俞宏毓 朱向陽
摘要:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是不斷數(shù)學(xué)化的過程。教師教學(xué)可以根據(jù)布魯納的“從實(shí)物操作到表象操作再到符號操作”認(rèn)知理論,設(shè)計數(shù)學(xué)化的過程。其中,特別需要重視半具體、半抽象的表象操作的中介作用。教學(xué)《數(shù)圖形的學(xué)問》一課時,嘗試充分利用表象,使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化。反思這節(jié)課的教學(xué)過程,可以得到如下教學(xué)啟示:情境設(shè)置要能促進(jìn)學(xué)生的理解;啟發(fā)式教學(xué)不會過時;要使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)化;表象;《數(shù)圖形的學(xué)問》
數(shù)學(xué)化是荷蘭著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提出來的。他認(rèn)為,“用數(shù)學(xué)方法把實(shí)際材料組織起來就叫數(shù)學(xué)化”,學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化,而且是從最低的層次開始,也就是先對非數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)化(屬于橫向數(shù)學(xué)化)。張奠宙先生認(rèn)為,人們在觀察、認(rèn)識和改造客觀世界的過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程就是數(shù)學(xué)化,“讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考與研究各種現(xiàn)象,形成數(shù)學(xué)的概念、運(yùn)算和法則,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,經(jīng)歷一個數(shù)學(xué)化的過程”是理所當(dāng)然的。很多研究認(rèn)為,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是不斷數(shù)學(xué)化的過程,學(xué)會數(shù)學(xué)化是養(yǎng)成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。
關(guān)于如何進(jìn)行數(shù)學(xué)化,張奠宙先生指出,“數(shù)學(xué)化是一個過程,是一個從問題開始,由實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題,由具體問題到抽象概念,由解決問題到更進(jìn)一步應(yīng)用的教育全過程”。顧泠沅先生認(rèn)為,數(shù)學(xué)化就是在具體,半具體、半抽象,抽象之間的鋪排,是穿行于實(shí)物與符號之間的形式化過渡,因而可以根據(jù)布魯納的“從實(shí)物操作到表象操作再到符號操作”認(rèn)知理論,設(shè)計數(shù)學(xué)化的過程。例如,教學(xué)“退位減法”時,讓學(xué)生經(jīng)歷“從擺小棒到用計數(shù)器再到減法公式”的數(shù)學(xué)化過程。再如,教學(xué)“有余數(shù)的除法”時,讓學(xué)生經(jīng)歷“從實(shí)際分豆子到腦中分豆子再到除法公式”的數(shù)學(xué)化過程。又如,教學(xué)“長方形和正方形的面積”時,讓學(xué)生經(jīng)歷“從實(shí)際數(shù)格子到腦中數(shù)格子再到面積公式”的數(shù)學(xué)化過程。因此,顧泠沅先生特別強(qiáng)調(diào)半具體、半抽象,即表象階段在數(shù)學(xué)化過程中的重要作用,認(rèn)為表象操作是從實(shí)物操作到符號操作的中介。教師要充分利用表象,使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化。
教學(xué)北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊“數(shù)學(xué)好玩”實(shí)踐活動單元中的“數(shù)圖形的學(xué)問”專題時,教師便嘗試充分利用表象,使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化。
一、課前思考
“數(shù)圖形的學(xué)問”和三年級上冊的“搭配中的學(xué)問”、六年級上冊的“比賽場次”屬于一個系列,都是簡單的組合問題。小學(xué)階段簡單組合問題的學(xué)習(xí)可以為高中階段排列組合知識的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。三個專題呈現(xiàn)出從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象的變化趨勢?!皵?shù)圖形的學(xué)問”起著承上啟下的作用。
“數(shù)圖形的學(xué)問”教材從“鼴鼠鉆洞”的情境出發(fā),讓學(xué)生思考鼴鼠有幾條跑動路線,引入4點(diǎn)組合問題。該情境的設(shè)置非常巧妙:4個洞在一條直線上。因此,教師可以引導(dǎo)學(xué)生在一條直線上取點(diǎn)(代表洞)數(shù)連線段(代表路線),讓學(xué)生經(jīng)歷從“求鼴鼠跑動路線條數(shù)”到“數(shù)線段條數(shù)”再到“列式計算”的數(shù)學(xué)化過程。教學(xué)過程中,可以緊緊抓住“數(shù)線段條數(shù)”這個表象階段,使學(xué)生充分理解簡單的組合問題,不難解決更復(fù)雜的組合問題,出現(xiàn)錯誤也能及時發(fā)現(xiàn)。
二、課堂流程
(一)情境引入
給出教材情境后,教師先引導(dǎo)學(xué)生讀懂題意,關(guān)注鼴鼠鉆洞的方向性,防止解題出錯——
師 (出示教材情境圖,如圖1)你讀懂了什么?來說說看。
生 小鼴鼠可以選一個洞進(jìn)去,但是不能從進(jìn)去的洞出來。
生 鼴鼠從第二個洞進(jìn)去的話,不可以從第一個洞出來。
師 你是從哪里看出來的?
