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)化的過程。其中，特別需要重視半具體、半抽象的表象操作的中介作用。教學(xué)《數(shù)圖形的學(xué)問》一課時(shí)，嘗試充分利用表象，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化。反思這節(jié)課的教學(xué)過程，可以得到如下教學(xué)啟示：情境設(shè)置要能促進(jìn)學(xué)生的理解;啟發(fā)式教學(xué)不會(huì)過時(shí);要使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)化;表象;《數(shù)圖形的學(xué)問》

數(shù)學(xué)化是荷蘭著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提出來的。他認(rèn)為，“用數(shù)學(xué)方法把實(shí)際材料組織起來就叫數(shù)學(xué)化”，學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化，而且是從最低的層次開始，也就是先對(duì)非數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)化（屬于橫向數(shù)學(xué)化）。張奠宙先生認(rèn)為，人們?cè)谟^察、認(rèn)識(shí)和改造客觀世界的過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程就是數(shù)學(xué)化，“讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考與研究各種現(xiàn)象，形成數(shù)學(xué)的概念、運(yùn)算和法則，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程”是理所當(dāng)然的。很多研究認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是不斷數(shù)學(xué)化的過程，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化是養(yǎng)成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。

關(guān)于如何進(jìn)行數(shù)學(xué)化，張奠宙先生指出，“數(shù)學(xué)化是一個(gè)過程，是一個(gè)從問題開始，由實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題，由具體問題到抽象概念，由解決問題到更進(jìn)一步應(yīng)用的教育全過程”。顧泠沅先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)化就是在具體，半具體、半抽象，抽象之間的鋪排，是穿行于實(shí)物與符號(hào)之間的形式化過渡，因而可以根據(jù)布魯納的“從實(shí)物操作到表象操作再到符號(hào)操作”認(rèn)知理論，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)化的過程。例如，教學(xué)“退位減法”時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷“從擺小棒到用計(jì)數(shù)器再到減法公式”的數(shù)學(xué)化過程。再如，教學(xué)“有余數(shù)的除法”時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷“從實(shí)際分豆子到腦中分豆子再到除法公式”的數(shù)學(xué)化過程。又如，教學(xué)“長方形和正方形的面積”時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷“從實(shí)際數(shù)格子到腦中數(shù)格子再到面積公式”的數(shù)學(xué)化過程。因此，顧泠沅先生特別強(qiáng)調(diào)半具體、半抽象，即表象階段在數(shù)學(xué)化過程中的重要作用，認(rèn)為表象操作是從實(shí)物操作到符號(hào)操作的中介。教師要充分利用表象，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化。

教學(xué)北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)好玩”實(shí)踐活動(dòng)單元中的“數(shù)圖形的學(xué)問”專題時(shí)，教師便嘗試充分利用表象，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化。

一、課前思考

“數(shù)圖形的學(xué)問”和三年級(jí)上冊(cè)的“搭配中的學(xué)問”、六年級(jí)上冊(cè)的“比賽場(chǎng)次”屬于一個(gè)系列，都是簡(jiǎn)單的組合問題。小學(xué)階段簡(jiǎn)單組合問題的學(xué)習(xí)可以為高中階段排列組合知識(shí)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。三個(gè)專題呈現(xiàn)出從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從具體到抽象的變化趨勢(shì)?！皵?shù)圖形的學(xué)問”起著承上啟下的作用。

“數(shù)圖形的學(xué)問”教材從“鼴鼠鉆洞”的情境出發(fā)，讓學(xué)生思考鼴鼠有幾條跑動(dòng)路線，引入4點(diǎn)組合問題。該情境的設(shè)置非常巧妙：4個(gè)洞在一條直線上。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在一條直線上取點(diǎn)（代表洞）數(shù)連線段（代表路線），讓學(xué)生經(jīng)歷從“求鼴鼠跑動(dòng)路線條數(shù)”到“數(shù)線段條數(shù)”再到“列式計(jì)算”的數(shù)學(xué)化過程。教學(xué)過程中，可以緊緊抓住“數(shù)線段條數(shù)”這個(gè)表象階段，使學(xué)生充分理解簡(jiǎn)單的組合問題，不難解決更復(fù)雜的組合問題，出現(xiàn)錯(cuò)誤也能及時(shí)發(fā)現(xiàn)。

