趙群

摘 要：“角平分線的性質(zhì)”是初中幾何教學(xué)的重要部分，文章作者教學(xué)所涉及的思想方法經(jīng)常出現(xiàn)在九年級的專題訓(xùn)練中，角平分線的問題處理策略和截長補短思想是教學(xué)中學(xué)生所要重點掌握的思想方法。文章通過對例題進(jìn)行深入的研究，尋求不同解法，進(jìn)行變式訓(xùn)練，有效開展例題教學(xué)，力求達(dá)到傳遞新知、探究方法、領(lǐng)會思想、學(xué)以致用、學(xué)科育人的目的，使學(xué)生能夠觸類旁通，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展思維。

關(guān)鍵詞：例題教學(xué);一題多解;變式教學(xué)

中圖分類號：G633.6?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?文章編號：2095-624X（2021）19-0083-02

一、例題呈現(xiàn)

北師大版教材八年級數(shù)學(xué)下冊第一章《三角形的證明》第4節(jié)角 平分線例3：如圖1，在?ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是?ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E。

（1）已知CD=4 cm，求AC的長;

（2）求證：AB=AC+CD。

二、功能分析

（一） 聯(lián)系舊知，鞏固新知

本例題是在學(xué)生學(xué)習(xí)了角平分線的概念、角平分線的性質(zhì)和全等三角形的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，學(xué)生通過聯(lián)系已有知識解答本例題，加深了對角平分線性質(zhì)的理解，有效地鞏固應(yīng)用了新學(xué)知識。解題回顧，本例題具備利用角平分線性質(zhì)的條件，即?ACD和?AED以AD所在直線為對稱軸成軸對稱圖形，有過角平分線上一點向角兩邊作垂線，因此可得全等和等線段。一般來說，我們可以把過角平分線上一點向角兩邊作垂線的方法叫作角分線邊垂線法[1]，基本圖形如圖2。

（二）通過變式，挖掘價值

從知識的學(xué)習(xí)運用、挖掘例題的思想方法出發(fā)，可以使例題發(fā)揮更大的作用。在教學(xué)設(shè)計中，筆者將例題里的一個條件隱藏，題目如下。

變式1：如圖3，在?ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E。

（1）已知CD=4 cm，求AC的長;

（2）求證：AB=AC+CD。

學(xué)生在解答時，需要分析題目中已知條件，聯(lián)系以前學(xué)過的方法。已知中含有構(gòu)成三角形全等的部分條件，結(jié)合本節(jié)課學(xué)習(xí)的角平分線性質(zhì)，輔助線添加順理成章。

證法1：利用角平分線的性質(zhì)，過點D作DE⊥AB，垂足為E（見圖4）。不難看出，用原例題的解答方法即可完成證明。

幫助學(xué)生梳理與角平分線性質(zhì)的相關(guān)內(nèi)容，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固全等三角形的性質(zhì)和判定，培養(yǎng)學(xué)生合理聯(lián)系已學(xué)知識，作輔助線的學(xué)習(xí)遷移能力。從解題方法上看，這是間接利用截長補短的方法來解決線段的和差問題，即通過作垂線，將長線段AB分割成兩部分，利用全等得到線段AE=AC，相當(dāng)于在AB上截取AE=AC，再證明EB=CD，問題迎刃而解。這樣的設(shè)計，利于新舊知識的聯(lián)系與運用，使例題有更高的探究價值。對于線段和差問題的解決辦法，我們常用截長補短的方法來解決，這樣的變式和總結(jié)更有利于促進(jìn)學(xué)生思維深度發(fā)展，進(jìn)而加深學(xué)生對角平分線性質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（三）一題多解，滲透思想