生 題目說向前走,從第一個洞里出來就是向后走了。
師 那我們給它定個方向,(同步指圖)這邊是左邊,這邊是右邊。小鼴鼠從左邊的洞鉆進(jìn)去后,就只能從右邊的洞鉆出來。
(二)從求路線條數(shù)到數(shù)線段條數(shù)的數(shù)學(xué)化
在自主嘗試求路線條數(shù)的過程中,學(xué)生出現(xiàn)了“在情境圖上畫并數(shù)路線”“畫示意圖并數(shù)路線”以及“直接列式計算”等多種方法。其中,畫示意圖的方法占大多數(shù),并且主要有如圖2所示的三種方法。
教師抓住這半具體、半抽象的表象階段,展示如圖2所示的三種畫示意圖的方法,讓學(xué)生觀察“哪一種圖更簡潔、更方便”,引導(dǎo)學(xué)生聚焦畫線段圖的方法。然后,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實(shí)與表象的要素之間的“一一對應(yīng)”,經(jīng)歷從求路線條數(shù)到數(shù)線段條數(shù)的數(shù)學(xué)化——
師 知道怎么由情境圖畫線段圖嗎?
生 知道。
師 先畫什么?(稍停)用一條直線來表示地平線,然后用什么來表示洞?
生 一個圓圈。
生 一個點(diǎn)。
師 情境圖中小鼴鼠挖了幾個洞?
生 4個洞。
師 那就在地平線上點(diǎn)幾個點(diǎn)?
生 4個點(diǎn)。
師 每一個點(diǎn)表示什么?
生 一個洞。
師 那么尋找有幾條路線就變成了什么問題?
生 數(shù)線段。
師 為什么變成了數(shù)線段的問題呢?比如說洞口A、洞口B、洞口C、洞口D,如果從洞口A進(jìn)去,可以從洞口B出來,也可以從洞口C出來,還可以從洞口D出來。也就是說,A到B的這條線段表示的意思是什么?
生 一條跑動的路線。
師 所以,有幾條這樣的線段就有幾條跑動的路線。
(三)強(qiáng)調(diào)數(shù)線段條數(shù)的順序
在自主嘗試數(shù)線段條數(shù)的過程中,學(xué)生出現(xiàn)了如圖3所示的兩種順序的數(shù)法。
數(shù)線段條數(shù)時的順序?qū)τ诓怀鲥e,即不數(shù)重、不數(shù)漏(尤其是遇到點(diǎn)比較多的情況時),以及發(fā)現(xiàn)規(guī)律,從而列式計算,都具有重要的意義。因此,教師讓兩個學(xué)生分別展示兩種順序的數(shù)法,啟發(fā)學(xué)生總結(jié)數(shù)的規(guī)律,從而強(qiáng)調(diào)數(shù)的順序——
師 我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們在數(shù)的時候都沒有多數(shù)或少數(shù),為什么?你們是怎么做到的?
生 因?yàn)槲覀兪怯幸?guī)律地數(shù)的。
師 用什么規(guī)律數(shù)?
生 從點(diǎn)……
師 (指著圖3中的第一種數(shù)法)比如說從點(diǎn)出發(fā)的時候,是怎么樣數(shù)的?
生 從左到右。
師 而不是數(shù)完點(diǎn)A了,就數(shù)點(diǎn)C,再數(shù)點(diǎn)B,等等。也就是說,是按照順序來數(shù)的。(指著圖3中的第二種數(shù)法)按段來數(shù)的時候,也是有順序的:先數(shù)一段的,再數(shù)兩段的,接著數(shù)三段的??偟膩碚f,我們在數(shù)的時候做到什么就不會亂、不會錯?