二、課堂流程

（一）情境引入

給出教材情境后，教師先引導(dǎo)學(xué)生讀懂題意，關(guān)注鼴鼠鉆洞的方向性，防止解題出錯(cuò)——

師 （出示教材情境圖，如圖1）你讀懂了什么？來說說看。

生 小鼴鼠可以選一個(gè)洞進(jìn)去，但是不能從進(jìn)去的洞出來。

生 鼴鼠從第二個(gè)洞進(jìn)去的話，不可以從第一個(gè)洞出來。

師 你是從哪里看出來的？

生 題目說向前走，從第一個(gè)洞里出來就是向后走了。

師 那我們給它定個(gè)方向，（同步指圖）這邊是左邊，這邊是右邊。小鼴鼠從左邊的洞鉆進(jìn)去后，就只能從右邊的洞鉆出來。

（二）從求路線條數(shù)到數(shù)線段條數(shù)的數(shù)學(xué)化

在自主嘗試求路線條數(shù)的過程中，學(xué)生出現(xiàn)了“在情境圖上畫并數(shù)路線”“畫示意圖并數(shù)路線”以及“直接列式計(jì)算”等多種方法。其中，畫示意圖的方法占大多數(shù)，并且主要有如圖2所示的三種方法。

教師抓住這半具體、半抽象的表象階段，展示如圖2所示的三種畫示意圖的方法，讓學(xué)生觀察“哪一種圖更簡(jiǎn)潔、更方便”，引導(dǎo)學(xué)生聚焦畫線段圖的方法。然后，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實(shí)與表象的要素之間的“一一對(duì)應(yīng)”，經(jīng)歷從求路線條數(shù)到數(shù)線段條數(shù)的數(shù)學(xué)化——

師 知道怎么由情境圖畫線段圖嗎？

生 知道。

師 先畫什么？（稍停）用一條直線來表示地平線，然后用什么來表示洞？

生 一個(gè)圓圈。

生 一個(gè)點(diǎn)。

師 情境圖中小鼴鼠挖了幾個(gè)洞？

生 4個(gè)洞。

師 那就在地平線上點(diǎn)幾個(gè)點(diǎn)？

生 4個(gè)點(diǎn)。

師 每一個(gè)點(diǎn)表示什么？

生 一個(gè)洞。

師 那么尋找有幾條路線就變成了什么問題？

生 數(shù)線段。

師 為什么變成了數(shù)線段的問題呢？比如說洞口A、洞口B、洞口C、洞口D，如果從洞口A進(jìn)去，可以從洞口B出來，也可以從洞口C出來，還可以從洞口D出來。也就是說，A到B的這條線段表示的意思是什么？

生 一條跑動(dòng)的路線。

師 所以，有幾條這樣的線段就有幾條跑動(dòng)的路線。

（三）強(qiáng)調(diào)數(shù)線段條數(shù)的順序

在自主嘗試數(shù)線段條數(shù)的過程中，學(xué)生出現(xiàn)了如圖3所示的兩種順序的數(shù)法。

數(shù)線段條數(shù)時(shí)的順序?qū)τ诓怀鲥e(cuò)，即不數(shù)重、不數(shù)漏（尤其是遇到點(diǎn)比較多的情況時(shí)），以及發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而列式計(jì)算，都具有重要的意義。因此，教師讓兩個(gè)學(xué)生分別展示兩種順序的數(shù)法，啟發(fā)學(xué)生總結(jié)數(shù)的規(guī)律，從而強(qiáng)調(diào)數(shù)的順序——

師 我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)跀?shù)的時(shí)候都沒有多數(shù)或少數(shù)，為什么？你們是怎么做到的？

生 因?yàn)槲覀兪怯幸?guī)律地?cái)?shù)的。

師 用什么規(guī)律數(shù)？

生 從點(diǎn)……

師 （指著圖3中的第一種數(shù)法）比如說從點(diǎn)出發(fā)的時(shí)候，是怎么樣數(shù)的？

生 從左到右。

師 而不是數(shù)完點(diǎn)A了，就數(shù)點(diǎn)C，再數(shù)點(diǎn)B，等等。也就是說，是按照順序來數(shù)的。（指著圖3中的第二種數(shù)法）按段來數(shù)的時(shí)候，也是有順序的：先數(shù)一段的，再數(shù)兩段的，接著數(shù)三段的?？偟膩碚f，我們?cè)跀?shù)的時(shí)候做到什么就不會(huì)亂、不會(huì)錯(cuò)？

生 按順序數(shù)。

師 對(duì)，按順序數(shù)，就不會(huì)重復(fù)，也不會(huì)遺漏了。

（四）從數(shù)線段條數(shù)到列式計(jì)算的數(shù)學(xué)化

通過數(shù)線段條數(shù)解決了“鼴鼠鉆洞”的4點(diǎn)組合問題后，教師展示“菜地旅行”的情境，讓學(xué)生通過數(shù)線段條數(shù)解決“有5個(gè)站點(diǎn)的單程車要準(zhǔn)備多少種車票”的5點(diǎn)組合問題。然后，進(jìn)一步延伸到更多站點(diǎn)的情況，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生從遞推的角度發(fā)現(xiàn)數(shù)量增加的規(guī)律，理解列式的原理，從而經(jīng)歷從數(shù)線段條數(shù)到列式計(jì)算的數(shù)學(xué)化——

