劉海燕

摘要：本文簡要闡述柯西不等式，并借助其四種形式來闡述數(shù)學(xué)中變與不變，再以規(guī)范正交基為例，解析數(shù)學(xué)的教學(xué)，最后提出關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)三點(diǎn)建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);柯西不等式;變與不變

萬物皆變，不變之中蘊(yùn)含著變，變化之中又包含著不變，這是哲學(xué)的基本理念。在自然界中，等量關(guān)系和不等量關(guān)系普遍存在。描述等量關(guān)系用等式，描述不等量關(guān)系用不等式。不等式在各個(gè)學(xué)科中均應(yīng)用廣泛，在數(shù)學(xué)各個(gè)分支中更是應(yīng)用之廣?？挛鞑坏仁皆跀?shù)學(xué)的各個(gè)分支里有著極其廣泛的應(yīng)用，它在不同的領(lǐng)域里有著不同的表現(xiàn)形式：

柯西不等式表現(xiàn)形式多樣，但又極其相似，命題的左右兩邊結(jié)構(gòu)以及各變量之間涉及到的運(yùn)算均非常的對偶，最終在向量空間中得到統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，它的生命力依賴于各部分的聯(lián)系.數(shù)學(xué)關(guān)注一件事物的本質(zhì)、多種事物的共性、一系列事物的規(guī)律、不同事物的聯(lián)系，作為數(shù)學(xué)教員，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，需要關(guān)注知識間的聯(lián)系，即數(shù)學(xué)的變與不變。

以規(guī)范正交基概念講解為例，談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)中，如何把握數(shù)學(xué)的變與不變。線性代數(shù)是一門抽象的課程，而給學(xué)員講明白為什么，是什么，怎么做非常重要。對于3維向量空間，幾何與代數(shù)的聯(lián)系是空間直接坐標(biāo)系，其中任意向量的坐標(biāo)分解式用到三個(gè)單位向量，此三個(gè)向量滿足兩兩垂直，每個(gè)向量是單位向量，且任意3維向量能夠由這三個(gè)向量唯一線性表示。這三個(gè)向量相當(dāng)于一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，即是說要建立空間直角坐標(biāo)系，只需找到滿足這些條件的3個(gè)向量。數(shù)學(xué)研究數(shù)與形，從具體到抽象，到算律。數(shù)學(xué)是一步一步逐級抽象的過程，抽象程度越高，涵蓋內(nèi)容越多。我們可以研究2維、3維向量，自然可以研究n維向量，規(guī)范正交基應(yīng)運(yùn)而生。于是要講清楚規(guī)范正交基，只需要講清楚3維空間中的三個(gè)單位向量，講清本質(zhì)，由兩兩垂直、每個(gè)向量單位且任意向量能夠由這個(gè)向量組唯一線性表示這一不變的共性，引導(dǎo)講解n維與3維的不同，在已有知識架構(gòu)上增添新知，即是鞏固又是拔高。

數(shù)學(xué)關(guān)注本質(zhì)、共性、規(guī)律、聯(lián)系?？蓺w結(jié)為不變性。不變性從數(shù)的觀點(diǎn)去看，就是不變量。公式、定理、法則等數(shù)學(xué)結(jié)論，是不變性。世界一直在變，但最本質(zhì)的部分是不變的。正所謂動中有靜、變中有恒、亂中有序、異中有同、萬變不離其宗。數(shù)學(xué)教學(xué)必須抓住變與不變，構(gòu)建知識框架，引導(dǎo)學(xué)員主動發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)，融會貫通，以不變應(yīng)萬變。

基于上述論述，此處給出數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)淺薄建議：一、概念闡述時(shí)，明確因果。二、新知講解須建立在已有知識的架構(gòu)上。三、教員注重引導(dǎo)學(xué)員主動發(fā)現(xiàn)變與不變，自主總結(jié)共性進(jìn)而拓展。如線性代數(shù)中，線性方程組的解與向量組的線性表示及相關(guān)性間的變與不變;最大無關(guān)組、基礎(chǔ)解系、向量空間的基間的變與不變;矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)間的變與不變;實(shí)數(shù)運(yùn)算與矩陣運(yùn)算間的變與不變。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱超武，淺談柯西不等式的價(jià)值，青海師專學(xué)報(bào)，2005年第4期

[2]郭曉菲，不等式在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用及探究（上），科技信息，2011年13期;

（武警警官學(xué)院 四川成都 610000）