生 按順序數(shù)。
師 對,按順序數(shù),就不會重復(fù),也不會遺漏了。
(四)從數(shù)線段條數(shù)到列式計算的數(shù)學(xué)化
通過數(shù)線段條數(shù)解決了“鼴鼠鉆洞”的4點(diǎn)組合問題后,教師展示“菜地旅行”的情境,讓學(xué)生通過數(shù)線段條數(shù)解決“有5個站點(diǎn)的單程車要準(zhǔn)備多少種車票”的5點(diǎn)組合問題。然后,進(jìn)一步延伸到更多站點(diǎn)的情況,激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,引導(dǎo)學(xué)生從遞推的角度發(fā)現(xiàn)數(shù)量增加的規(guī)律,理解列式的原理,從而經(jīng)歷從數(shù)線段條數(shù)到列式計算的數(shù)學(xué)化——
師 5個站點(diǎn)有10種票。那老師再進(jìn)一步:路線上又開辟了一個新的站點(diǎn),有6個站點(diǎn),你知道有多少種車票嗎?誰能很快得出結(jié)果?
生 有15種車票。
師 你是怎么得到的?
生 因?yàn)槎嗔艘粋€站點(diǎn),所以從原來那些站點(diǎn)出發(fā)或到原來哪些站點(diǎn)的車票都要再加1。
師 所以要比原來增加幾種車票?
生 5種。
師 所以可以用算式怎么表示?
生 5+4+3+2+1。
……
師 那10個站點(diǎn)的時候應(yīng)該怎么寫?
生 9+8+7+6+5+4+3+2+1。
師 非常棒!15個站點(diǎn)呢?
生 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。
師 是的。找到規(guī)律,列出算式,接下來就是怎么算的問題了,是不是???那么下次我們可以繼續(xù)探討對這樣的算式,怎樣又快又準(zhǔn)地算出得數(shù)。
(五)三個拓展
實(shí)現(xiàn)了從數(shù)線段條數(shù)到列式計算的數(shù)學(xué)化后,教師對問題進(jìn)行了三個拓展,開拓了學(xué)生的視野和思路,并且為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。
第一個是內(nèi)容上的拓展,從簡單的組合問題拓展到簡單的排列問題,設(shè)置了“有8個站點(diǎn)的往返車要準(zhǔn)備多少種車票”的問題。
教學(xué)過程中,學(xué)生出現(xiàn)錯誤時,教師征詢不同的意見后,再次引導(dǎo)學(xué)生回到數(shù)線段條數(shù)的活動中,尋找“乘2”的意義——
師 誰來匯報一下?
生 7+6+5+4+3+2+1=28。
師 是28種嗎?有沒有不同的意見?
生 我覺得這里應(yīng)該乘2,因?yàn)樗蟪龅闹皇菃纬痰钠睌?shù)。
師 你從哪里看出來要乘2?從哪里看出來跟我們剛才的車票問題是不一樣的?
生 往返。
師 那么為什么往返時乘2就可以了呢?(稍停)我們可以倒回去再數(shù)一遍線段條數(shù)。
……
第二個是形式上的拓展,從一維的數(shù)線段問題拓展到二維的數(shù)平面圖形問題,設(shè)置了求圖4中平行四邊形個數(shù)的問題。
教學(xué)過程中,學(xué)生順利求出平行四邊形的個數(shù)后,教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等價性,把數(shù)平行四邊形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)線段的問題,理解問題的本質(zhì)——
師 你怎么知道是4+3+2+1的,請你說說4在哪?
生 4就是一個一個的平行四邊形有4個,3就是兩個兩個的平行四邊形有3個,2就是三個三個的平行四邊形有2個,1就是四個四個的平行四邊形有1個。
師 你是用什么方法來數(shù)的?
生 按段的方法。
師 那我們能不能按點(diǎn)的方法來數(shù)?可以把這幅圖怎么樣?
生 畫成線段。
師 對,我們可以把它變成一條線段。那么,把這些斜著的邊都壓縮成了一個一個的什么呀?
生 點(diǎn)。
師 對,只要數(shù)一數(shù)兩點(diǎn)之間的線段有幾條,就可以知道平行四邊形有幾個了,是不是?