師 5個(gè)站點(diǎn)有10種票。那老師再進(jìn)一步：路線上又開辟了一個(gè)新的站點(diǎn)，有6個(gè)站點(diǎn)，你知道有多少種車票嗎？誰能很快得出結(jié)果？

生 有15種車票。

師 你是怎么得到的？

生 因?yàn)槎嗔艘粋€(gè)站點(diǎn)，所以從原來那些站點(diǎn)出發(fā)或到原來哪些站點(diǎn)的車票都要再加1。

師 所以要比原來增加幾種車票？

生 5種。

師 所以可以用算式怎么表示？

生 5+4+3+2+1。

……

師 那10個(gè)站點(diǎn)的時(shí)候應(yīng)該怎么寫？

生 9+8+7+6+5+4+3+2+1。

師 非常棒！15個(gè)站點(diǎn)呢？

生 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

師 是的。找到規(guī)律，列出算式，接下來就是怎么算的問題了，是不是啊？那么下次我們可以繼續(xù)探討對(duì)這樣的算式，怎樣又快又準(zhǔn)地算出得數(shù)。

（五）三個(gè)拓展

實(shí)現(xiàn)了從數(shù)線段條數(shù)到列式計(jì)算的數(shù)學(xué)化后，教師對(duì)問題進(jìn)行了三個(gè)拓展，開拓了學(xué)生的視野和思路，并且為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。

第一個(gè)是內(nèi)容上的拓展，從簡(jiǎn)單的組合問題拓展到簡(jiǎn)單的排列問題，設(shè)置了“有8個(gè)站點(diǎn)的往返車要準(zhǔn)備多少種車票”的問題。

教學(xué)過程中，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師征詢不同的意見后，再次引導(dǎo)學(xué)生回到數(shù)線段條數(shù)的活動(dòng)中，尋找“乘2”的意義——

師 誰來匯報(bào)一下？

生 7+6+5+4+3+2+1=28。

師 是28種嗎？有沒有不同的意見？

生 我覺得這里應(yīng)該乘2，因?yàn)樗蟪龅闹皇菃纬痰钠睌?shù)。

師 你從哪里看出來要乘2？從哪里看出來跟我們剛才的車票問題是不一樣的？

生 往返。

師 那么為什么往返時(shí)乘2就可以了呢？（稍停）我們可以倒回去再數(shù)一遍線段條數(shù)。

……

第二個(gè)是形式上的拓展，從一維的數(shù)線段問題拓展到二維的數(shù)平面圖形問題，設(shè)置了求圖4中平行四邊形個(gè)數(shù)的問題。

教學(xué)過程中，學(xué)生順利求出平行四邊形的個(gè)數(shù)后，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等價(jià)性，把數(shù)平行四邊形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)線段的問題，理解問題的本質(zhì)——

師 你怎么知道是4+3+2+1的，請(qǐng)你說說4在哪？

生 4就是一個(gè)一個(gè)的平行四邊形有4個(gè)，3就是兩個(gè)兩個(gè)的平行四邊形有3個(gè)，2就是三個(gè)三個(gè)的平行四邊形有2個(gè)，1就是四個(gè)四個(gè)的平行四邊形有1個(gè)。

師 你是用什么方法來數(shù)的？

生 按段的方法。

師 那我們能不能按點(diǎn)的方法來數(shù)？可以把這幅圖怎么樣？

生 畫成線段。

師 對(duì)，我們可以把它變成一條線段。那么，把這些斜著的邊都?jí)嚎s成了一個(gè)一個(gè)的什么呀？

生 點(diǎn)。

師 對(duì)，只要數(shù)一數(shù)兩點(diǎn)之間的線段有幾條，就可以知道平行四邊形有幾個(gè)了，是不是？

第三個(gè)也是形式上的拓展，從限定在一條直線上的點(diǎn)的組合問題拓展到?jīng)]有位置限定的點(diǎn)的組合問題，設(shè)置了握手問題和單循環(huán)賽問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)依然可以通過數(shù)線段條數(shù)的方法解決。

三、課后反思

反思這節(jié)課的教學(xué)過程，除了充分利用表象，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化這一特征，還有一些亮點(diǎn)和不足，由此可以得到一些教學(xué)啟示。