構(gòu)造角分線兩邊的圖形關(guān)于角分線對稱，簡稱角分線對稱法，如圖5，作點B關(guān)于角分線AD的對稱點C，則DB=DC。

教材的探究活動為本題的證明提供了思想方法，絕大多數(shù)學(xué)生在思考后都會得到證法1的解決方法，教學(xué)中，筆者大膽放手，給學(xué)生獨立思考的機(jī)會，通過小組活動讓學(xué)生自行探索，尋求其他解題方法。根據(jù)角分線對稱法，學(xué)生可以利用補短來構(gòu)造全等三角形，通過直觀感知較長線段AB所在?ABD關(guān)于AD的對稱圖形，進(jìn)而在同伴的互相討論中，逐步形成新的解題思路。

證法2： 如圖6，延長線段AC到E，使得CE=CD，連接ED，通過證明?ABD≌?AED，得線段AB=AE。

通過證法1和證法2的分析和總結(jié)，學(xué)生對于本例中第（2）小題證明線段之間的和差關(guān)系這種數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)形式由不熟悉到會分析能解題，培養(yǎng)了學(xué)生關(guān)聯(lián)已知條件與已有知識借助已有解題經(jīng)驗來解決未知問題的能力。對學(xué)生來講，這是為解決線段和差問題開辟新的思路，更重要的是本例題教學(xué)滲透的截長補短的數(shù)學(xué)思想方法，可以為九年級的以二次函數(shù)和圓為背景的截長補短問題的學(xué)習(xí)作鋪墊，具有承前啟后的作用。

三、變式教學(xué)

回顧是解題中的一個重要而且有益的活動。通過回顧完整的答案，重新斟酌、審查結(jié)果及導(dǎo)致結(jié)果的途徑，這樣能夠鞏固知識，并培養(yǎng)學(xué)生的解題能力[2]。

筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧思考本例中的已知條件，AD是?ABC的角平分線，∠C=90°，∠B=45°，不難發(fā)現(xiàn)存在∠C=2∠B的倍角關(guān)系，可以利用二倍角等腰法構(gòu)輔助線，如果把例題中的特殊角變式轉(zhuǎn)化成一般的角，即∠B=2∠C，那么AC=AB+BD這一結(jié)論是否成立？

變式2：如圖7，已知AD是△ABC的角平分線，∠B=2∠C，求證：AC=AB+BD。

證法1：如圖8，在AC上截取AE=AB，證△ABD≌

?AED，得BD=DE，∠B=∠AED，因為∠B=2∠C，易證DE=EC，從而得證。

證法2：如圖9，延長AB到F，使得BF=BD，因為∠ABC=2∠C，易證∠F=∠C，證?AFD≌?ACD，得AC=AF，從而得證。

變式2：基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，在探尋變式題目的產(chǎn)生及證明思路的過程中，學(xué)生感悟到從特殊到一般的思想方法，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。在解題反思和回顧中，總結(jié)本題所蘊含的解題策略有角分線對稱法、二倍角等腰法，以及截長補短法思想方法，讓學(xué)生體會到解題研究的快樂。

波利亞在《怎樣解題》中指出，要解決一個問題，必須讓學(xué)生理解這個問題，對條件進(jìn)行聯(lián)想[3]，分析它們之間的關(guān)聯(lián)，再讓學(xué)生利用已有解題經(jīng)驗進(jìn)行分析，尋求解決問題的對策和方法。在變式2教學(xué)之前，學(xué)生初步掌握了此類幾何問題的思維方法，從已知條件出發(fā)，根據(jù)條件進(jìn)行知識關(guān)聯(lián)，基本掌握角分線問題的處理策略——角分線對稱法、邊垂線對稱法結(jié)合截長補短構(gòu)造全等，實現(xiàn)線段轉(zhuǎn)換解答問題。通過一系列思考、引導(dǎo)和鼓勵一題多解，學(xué)生逐漸學(xué)會從數(shù)學(xué)角度提出問題、分析問題，并綜合運用所學(xué)知識和技能解決問題。在課堂教學(xué)中，教師要力求使學(xué)生成為知識的探究者、獲得者，鼓勵學(xué)生對問題勤于思考、敢于質(zhì)疑，善于解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維[4]。