第三個也是形式上的拓展,從限定在一條直線上的點(diǎn)的組合問題拓展到?jīng)]有位置限定的點(diǎn)的組合問題,設(shè)置了握手問題和單循環(huán)賽問題,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)依然可以通過數(shù)線段條數(shù)的方法解決。
三、課后反思
反思這節(jié)課的教學(xué)過程,除了充分利用表象,使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化這一特征,還有一些亮點(diǎn)和不足,由此可以得到一些教學(xué)啟示。
(一)情境設(shè)置要能促進(jìn)學(xué)生的理解
情境教學(xué)是新課程改革倡導(dǎo)的教學(xué)方式之一。深入課堂可以發(fā)現(xiàn),一些所謂的“情境教學(xué)”存在誤區(qū):為了體現(xiàn)情境教學(xué)而設(shè)置情境,設(shè)置的情境不僅不能啟發(fā)學(xué)生思考,還容易誤導(dǎo)學(xué)生。因此,設(shè)置情境應(yīng)該特別關(guān)注促進(jìn)學(xué)生理解、幫助學(xué)生學(xué)習(xí)這樣的出發(fā)點(diǎn)。本節(jié)課中的幾個情境確實(shí)做到了這一點(diǎn)。“鼴鼠鉆洞”“菜地旅行”的情境都在無形中將問題限定為在一條直線上取點(diǎn),讓學(xué)生更容易找到數(shù)線段的規(guī)律。
(二)啟發(fā)式教學(xué)不會過時
啟發(fā)式教學(xué)是一個古老的話題,但是不會過時,因?yàn)樗兄行?。新課改對啟發(fā)式教學(xué)也有強(qiáng)調(diào),如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:“處理好教師講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系,注重啟發(fā)學(xué)生積極思考?!北竟?jié)課的教學(xué)很注重啟發(fā)學(xué)生積極思考,所有的規(guī)律和結(jié)論都是在教師引導(dǎo)下由學(xué)生思考或探究得出的,而不是教師告知的。尤其是教師的很多提問都具有啟發(fā)性。例如,強(qiáng)調(diào)數(shù)線段條數(shù)的順序時,提問:“我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們在數(shù)的時候都沒有多數(shù)或少數(shù),為什么?你們是怎么做到的?”再如,處理往返車票問題,解釋“乘2”的意義時,提問:“你從哪里看出來要乘2?從哪里看出來跟我們剛才的車票問題是不一樣的?”這樣的提問都很含蓄,指出了思考的方向,留下了思考的空間。
(三)要使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出了“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的數(shù)學(xué)教育理念。這一理念不僅要求數(shù)學(xué)教學(xué)尊重學(xué)生的主體性地位,而且要求數(shù)學(xué)教學(xué)正視學(xué)生的差異,尊重學(xué)生的個性,做到因材施教。這節(jié)課上,教師對學(xué)生的差異關(guān)注得不夠:給出“鼴鼠鉆洞”的情境后,有三名學(xué)生不需要借助表象操作,給出了“直接列式計算”的方法,但是,教師始終沒有關(guān)注這種做法,導(dǎo)致這三名學(xué)生在接下來的問題處理過程中,再也沒有直接列式計算,而是開始畫線段圖數(shù)線段了。對于這三名學(xué)生來說,這種借助表象操作的數(shù)學(xué)化過程是否是思維的倒退?他們當(dāng)時是如何思考得出算式的?這些都需要教師的進(jìn)一步關(guān)注。這三名學(xué)生有可能就是Lynn?Paine教授所說的“原本自己可以學(xué)會游泳的孩子”,結(jié)果“才能被埋沒了”。不過,這節(jié)課上,教師將列出算式后涉及的等差數(shù)列求和問題留到以后解決(可以留到六年級上冊的“比賽場次”教學(xué)中解決,并可以延伸到一般的情況),對教材中的組合問題進(jìn)行了三個拓展(在學(xué)生可以接受的范圍內(nèi),為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好了鋪墊),體現(xiàn)了教學(xué)的層次性,是因材施教的有效途徑之一。
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*本文系2020年度江蘇高校哲學(xué)社會科學(xué)研究一般項(xiàng)目“義務(wù)教育階段課堂教學(xué)存在問題及改進(jìn)研究”(編號:2020SJA0196)和2020年江蘇省社科基金后期資助項(xiàng)目“教師發(fā)展指導(dǎo)者研究”(編號:20HQ054)的階段性研究成果。相關(guān)研究得到浙江省義烏市繡湖小學(xué)朱劍英、李玲靜等老師的支持,以及南京信息工程大學(xué)人才啟動基金的資助,特此致謝。