（一）情境設(shè)置要能促進(jìn)學(xué)生的理解

情境教學(xué)是新課程改革倡導(dǎo)的教學(xué)方式之一。深入課堂可以發(fā)現(xiàn)，一些所謂的“情境教學(xué)”存在誤區(qū)：為了體現(xiàn)情境教學(xué)而設(shè)置情境，設(shè)置的情境不僅不能啟發(fā)學(xué)生思考，還容易誤導(dǎo)學(xué)生。因此，設(shè)置情境應(yīng)該特別關(guān)注促進(jìn)學(xué)生理解、幫助學(xué)生學(xué)習(xí)這樣的出發(fā)點(diǎn)。本節(jié)課中的幾個(gè)情境確實(shí)做到了這一點(diǎn)?！褒B鼠鉆洞”“菜地旅行”的情境都在無形中將問題限定為在一條直線上取點(diǎn)，讓學(xué)生更容易找到數(shù)線段的規(guī)律。

（二）啟發(fā)式教學(xué)不會(huì)過時(shí)

啟發(fā)式教學(xué)是一個(gè)古老的話題，但是不會(huì)過時(shí)，因?yàn)樗兄行?。新課改對(duì)啟發(fā)式教學(xué)也有強(qiáng)調(diào)，如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“處理好教師講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，注重啟發(fā)學(xué)生積極思考?！北竟?jié)課的教學(xué)很注重啟發(fā)學(xué)生積極思考，所有的規(guī)律和結(jié)論都是在教師引導(dǎo)下由學(xué)生思考或探究得出的，而不是教師告知的。尤其是教師的很多提問都具有啟發(fā)性。例如，強(qiáng)調(diào)數(shù)線段條數(shù)的順序時(shí)，提問：“我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)跀?shù)的時(shí)候都沒有多數(shù)或少數(shù)，為什么？你們是怎么做到的？”再如，處理往返車票問題，解釋“乘2”的意義時(shí)，提問：“你從哪里看出來要乘2？從哪里看出來跟我們剛才的車票問題是不一樣的？”這樣的提問都很含蓄，指出了思考的方向，留下了思考的空間。

（三）要使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的數(shù)學(xué)教育理念。這一理念不僅要求數(shù)學(xué)教學(xué)尊重學(xué)生的主體性地位，而且要求數(shù)學(xué)教學(xué)正視學(xué)生的差異，尊重學(xué)生的個(gè)性，做到因材施教。這節(jié)課上，教師對(duì)學(xué)生的差異關(guān)注得不夠：給出“鼴鼠鉆洞”的情境后，有三名學(xué)生不需要借助表象操作，給出了“直接列式計(jì)算”的方法，但是，教師始終沒有關(guān)注這種做法，導(dǎo)致這三名學(xué)生在接下來的問題處理過程中，再也沒有直接列式計(jì)算，而是開始畫線段圖數(shù)線段了。對(duì)于這三名學(xué)生來說，這種借助表象操作的數(shù)學(xué)化過程是否是思維的倒退？他們當(dāng)時(shí)是如何思考得出算式的？這些都需要教師的進(jìn)一步關(guān)注。這三名學(xué)生有可能就是Lynn?Paine教授所說的“原本自己可以學(xué)會(huì)游泳的孩子”，結(jié)果“才能被埋沒了”。不過，這節(jié)課上，教師將列出算式后涉及的等差數(shù)列求和問題留到以后解決（可以留到六年級(jí)上冊(cè)的“比賽場(chǎng)次”教學(xué)中解決，并可以延伸到一般的情況），對(duì)教材中的組合問題進(jìn)行了三個(gè)拓展（在學(xué)生可以接受的范圍內(nèi)，為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好了鋪墊），體現(xiàn)了教學(xué)的層次性，是因材施教的有效途徑之一。

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[8] 顧泠沅.口述教改——地區(qū)實(shí)驗(yàn)或研究紀(jì)事[M].上海：上海教育出版社，2014.

*本文系2020年度江蘇高校哲學(xué)社會(huì)科學(xué)研究一般項(xiàng)目“義務(wù)教育階段課堂教學(xué)存在問題及改進(jìn)研究”（編號(hào)：2020SJA0196）和2020年江蘇省社科基金后期資助項(xiàng)目“教師發(fā)展指導(dǎo)者研究”（編號(hào)：20HQ054）的階段性研究成果。相關(guān)研究得到浙江省義烏市繡湖小學(xué)朱劍英、李玲靜等老師的支持，以及南京信息工程大學(xué)人才啟動(dòng)基金的資助，特此致謝。